En matemáticas, una prueba elemental es un demostración que solo usa técnicas básicas. Más específicamente, el término se utiliza en teoría de números para referirse a pruebas que no hacen uso de análisis complejo. Durante algún tiempo se pensó que ciertos teoremas, como el teorema de los números primos, solo podían probarse usando matemáticas "superiores". Sin embargo, con el tiempo, muchos de estos resultados han sido reprobados utilizando solo técnicas elementales.
Aunque el significado no siempre se ha definido con precisión, el término se utiliza comúnmente en la jerga matemática. Una prueba elemental no es necesariamente simple, en el sentido de ser fácil de entender: algunas pruebas elementales pueden ser bastante complicadas.[1]
Teorema del número primo
La distinción entre pruebas elementales y no elementales ha sido considerada especialmente importante con respecto al teorema de los números primos. Este teorema fue probado por primera vez en 1896 por Jacques Hadamard y Charles-Jean de la Vallée Poussin utilizando análisis complejos. Muchos matemáticos intentaron entonces construir pruebas elementales del teorema, sin éxito. Godfrey Harold Hardy expresó fuertes reservas; consideró que la "profundidad" esencial del resultado descartaba pruebas elementales:
No se conoce ninguna prueba elemental del teorema del número primo, y uno puede preguntarse si es razonable esperar una. Ahora sabemos que el teorema es aproximadamente equivalente a un teorema sobre una función analítica, el teorema de que la función zeta de Riemann no tiene raíces en una cierta línea. Una prueba de tal teorema, que no depende fundamentalmente de la teoría de las funciones, me parece extraordinariamente improbable. Es imprudente afirmar que un teorema matemático "no puede" ser probado de una manera particular; pero una cosa parece bastante clara. Tenemos ciertos puntos de vista sobre la lógica de la teoría; pensamos que algunos teoremas, como decimos "se encuentran profundamente" y otros más cercanos a la superficie. Si alguien produce una prueba elemental del teorema del número primo, demostrará que estos puntos de vista son erróneos, que la cuestión no depende de las condiciones que hemos supuesto, y que es hora de que los libros sean desechados para que la teoría sea reescrita de nuevo.
G. H. Hardy (1921). Lectura en la Sociedad Matemática de Copenhague. Citada en Goldfeld (2003), p. 3
Sin embargo, en 1948, Atle Selberg produjo nuevos métodos que lo llevaron junto con Paul Erdős a encontrar pruebas elementales del teorema del número primo.[2]
Una posible formalización de la noción de "elemental" en conexión con una prueba de un resultado numérico teórico es la restricción de que la prueba puede llevarse a cabo en aritmética de Peano.[cita requerida] También en ese sentido, estas pruebas son elementales.
Conjetura de Friedman
Artículo principal: Gran conjetura
Harvey Friedman conjeturó: "Todo teorema publicado en los Annals of Mathematics cuya declaración implica solo objetos matemáticos finitos (es decir, lo que los lógicos llaman una declaración aritmética) se puede probar en la aritmética elemental."[3] La forma de aritmética elemental a la que se hace referencia en esta conjetura puede formalizarse mediante un pequeño conjunto de axiomas relativos a la aritmética entera y a la inducción matemática. Por ejemplo, de acuerdo con esta conjetura, el último teorema de Fermat debe tener una prueba elemental; la prueba de Wiles del último teorema no es elemental. Sin embargo, hay otras declaraciones simples sobre la aritmética como la existencia de funciones de iteración exponencial que no pueden ser probadas en esta teoría.
Referencias
Diamond, Harold G. (1982), «Elementary methods in the study of the distribution of prime numbers», Bulletin of the American Mathematical Society7 (3): 553-89, MR 670132, doi:10.1090/S0273-0979-1982-15057-1..
Goldfeld, Dorian M. (2003), The Elementary Proof of the Prime Number Theorem: An Historical Perspective(PDF), p. 3, consultado el 31 de octubre de 2009.
Avigad, Jeremy (2003), «Number theory and elementary arithmetic», Philosophia Mathematica11 (3): 257, at 258, doi:10.1093/philmat/11.3.257..
