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Raíz unitaria

Una raíz unitaria es una característica de los procesos que evolucionan a través del tiempo y que puede causar problemas en inferencia estadística en modelos de series de tiempo.

Un proceso estocástico lineal tiene una raíz unitaria si el valor de la raíz de la ecuación característica del proceso es igual a 1, por lo tanto tal proceso es no estacionario. Si las demás raíces de la ecuación característica se encuentran dentro del círculo unitario - es decir, tienen un valor absoluto menor a uno - entonces la primera diferencia del proceso es estacionaria.[1][2]

Definición

Considere un proceso estocástico en tiempo discreto  , y supongamos que se puede escribir como un proceso autorregresivo de orden p:

 

Aquí,   es una serie no-correlacionada, lo que significa un proceso estocástico con media cero y varianza constante  . Por conveniencia se asume que  . Si   es una raíz de la ecuación característica:

 

entonces el proceso estocástico tiene una raíz unitaria o, en su defecto, integrada de orden uno, lo que se denota como  . Si m = 1 es una raíz de multiplicidad r, entonces el proceso estocástico es integrado de orden r, denotado por I(r).

Ejemplo

El modelo autorregresivo de orden uno es, , Tiene una raíz unitaria cuando  . En este ejemplo, la ecuación característica es  . La raíz de la ecuación es  .

Si el proceso tiene una raíz unitaria, entonces es una serie de tiempo no estacionaria. Es decir, los momentos del proceso estocástico de t. Para ilustrar el efecto de una raíz unitaria, podemos considerar el primer caso orden, comenzando a partir de y0 = 0:

 

Por sustitución repetida, podemos escribir  . A continuación, la varianza de   viene dada por:

 

La varianza depende de t desde  , mientras  . Tenga en cuenta que la varianza de la serie es divergente al infinito con t.

Modelos relacionados

Además de los modelo autorregresivo y modelos autorregresivos de media móvil, otros modelos importantes surgen en el análisis de regresión, donde los errores del modelo pueden ellos mismos tener una serie de tiempo la estructura y por lo tanto pueden necesitar ser modelado por un proceso AR o ARMA que puede tener una raíz unitaria, como se discutió anteriormente. Las muestras finitas propiedades de los modelos de regresión con errores ARMA primera orden, incluidas las raíces de la unidad, se han analizado.[3][4]

Propiedades y características de los procesos de raíz unitaria

  • Shocks a un proceso de raíz unitaria tienen efectos permanentes que no decaen como lo harían si el proceso fuese estacionaria
  • Como se señaló anteriormente, un proceso de raíz unitaria tiene una variación que depende de t, y diverge hacia el infinito
  • Si se sabe que una serie tiene una raíz unitaria, la serie puede ser diferenciada para que sea estacionaria. Por ejemplo, si una serie   es  , la serie   es   (estacionaria). Por lo tanto se llama una serie estacionaria diferenciada.

Estimación cuando una raíz unitaria puede estar presente

A menudo, los mínimos cuadrados ordinarios (MCO) se utilizan para calcular los coeficientes de la pendiente del modelo autorregresivo. El uso de los MCO se basa en la idea de que el proceso estocástico es estacionario. Cuando el proceso estocástico es no estacionario, el uso de MCO puede producir estimaciones inválidas. Granger y Newbold denominan a estos resultados estimaciones de regresión espuria:[5]​ altos valores de R2 y altos cocientes del estadístico t dan resultados sin sentido económico.

Para la estimación de los coeficientes de la pendiente, se debe primero realizar una prueba de raíz unitaria, cuya hipótesis nula es que una raíz unitaria está presente. Si se rechaza esta hipótesis, se puede utilizar MCO. Sin embargo, si la presencia de una raíz unitaria no se rechaza, entonces se debe aplicar el operador de diferencia a la serie. Si otra prueba de raíz unitaria muestra la serie temporal diferenciado sea estacionaria, MCO se pueden aplicar a esta serie para estimar los coeficientes de la pendiente.

Por ejemplo, en el caso de AR(1),   es estacionaria.

En el (2) Caso AR,   puede escribirse como   donde L es un operador de retardos que disminuye el índice de tiempo de una variable por un período de:  . Si  , El modelo tiene una raíz unitaria y podemos definir  ; Luego

 

es estacionaria si  . MCO se pueden utilizar para estimar el coeficiente de la pendiente,  .

