Punto del infinito

El punto del infinito, punto en el infinito o punto impropio es una entidad topológica y geométrica que se introduce a modo de cierre o frontera infinita del conjunto de los números reales. Cuando se añade a la recta real genera una curva cerrada (véase fig.1) conocida como recta proyectiva real, ${\displaystyle \mathbb {R} P^{1}}$, que no es equivalente a la recta real ampliada, que tiene dos puntos distintos en el infinito.

fig.1: La "recta proyectiva real (ℝP¹)" con el punto del infinito ${\displaystyle \textstyle \infty }$, genera una curva cerrada.

${\displaystyle {\hat {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}}$

Topología T

Para que el punto en el infinito represente efectivamente el infinito real se define en ${\displaystyle {\hat {\mathbb {R} }}}$  la topología ${\displaystyle {\hat {T}}}$  formada por todos los conjuntos:

• A, que son abiertos de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 
• B, que son complementarios de conjuntos compactos (cerrados y acotados) de ${\displaystyle \mathbb {R} }$  .

Los conjuntos A son los abiertos de ${\displaystyle {\hat {\mathbb {R} }}}$  que no contienen el :${\displaystyle \infty }$  mientras que los conjuntos B son los que sí lo contienen.

Sea ${\displaystyle x_{n}\in \mathbb {R} }$  una sucesión de números reales tales que ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty }$ . Dentro del conjunto de los números reales, esto quiere decir únicamente que:

${\displaystyle \forall K>0\ \exists m\in \mathbb {N} |{\text{ si }}n>m\Rightarrow x_{n}\notin [-K,K]}$ 

Pero esta misma condición implica en ${\displaystyle {\hat {\mathbb {R} }}}$  que

${\displaystyle \forall B|\infty \in B\ \exists m\in N|{\text{ si }}n>m\Rightarrow x_{n}\in B}$ 

Es decir, que en ${\displaystyle {\hat {\mathbb {R} }}}$  se escribe también ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty }$ . Sin embargo, sólo en ${\displaystyle {\hat {\mathbb {R} }}}$  se puede decir que la sucesión ${\displaystyle x_{n}\,}$  converge, puesto que ${\displaystyle \infty \notin \mathbb {R} }$ .

En el plano complejo

	fig.cp1: Proyección estereográfica del plano complejo extendido sobre la "esfera de Riemann".
	fig.cp2: La "esfera de Riemann" puede ser visualizada como el plano complejo envuelto alrededor de una esfera.

El punto del infinito también puede añadirse al plano complejo, ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$ , de manera que se transforme en una superficie cerrada (véase fig.cp1 y fig.cp2), la recta proyectiva compleja, ${\displaystyle \mathbb {C} P^{1}}$ , también llamada esfera de Riemann, una esfera sobre el plano complejo y desde cuyo polo superior se proyectan el resto de puntos de la esfera sobre el plano complejo. De este modo, se establece una biyectividad en la que a cada punto de la esfera le corresponde uno del plano complejo. El homólogo del punto desde el que proyectamos estereográficamente se convierte en el punto del infinito.

Rectas paralelas en ℝ²

Al igual que dos rectas secantes comparten un punto, dos rectas paralelas comparten una dirección, por lo que a esas direcciones también se las conoce como puntos impropios de esas rectas en las que se encuentran. Por ejemplo, en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$  no es posible determinar con exactitud la posición del punto del infinito mediante unas coordenadas absolutas ${\displaystyle (x,y)\,}$ . Para conseguirlo, se acude a las coordenadas homogéneas ${\displaystyle (x',y',w)\,}$ , donde ${\displaystyle x'\,}$  e ${\displaystyle y'\,}$  representan la dirección del vector director de la recta. Las anteriores coordenadas absolutas ${\displaystyle (x,y)\,}$  vienen dadas por:

${\displaystyle (x,y)=\left({x' \over w},{y' \over w}\right)}$ 

El punto ${\displaystyle (4,6)\,}$  podría representarse, por ejemplo, como ${\displaystyle (8,12,2)\,}$  o como ${\displaystyle (2,3,{\tfrac {1}{2}})}$ . La representación del punto del infinito se obtiene igualando ${\displaystyle w=0\,}$ , así:

${\displaystyle (x',y',0)\,}$ 

El punto del infinito del eje OX sería el ${\displaystyle (1,0,0)\,}$ , el ${\displaystyle (2,0,0)\,}$ , etc.

Véase también

• Coordenadas homogéneas
• Esfera de Riemann
• Compactación de Alexandrov
• Línea del horizonte
• Punto de fuga

Referencias

•   Datos: Q1191139