Red compleja

En el contexto de la ciencia de redes,^[1]​ una red compleja se refiere a una red (modelada como grafo) que posee ciertas propiedades estadísticas y topológicas no triviales que no ocurren en redes simples; p.e., distribuciones de grado que siguen leyes de potencia, estructuras jerárquicas, estructuras comunitarias, longitud entre cualesquiera dos entes del sistema corto, o alta cohesividad local (medida a través del coeficiente de agrupamiento). Ejemplo de redes con tales características en la naturaleza son las redes sociales,^[2]​ las redes neuronales, las redes de tráfico aéreo y las redes tróficas, entre muchas otras.

Red de co-aparición de los personajes de la novela Les Miserables de Victor Hugo

Definición matemática de red

Una red^[3]​ o grafo ${\displaystyle R=({\mathcal {N}},{\mathcal {E}})}$  se define por un conjunto ${\displaystyle {\mathcal {N}}={\mathcal {N}}(R)}$  de elementos llamados nodos o vértices y otro conjunto, ${\displaystyle {\mathcal {E}}={\mathcal {E}}(R)\subset {\mathcal {N}}\times {\mathcal {N}}}$  de elementos denominados enlaces o aristas. Cada enlace corresponde a un par no-ordenado ${\displaystyle \{i,j\}}$  de nodos. Si consideramos los enlaces como pares ordenados, diremos que ${\displaystyle R}$  es una red dirigida o grafo dirigido. Si cada enlace ${\displaystyle \{i,j\}}$  tiene asignado un valor numérico ${\displaystyle w_{ij}}$ , diremos que la red es ponderada y el valor ${\displaystyle w_{ij}}$  será llamado peso o ponderación del enlace ${\displaystyle \{i,j\}}$ .

Conceptos básicos en redes

Dos nodos ${\displaystyle i,j}$  de una red se dicen adyacentes si estos están conectados por un enlace. Se dirá que un enlace es incidente en un nodo ${\displaystyle i}$  si dicho enlace es de la forma ${\displaystyle \{i,j\}}$  para algún ${\displaystyle j}$  en ${\displaystyle {\mathcal {N}}(R)}$ . El vecindario de ${\displaystyle i}$ , generalmente denotado por ${\displaystyle V(i)}$ , se define como el conjunto de los ${\displaystyle j\in {\mathcal {N}}(R)}$  tales que ${\displaystyle \{i,j\}\in {\mathcal {E}}(R)}$ . El conjunto ${\displaystyle V^{+}(i)=V(i)\cup \{i\}}$  será llamado vecindario inclusivo de ${\displaystyle i}$ .

Definición de subred

Si ${\displaystyle {\mathcal {N}}'\subseteq {\mathcal {N}}}$  y ${\displaystyle {\mathcal {E}}'\subseteq {\mathcal {N}}'\times {\mathcal {N}}'}$  tal que ${\displaystyle {\mathcal {E}}'\subseteq {\mathcal {E}}}$ , se dice que el par ${\displaystyle R'=({\mathcal {N}}',{\mathcal {E}}')}$  es una subred (o subgrafo) de ${\displaystyle R=({\mathcal {N}},{\mathcal {E}})}$ . Si ${\displaystyle {\mathcal {E}}'=({\mathcal {N}}'\times {\mathcal {N}}')\cap {\mathcal {E}}}$  diremos que ${\displaystyle R'}$  es la sub-red inducida por ${\displaystyle {\mathcal {N}}'}$ .

k-Clique o k- red completa

Un ${\displaystyle k-}$ {clique} (o ${\displaystyle k-}$ {red completa}), denotada por ${\displaystyle K_{n}}$ , es una red en la que todo par de nodos ${\displaystyle i,j\in {\mathcal {N}}(K_{n})}$  esta conectado por un enlace en ${\displaystyle {\mathcal {E}}(K_{n})}$ . Un clique ${\displaystyle C\subseteq R}$  se dice maximal si no puede agregarse otro nodo a ${\displaystyle R}$  sin que este deje de ser un clique en ${\displaystyle R}$ .

Redes bipartitas

 

Red Bipartita. Los colores rojo y azul simbolizan las dos clases nodales. Obsérvese que no hay enlaces entre nodos de un mismo color.

Básicamente, en este tipo de redes el conjunto de nodos ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$  puede escribirse como la unión disjunta de dos conjuntos ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{1}}$  y ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{2}}$  de manera que en la red no hay enlaces de la forma ${\displaystyle \{i,j\}\in {\mathcal {E}}}$  con ${\displaystyle i\in {\mathcal {N}}_{1}}$  y ${\displaystyle j\in {\mathcal {N}}_{2}}$ . En la figura puede verse un ejemplo de este tipo de redes.

Matriz de adyacencia

La matriz de adyacencia ${\displaystyle A}$  de una red ${\displaystyle R}$  es una matriz de ${\displaystyle n\times n}$  tal que

${\displaystyle A_{ij}=\left\{{\begin{array}{c l}1&{\text{ si }}\{i,j\}\in {\mathcal {E}}(R)\\0&{\text{ en caso contrario.}}\end{array}}\right.}$ 

Esta matriz nos permite representar de manera algebraica la estructura de red.

Referencias

1. Newman, M.E.J. (2010). Networks : an introduction (Repr. with corr. edición). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0199206650. 
2. Faust, Stanley Wasserman; Katherine (1999). Social network analysis : methods and applications (Reprint. edición). Cambridge [u.a.]: Cambridge Univ. Press. ISBN 978-0521387071. 
3. Alvarez-Socorro, A.J. (2012). Estructuras Comunitarias en Redes Complejas. Caracas, Venezuela: Tesis de Maestría, IVIC. 

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•   Multimedia: Complex networks