Si el proceso tiene múltiples raíces unitarias, el operador de diferencia se puede aplicar varias veces.

Hipótesis de raíz unitaria

 
El diagrama anterior representa un ejemplo de una potencial raíz unitaria. La línea roja representa una caída observada en la producción, la verde muestra el camino de la recuperación si la serie tiene una raíz unitaria. Azul muestra la recuperación si no hay raíz unitaria y la serie es estacionaria tendencia. La línea azul vuelve a cumplir y seguir la línea de tendencia de puntos, mientras que la línea verde se mantiene permanentemente por debajo de la tendencia. La hipótesis de raíz unitaria también sostiene que un aumento en la producción dará lugar a niveles de producción superiores a la tendencia del pasado.

Los economistas debaten si algunas variables económicas, especialmente la producción, tienen una raíz unitaria o son de tendencia estacionaria.[6][7][8][9]​ Un proceso de raíz unitaria con tendencia de primer orden viene dada por

 

donde c es un término constante, que se refiere como el término "tendencia", y   es ruido blanco. Cualquier valor diferente de cero en el término del ruido blanco, que se produzca, aunque sea solo por un período, afectará de forma permanente el valor de   como se muestra en el gráfico, por lo que las tendencias de la línea   son no estacionarias, no hay reversión a cualquier línea de tendencia. En contraste, un proceso de tendencia estacionaria está dada por

 

donde k es la pendiente de la tendencia y   es el ruido (ruido blanco en el caso más simple, más en general, el ruido sigue su propio proceso autorregresivo estacionario). Aquí cualquier ruido transitorio no alterará la tendencia de largo plazo para   para estar en la línea de tendencia, como también se muestra en el gráfico. Este proceso se dice que es de tendencia estacionaria debido a que las desviaciones de la línea de tendencia son estacionarias.

La cuestión es particularmente popular en la literatura sobre los ciclos económicos.[10][11]​ La investigación sobre el tema comenzó con Nelson y Plosser cuyo papel en el PIB y otros agregados de salida no pudieron rechazar la hipótesis de raíz unitaria para estas series.[12]​ Desde a continuación, un debate entrelazado con las disputas técnicas sobre métodos estadísticos-se ha desatado. Algunos economistas[13]​ sostienen que el PIB tiene una raíz unitaria o cambio estructural, lo que implica que las crisis económicas resultan en niveles de PIB permanentemente más bajos en el largo plazo. Otros economistas sostienen que el PIB es de tendencia estacionaria: Es decir, cuando el PIB cae por debajo de la tendencia durante una recesión, más tarde vuelve al nivel que implica la tendencia de manera que no hay una disminución permanente de la producción. Si bien la literatura sobre la hipótesis de raíz unitaria puede consistir en los debates de iniciados en métodos estadísticos, la hipótesis tiene implicaciones prácticas importantes para las predicciones y las políticas económicas.

Referencias

  1. Sargan, J.D. and Alok Bhargava (1983). "Testing residuals from least squares regressions for being generated by the Gaussian random walk", Econometrica, 51, 153–174.
  2. Sargan J.D. and Alok Bhargava (1983). "Maximum likelihood estimation of regression models with first order moving average errors when the root lies on the unit circle", Econometrica, 51, 799–820
  3. Sargan, J. D.; Bhargava, Alok (1983). «Testing residuals from least squares regressions for being generated by the Gaussian random walk». Econometrica 51 (1): 153-174. JSTOR 1912252. 
  4. Sargan, J. D.; Bhargava, Alok (1983). «Maximum Likelihood Estimation of Regression Models with First Order Moving Average Errors when the Root Lies on the Unit Circle». Econometrica 51 (3): 799-820. JSTOR 1912159. 
  5. Granger, C. W. J.; Newbold, P. (1974). «Spurious regressions in econometrics». Journal of Econometrics 2 (2): 111-120. doi:10.1016/0304-4076(74)90034-7. 
  6. . Econbrowser. 13 de marzo de 2009. Archivado desde el original el 29 de octubre de 2013. 
  7. Krugman, Paul (3 de marzo de 2009). «Roots of evil (wonkish)». The New York Times. 
  8. «Greg Mankiw Gets Technical». Library of Economics and Liberty. 3 de marzo de 2009. Consultado el 23 de junio de 2012. 
  9. Verdon, Steve (11 de marzo de 2009). «Economic Cage Match: Mankiw vs. Krugman». Outside the Beltway. 
  10. Hegwood, Natalie; Papell, David H. (2007). «Are Real GDP Levels Trend, Difference, or Regime-Wise Trend Stationary? Evidence from Panel Data Tests Incorporating Structural Change». Southern Economic Journal 74 (1): 104-113. JSTOR 20111955. 
  11. Lucke, Bernd (2005). «Is Germany‘s GDP trend-stationary? A measurement-with-theory approach». Jahrbücher für Nationalökonomie und Statistik 225 (1): 60-76. 
  12. Nelson, Charles R.; Plosser, Charles I. (1982). «Trends and Random Walks in Macroeconomic Time Series: Some Evidence and Implications». Journal of Monetary Economics 10 (2): 139-162. doi:10.1016/0304-3932(82)90012-5. 
  13. Olivier Blanchard with the International Monetary Fund makes the claim that after a banking crisis "on average, output does not go back to its old trend path, but remains permanently below it."
  •   Datos: Q1307899

