Progresión armónica (matemática)

En las progresiones aritmética y geométrica hay variación entre dos términos consecutivos pero en el caso de una progresión armónica se vinculan tres términos.

Definición

Dados tres números m, n, p se dice que están en razón armónica si ${\displaystyle {\frac {m}{p}}={\frac {m-n}{n-p}}}$ .^[1]​

Una sucesión de números forman una progresión armónica si cada colección de tres términos consecutivos forman una razón armónica.

Ejemplos

• 1/3, 1/6, 1/9, 1/12, 1/15, 1/18,...

• Uno de los casos más interesantes es la sucesión armónica cuyos términos son 1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 1/n,... donde n es un entero positivo.

la serie ${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+...+{\frac {1}{n}}}$  es divergente cuando n tiene a infinito, aunque

el término general 1/n tiende a 0, cuando n tiende a infinito.^[2]​

Proposición

Los inversos multiplicativos de los términos que están en progresión aritmética forman una progresión armónica.

Prueba

Se tiene ${\displaystyle {\frac {m}{p}}={\frac {m-n}{n-p}}}$ 

de donde ${\displaystyle m(n-p)=p(m-n)}$ 

dividiendo cada término por mnp

${\displaystyle {\frac {1}{p}}-{\frac {1}{n}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{m}}}$  lo que demuestra la proposición.

Media armónica

Sean m y n dos números y H su media armónica, por lo demostrado (donde "m" es el número mayor y ·"n"· el número menor):

${\displaystyle {\frac {1}{H}}-{\frac {1}{m}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{H}}}$ 

O sea

${\displaystyle {\frac {2}{H}}={\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}}$ 

Finalmente

${\displaystyle H={\frac {2mn}{m+n}}}$ 

Propiedad

Si A, G, H son las medias aritmética, geométrica y armónica entonces la media geométrica es media proporcional entre la media aritmética y armónica.

Esto es ${\displaystyle ::A:G::G:H}$  o bien ${\displaystyle {\frac {A}{G}}={\frac {G}{H}}}$ 

La media armónica de m y n es ${\displaystyle H={\frac {2mn}{m+n}}}$ , que se puede escribir

${\displaystyle H={\frac {mn}{\frac {m+n}{2}}}}$ , o de otra manera ${\displaystyle H={\frac {({\sqrt {mn}})^{2}}{\frac {m+n}{2}}}}$  (α)

De otro lado ${\displaystyle G={\sqrt {mn}}}$  y ${\displaystyle A={\frac {m+n}{2}}}$  en (α) se tiene

${\displaystyle H={\frac {G^{2}}{A}}}$  , de donde se obtiene ${\displaystyle A\cdot H=G^{2}}$ , con lo que se prueba la relación

Véase también

• Progresión aritmética
• Progresión geométrica

Referencias

1. Hall-Knight: álgebra superior, Uteha, México 1982
2. Leithold: Cálculo con geometría analítica

•   Datos: Q720413