El dominio coloreado en el plano hiperbólico (modelo del disco de Poincaré) es isométrico a media pseudoesfera menos su generatriz. El horodisco que lo contiene se puede ver como un recubridor de infinitas hojas de media pseudoesfera. Las líneas negras (que son geodésicas del plano hiperbólico) separan las diferentes hojas de dicho recubridor.
El radio de la circunferencia que resulta de la revolución del vértice de la tractriz (el punto en la ilustración) se llama radio de la pseudoesfera. Normalmente se considera que la pseudoesfera consta de las dos partes simétricas a un lado y otro de dicha circunferencia, de forma que es una superficie regular salvo en los puntos de la misma.
La motivación del nombre de "pseudoesfera" proviene de ciertas analogías existentes con la esfera de dimensión 2: ésta tiene curvatura constante positiva, mientras que la pseudoesfera tiene curvatura constante negativa. Aunque la pseudoesfera no es una superficie acotada, su área es finita, así como el volumen de la región que encierra. Su área , en función del radio , es el mismo que el de la esfera del mismo radio y su volumen es la mitad del de la esfera (y pueden calcularse a partir de las fórmulas usuales para superficies de revolución):
Dado que la pseudoesfera tiene curvatura constante negativa, es localmente isométrica al plano hiperbólico, y de hecho media pseudoesfera menos una de sus generatrices es isométrica a un abierto del plano hiperbólico. Por este motivo, la pseudoesfera es un modelo útil para visualizar parte de dicho plano como superficie en el espacio euclídeo usual.
Este abierto del plano hiperbólico está bordeado por tres curvas: un trozo de horocírculo y dos geodésicas con extremo común en infinito, como muestra el dibujo. Además, el horodisco que contiene a dicho abierto se puede ver como un recubridor de infinitas hojas de media pseudoesfera.
Parametrización de la pseudoesfera
Teniendo en cuenta que es una superficie de revolución, la pseudoesfera de radio 1 se puede parametrizar por:
pseudoesfera, pseudoesfera, superficie, revolución, obtiene, girando, tractriz, alrededor, asíntota, superficie, curvatura, gauss, constante, negativa, implica, cada, puntos, punto, silla, tractriz, curva, azul, dominio, coloreado, plano, hiperbólico, modelo, . Una pseudoesfera es la superficie de revolucion que se obtiene girando una tractriz alrededor de su asintota Es una superficie con curvatura de Gauss constante negativa lo que implica que cada uno de sus puntos es un punto de silla Pseudoesfera Tractriz curva en azul El dominio coloreado en el plano hiperbolico modelo del disco de Poincare es isometrico a media pseudoesfera menos su generatriz El horodisco que lo contiene se puede ver como un recubridor de infinitas hojas de media pseudoesfera Las lineas negras que son geodesicas del plano hiperbolico separan las diferentes hojas de dicho recubridor El radio de la circunferencia que resulta de la revolucion del vertice de la tractriz el punto P 0 displaystyle P 0 en la ilustracion se llama radio de la pseudoesfera Normalmente se considera que la pseudoesfera consta de las dos partes simetricas a un lado y otro de dicha circunferencia de forma que es una superficie regular salvo en los puntos de la misma La motivacion del nombre de pseudoesfera proviene de ciertas analogias existentes con la esfera de dimension 2 esta tiene curvatura constante positiva mientras que la pseudoesfera tiene curvatura constante negativa Aunque la pseudoesfera no es una superficie acotada su area es finita asi como el volumen de la region que encierra Su area A displaystyle A en funcion del radio R displaystyle R es el mismo que el de la esfera del mismo radio y su volumen V displaystyle V es la mitad del de la esfera y pueden calcularse a partir de las formulas usuales para superficies de revolucion A 4 p R 2 V 2 3 p R 3 displaystyle A 4 pi R 2 quad V frac 2 3 pi R 3 Dado que la pseudoesfera tiene curvatura constante negativa es localmente isometrica al plano hiperbolico y de hecho media pseudoesfera menos una de sus generatrices es isometrica a un abierto del plano hiperbolico Por este motivo la pseudoesfera es un modelo util para visualizar parte de dicho plano como superficie en el espacio euclideo usual Este abierto del plano hiperbolico esta bordeado por tres curvas un trozo de horocirculo y dos geodesicas con extremo comun en infinito como muestra el dibujo Ademas el horodisco que contiene a dicho abierto se puede ver como un recubridor de infinitas hojas de media pseudoesfera Parametrizacion de la pseudoesfera EditarTeniendo en cuenta que es una superficie de revolucion la pseudoesfera de radio 1 se puede parametrizar por 1 x sech u cos v y sech u sin v z u tanh u displaystyle begin cases x operatorname sech u cos v y operatorname sech u sin v z u operatorname tanh u end cases para u R v 0 2 p displaystyle u in mathbb R v in 0 2 pi Vease tambien EditarEsfera Geometria hiperbolica Superficie Datos Q1458609Obtenido de https es wikipedia org w index php title Pseudoesfera amp oldid 119544549, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,