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Una raiz unitaria es una caracteristica de los procesos que evolucionan a traves del tiempo y que puede causar problemas en inferencia estadistica en modelos de series de tiempo Un proceso estocastico lineal tiene una raiz unitaria si el valor de la raiz de la ecuacion caracteristica del proceso es igual a 1 por lo tanto tal proceso es no estacionario Si las demas raices de la ecuacion caracteristica se encuentran dentro del circulo unitario es decir tienen un valor absoluto menor a uno entonces la primera diferencia del proceso es estacionaria 1 2 Indice 1 Definicion 2 Ejemplo 3 Modelos relacionados 4 Propiedades y caracteristicas de los procesos de raiz unitaria 5 Estimacion cuando una raiz unitaria puede estar presente 6 Hipotesis de raiz unitaria 7 ReferenciasDefinicion EditarConsidere un proceso estocastico en tiempo discreto y t t 1 displaystyle y t t 1 ldots infty y supongamos que se puede escribir como un proceso autorregresivo de orden p y t a 1 y t 1 a 2 y t 2 a p y t p e t displaystyle y t a 1 y t 1 a 2 y t 2 cdots a p y t p varepsilon t Aqui e t t 0 displaystyle varepsilon t t 0 infty es una serie no correlacionada lo que significa un proceso estocastico con media cero y varianza constante s 2 displaystyle sigma 2 Por conveniencia se asume que y 0 0 displaystyle y 0 0 Si m 1 displaystyle m 1 es una raiz de la ecuacion caracteristica m p m p 1 a 1 m p 2 a 2 a p 0 displaystyle m p m p 1 a 1 m p 2 a 2 cdots a p 0 entonces el proceso estocastico tiene una raiz unitaria o en su defecto integrada de orden uno lo que se denota como I 1 displaystyle I 1 Si m 1 es una raiz de multiplicidad r entonces el proceso estocastico es integrado de orden r denotado por I r Ejemplo EditarEl modelo autorregresivo de orden uno es y t a 1 y t 1 e t displaystyle y t a 1 y t 1 varepsilon t Tiene una raiz unitaria cuando a 1 1 displaystyle a 1 1 En este ejemplo la ecuacion caracteristica es m a 1 0 displaystyle m a 1 0 La raiz de la ecuacion es m 1 displaystyle m 1 Si el proceso tiene una raiz unitaria entonces es una serie de tiempo no estacionaria Es decir los momentos del proceso estocastico de t Para ilustrar el efecto de una raiz unitaria podemos considerar el primer caso orden comenzando a partir de y0 0 y t y t 1 e t displaystyle y t y t 1 varepsilon t Por sustitucion repetida podemos escribir y t y 0 j 1 t e j displaystyle y t y 0 sum j 1 t varepsilon j A continuacion la varianza de y t displaystyle y t viene dada por Var y t j 1 t s 2 t s 2 displaystyle operatorname Var y t sum j 1 t sigma 2 t sigma 2 La varianza depende de t desde Var y 1 s 2 displaystyle operatorname Var y 1 sigma 2 mientras Var y 2 2 s 2 displaystyle operatorname Var y 2 2 sigma 2 Tenga en cuenta que la varianza de la serie es divergente al infinito con t Modelos relacionados EditarAdemas de los modelo autorregresivo y modelos autorregresivos de media movil otros modelos importantes surgen en el analisis de regresion donde los errores del modelo pueden ellos mismos tener una serie de tiempo la estructura y por lo tanto pueden necesitar ser modelado por un proceso AR o ARMA que puede tener una raiz unitaria como se discutio anteriormente Las muestras finitas propiedades de los modelos de regresion con errores ARMA primera orden incluidas las raices de la unidad se han analizado 3 4 Propiedades y caracteristicas de los procesos de raiz unitaria EditarShocks a un proceso de raiz unitaria tienen efectos permanentes que no decaen como lo harian si el proceso fuese estacionaria Como se senalo anteriormente un proceso de raiz unitaria tiene una variacion que depende de t y diverge hacia el infinito Si se sabe que una serie tiene una raiz unitaria la serie puede ser