Programación geométrica

Un programa geométrico es un problema de optimización de la forma

Minimizar ${\displaystyle \ f_{0}(x)\ }$ tal que

${\displaystyle f_{i}(x)\leq 1,\quad i=1,\dots ,m}$

${\displaystyle h_{i}(x)=1,\quad i=1,\dots ,p}$

donde ${\displaystyle f_{0},\dots ,f_{m}}$ son posinomios y ${\displaystyle h_{1},\dots ,h_{p}}$ son monomios. Hay que subrayar que al hablar de programación geométrica (al contrario que en otras disciplinas), un monomio se define como una función ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ con ${\displaystyle \mathrm {dom} \ f=\mathbb {R} _{++}^{n}}$ definido como

${\displaystyle f(x)=cx_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}\cdots x_{n}^{a_{n}}}$

donde ${\displaystyle c>0\ }$ y ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} }$.

Tiene múltiples aplicaciones, como el dimensionamiento de circuitos y la estimación paramétrica vía regresión logística en estadística.

Forma convexa

Los programas geométricos no son por regla general problemas de optimización convexa, pero pueden transformarse en ellos mediante un cambio de variables y una transformación de las funciones objetivo y de restricción. Definiendo ${\displaystyle y_{i}=\log {x_{i}}}$ , el monomio ${\displaystyle f(x)=cx_{1}^{a_{1}}\cdots x_{n}^{a_{n}}\mapsto e^{a^{T}y+b}}$ , donde ${\displaystyle b=log{c}}$ . De la misma forma, si ${\displaystyle f}$  es el posinomio

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{K}c_{k}x_{1}^{a_{1k}}\cdots x_{n}^{a_{nk}}}$ 

entonces ${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{K}e^{a_{k}^{T}y+b_{k}}}$ , donde ${\displaystyle a_{k}=(a_{1k},\dots ,a_{nk})}$  y ${\displaystyle b_{k}=\log {c_{k}}}$ . Tras el cambio de variables, el posinomio se convierte en una suma de exponenciales de funciones afines.

Enlaces externos

• S. Boyd, S. J. Kim, L. Vandenberghe, and A. Hassibi,

• S. Boyd, S. J. Kim, D. Patil, and M. Horowitz

• Dwight José Cabrera Salas, Jorge Armando Oliveros Hincapié, Aplicación de la programación geométrica en el diseño de amplificadores operacionales integrados en tecnología CMOS. (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).

•   Datos: Q2078279