Datos:Q5358910
Noviembre 13, 2021
prueba, elemental, matemáticas, prueba, elemental, demostración, solo, técnicas, básicas, más, específicamente, término, utiliza, teoría, números, para, referirse, pruebas, hacen, análisis, complejo, durante, algún, tiempo, pensó, ciertos, teoremas, como, teor. En matematicas una prueba elemental es un demostracion que solo usa tecnicas basicas Mas especificamente el termino se utiliza en teoria de numeros para referirse a pruebas que no hacen uso de analisis complejo Durante algun tiempo se penso que ciertos teoremas como el teorema de los numeros primos solo podian probarse usando matematicas superiores Sin embargo con el tiempo muchos de estos resultados han sido reprobados utilizando solo tecnicas elementales Aunque el significado no siempre se ha definido con precision el termino se utiliza comunmente en la jerga matematica Una prueba elemental no es necesariamente simple en el sentido de ser facil de entender algunas pruebas elementales pueden ser bastante complicadas 1 Teorema del numero primo EditarLa distincion entre pruebas elementales y no elementales ha sido considerada especialmente importante con respecto al teorema de los numeros primos Este teorema fue probado por primera vez en 1896 por Jacques Hadamard y Charles Jean de la Vallee Poussin utilizando analisis complejos Muchos matematicos intentaron entonces construir pruebas elementales del teorema sin exito Godfrey Harold Hardy expreso fuertes reservas considero que la profundidad esencial del resultado descartaba pruebas elementales No se conoce ninguna prueba elemental del teorema del numero primo y uno puede preguntarse si es razonable esperar una Ahora sabemos que el teorema es aproximadamente equivalente a un teorema sobre una funcion analitica el teorema de que la funcion zeta de Riemann no tiene raices en una cierta linea Una prueba de tal teorema que no depende fundamentalmente de la teoria de las funciones me parece extraordinariamente improbable Es imprudente afirmar que un teorema matematico no puede ser probado de una manera particular pero una cosa parece bastante clara Tenemos ciertos puntos de vista sobre la logica de la teoria pensamos que algunos teoremas como decimos se encuentran profundamente y otros mas cercanos a la superficie Si alguien produce una prueba elemental del teorema del numero primo demostrara que estos puntos de vista son erroneos que la cuestion no depende de las condiciones que hemos supuesto y que es hora de que los libros sean desechados para que la teoria sea reescrita de nuevo G H Hardy 1921 Lectura en la Sociedad Matematica de Copenhague Citada en Goldfeld 2003 p 3 Sin embargo en 1948 Atle Selberg produjo nuevos metodos que lo llevaron junto con Paul Erdos a encontrar pruebas elementales del teorema del numero primo 2 Una posible formalizacion de la nocion de elemental en conexion con una prueba de un resultado numerico teorico es la restriccion de que la prueba puede llevarse a cabo en aritmetica de Peano cita requerida Tambien en ese sentido estas pruebas son elementales Conjetura de Friedman EditarArticulo principal Gran conjetura Harvey Friedman conjeturo Todo teorema publicado en los Annals of Mathematics cuya declaracion implica solo objetos matematicos finitos es decir lo que los logicos llaman una declaracion aritmetica se puede probar en la aritmetica elemental 3 La forma de aritmetica elemental a la que se hace referencia en esta conjetura puede formalizarse mediante un pequeno conjunto de axiomas relativos a la aritmetica entera y a la induccion matematica Por ejemplo de acuerdo con esta conjetura el ultimo teorema de Fermat debe tener una prueba elemental la prueba de Wiles del ultimo teorema no es elemental Sin embargo hay otras declaraciones simples sobre la aritmetica como la existencia de funciones de iteracion exponencial que no pueden ser probadas en esta teoria Referencias Editar Diamond Harold G 1982 Elementary methods in the study of the distribution of prime numbers Bulletin of the American Mathematical Society 7 3 553 89 MR 670132 doi 10 1090 S0273 0979 1982 15057 1 Goldfeld Dorian M 2003 The Elementary Proof of the Prime Number Theorem An Historical Perspective PDF p 3 consultado el 31 de octubre de 2009 Avigad Jeremy 2003 Number theory and elementary arithmetic Philosophia Mathematica 11 3 257 at 258 doi 10 1093 philmat 11 3 257 Datos Q5358910 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Prueba elemental amp oldid 120154248, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,