diferenciada para que sea estacionaria Por ejemplo si una serie Y t displaystyle Y t es I 1 displaystyle I 1 la serie D Y t Y t Y t 1 displaystyle Delta Y t Y t Y t 1 es I 0 displaystyle I 0 estacionaria Por lo tanto se llama una serie estacionaria diferenciada Estimacion cuando una raiz unitaria puede estar presente EditarA menudo los minimos cuadrados ordinarios MCO se utilizan para calcular los coeficientes de la pendiente del modelo autorregresivo El uso de los MCO se basa en la idea de que el proceso estocastico es estacionario Cuando el proceso estocastico es no estacionario el uso de MCO puede producir estimaciones invalidas Granger y Newbold denominan a estos resultados estimaciones de regresion espuria 5 altos valores de R2 y altos cocientes del estadistico t dan resultados sin sentido economico Para la estimacion de los coeficientes de la pendiente se debe primero realizar una prueba de raiz unitaria cuya hipotesis nula es que una raiz unitaria esta presente Si se rechaza esta hipotesis se puede utilizar MCO Sin embargo si la presencia de una raiz unitaria no se rechaza entonces se debe aplicar el operador de diferencia a la serie Si otra prueba de raiz unitaria muestra la serie temporal diferenciado sea estacionaria MCO se pueden aplicar a esta serie para estimar los coeficientes de la pendiente Por ejemplo en el caso de AR 1 D y t y t y t 1 e t displaystyle Delta y t y t y t 1 varepsilon t es estacionaria En el 2 Caso AR y t a 1 y t 1 a 2 y t 2 e t displaystyle y t a 1 y t 1 a 2 y t 2 varepsilon t puede escribirse como 1 l 1 L 1 l 2 L y t e t displaystyle 1 lambda 1 L 1 lambda 2 L y t varepsilon t donde L es un operador de retardos que disminuye el indice de tiempo de una variable por un periodo de L y t y t 1 displaystyle Ly t y t 1 Si l 2 1 displaystyle lambda 2 1 El modelo tiene una raiz unitaria y podemos definir z t D y t displaystyle z t Delta y t Luego z t l 1 z t 1 e t displaystyle z t lambda 1 z t 1 varepsilon t es estacionaria si l 1 lt 1 displaystyle lambda 1 lt 1 MCO se pueden utilizar para estimar el coeficiente de la pendiente l 1 displaystyle lambda 1 Si el proceso tiene multiples raices unitarias el operador de diferencia se puede aplicar varias veces Hipotesis de raiz unitaria Editar El diagrama anterior representa un ejemplo de una potencial raiz unitaria La linea roja representa una caida observada en la produccion la verde muestra el camino de la recuperacion si la serie tiene una raiz unitaria Azul muestra la recuperacion si no hay raiz unitaria y la serie es estacionaria tendencia La linea azul vuelve a cumplir y seguir la linea de tendencia de puntos mientras que la linea verde se mantiene permanentemente por debajo de la tendencia La hipotesis de raiz unitaria tambien sostiene que un aumento en la produccion dara lugar a niveles de produccion superiores a la tendencia del pasado Los economistas debaten si algunas variables economicas especialmente la produccion tienen una raiz unitaria o son de tendencia estacionaria 6 7 8 9 Un proceso de raiz unitaria con tendencia de primer orden viene dada por y t y t 1 c e t displaystyle y t y t 1 c e t donde c es un termino constante que se refiere como el termino tendencia y e t displaystyle e t es ruido blanco Cualquier valor diferente de cero en el termino del ruido blanco que se produzca aunque sea solo por un periodo afectara de forma permanente el valor de y t displaystyle y t como se muestra en el grafico por lo que las tendencias de la linea y t a c t displaystyle y t a ct son no estacionarias no hay reversion a cualquier linea de tendencia En contraste un proceso de tendencia estacionaria esta dada por y t k t u t displaystyle y t k cdot t u t donde k es la pendiente de la tendencia y u t displaystyle u t es el ruido ruido blanco en el caso mas simple mas en general el ruido sigue su propio proceso autorregresivo estacionario Aqui cualquier ruido transitorio no alterara la tendencia de largo plazo para y t displaystyle y t para estar en la linea de tendencia como tambien se muestra en el grafico Este proceso se dice que es de tendencia estacionaria debido a que las desviaciones de la linea de tendencia son estacionarias La cuestion es particularmente popular en la literatura sobre los ciclos economicos 10 11 La investigacion sobre el tema comenzo con Nelson y Plosser cuyo papel en el PIB y otros agregados de salida no pudieron rechazar la hipotesis de raiz unitaria para estas series 12 Desde a continuacion un debate entrelazado con las disputas tecnicas sobre metodos estadisticos se ha desatado Algunos economistas 13 sostienen que el PIB tiene una raiz unitaria o cambio estructural lo que implica que las crisis economicas resultan en niveles de PIB permanentemente mas bajos en el largo plazo Otros economistas sostienen que el PIB es de tendencia estacionaria Es decir cuando el PIB cae por debajo de la tendencia durante una recesion mas tarde vuelve al nivel que implica la tendencia de manera que no hay una disminucion permanente de la produccion Si bien la literatura sobre la hipotesis de raiz unitaria puede consistir en los debates de iniciados en metodos estadisticos la hipotesis tiene implicaciones practicas importantes para las predicciones y las politicas economicas Referencias Editar Sargan J D and Alok Bhargava 1983 Testing residuals from least squares regressions for being generated by the Gaussian random walk Econometrica 51 153 174 Sargan J D and Alok Bhargava 1983 Maximum likelihood estimation of regression models with first order moving average errors when the root lies on the unit circle Econometrica 51 799 820 Sargan J D Bhargava Alok 1983 Testing residuals from least squares regressions for being generated by the Gaussian random walk Econometrica 51 1 153 174 JSTOR 1912252 Sargan J D Bhargava Alok 1983 Maximum Likelihood Estimation of Regression Models with First Order Moving Average Errors when the Root Lies on the Unit Circle Econometrica 51 3 799 820 JSTOR 1912159 Granger C W J Newbold P 1974 Spurious regressions in econometrics Journal of Econometrics 2 2 111 120 doi 10 1016 0304 4076 74 90034 7 Trend Stationarity Difference Stationarity over the Very Long Run Econbrowser 13 de marzo de 2009 Archivado desde el original el 29 de octubre de 2013 Krugman Paul 3 de marzo de 2009 Roots of evil wonkish The New York Times Greg Mankiw Gets Technical Library of Economics and Liberty 3 de marzo de 2009 Consultado el 23 de junio de 2012 Verdon Steve 11 de marzo de 2009 Economic Cage Match Mankiw vs Krugman Outside the Beltway Hegwood Natalie Papell David H 2007 Are Real GDP Levels Trend Difference or Regime Wise Trend Stationary Evidence from Panel Data Tests Incorporating Structural Change Southern Economic Journal 74 1 104 113 JSTOR 20111955 Lucke Bernd 2005 Is Germany s GDP trend stationary A measurement with theory approach Jahrbucher fur Nationalokonomie und Statistik 225 1 60 76 Nelson Charles R Plosser Charles I 1982 Trends and Random Walks in Macroeconomic Time Series Some Evidence and Implications Journal of Monetary Economics 10 2 139 162 doi 10 1016 0304 3932 82 90012 5 Olivier Blanchard with the International Monetary Fund makes the claim that after a banking crisis on average output does not go back to its old trend path but remains permanently below it Datos Q1307899Obtenido de https es wikipedia org w index php title Raiz unitaria amp oldid 117727853, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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