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Polígono convexo

Un polígono convexo es un polígono en el que cada uno de los ángulos interiores miden a lo sumo 180 grados o radianes. Un polígono es estrictamente convexo si todos sus ángulos internos son estrictamente menores de 180 grados y todas sus diagonales son interiores. Todo polígono que no es convexo se denomina polígono cóncavo.

Un decágono regular. Todos los polígonos regulares y simples son polígonos convexos.

Definición

Un polígono es convexo si al prolongar cualquiera de sus lados queda completamente en uno de los semiplanos que determina tal recta.[1]

Los polígonos convexos tienen una amplia gama de propiedades que los hacen especialmente útiles en la resolución de problemas de geometría, geometría computacional e informática gráfica.

Todos los triángulos son polígonos convexos. Todos los polígonos regulares son convexos, salvo los polígonos estrellados regulares. Un polígono simple puede ser convexo o cóncavo, excepto un triángulo que no puede ser cóncavo. Dos puntos distintos A y B determinan un lado de un triángulo ( y una recta) el tercer punto C queda en uno de los semiplanos determinado por la recta AB y por ello todo el Δ queda en un solo semiplano respecto a AB. Pero si hay por los menos dos puntos más, aparte de A y B, ellos pueden estar en un mismo semiplano o en semiplanos opuestos, lo que no garantiza la convexidad [2]

Elementos y subconjuntos

Punto interior

Sea I un punto del plano, se traza por I una recta que corta a dos de los lados del polígono en los puntos M y N, si el punto I está entre M y N, al punto I, se llama punto interior del polígono y al conjunto de todos los puntos interiores se denomina interior del polígono. [3]

Frontera

La unión de todos los lados se nombra frontera del polígono.

Exterior

Un punto E del plano que no está en el interior de un polígono, tampoco en la frontera se llama punto exterior del polígono. El conjunto de todos los puntos exteriores se nombra exterior del polígono.

Proposición

la unión del interior, la frontera y el exterior de un polígono es igual al plano que los contiene. Además por ser dos a dos disjuntos son una partición del plano. De modo que un punto arbitrario del plano está en uno y solo uno de dichos subconjuntos: interior, frontera, exterior. [4]

Región poligonal

La unión del interior y de la frontera de un polígono se llama región poligonal

Propiedades de los polígonos convexos

 
El cierre convexo de una serie de puntos es siempre un polígono convexo
 
Triangulación en abanico de un polígono convexo, empleando las diagonales de un vértice.

Las siguientes propiedades de un polígono simple son equivalentes a la condición de convexidad:

  • Todos sus ángulos son menores 180 grados.
  • Todo segmento cuyos extremos estén en el interior o la frontera del polígono está contenido en la región poligonal.
  • Todas sus diagonales están contenidas completamente en la región poligona, hecho que no ocurre en caso de polígonos cóncavos.
  • El interior del polígono está completamente contenido en el semiplano definido por la recta soporte de cada uno de sus lados.
  • El interior del polígono está completamente contenido en la región angular interior del ángulo de cada uno de sus vértices.
  • El polígono coincide con el cierre convexo de sus vértices.
  • Todo polígono simple y cíclico, es decir, aquellos polígonos cuyos vértices están todos en su circunferencia circunscrita, son convexos. Sin embargo, no todos los polígonos convexos son cíclicos.
  • Todo polígono simple y regular son convexos. La condición de polígono simple es necesaria porque existen polígonos estrellados regulares.

Adicionalmente, todos los polígonos convexos cumplen las siguientes propiedades:

  • La intersección de dos polígonos convexos es un polígono convexo.
  • Todos los polígonos convexos son monótonos.
  • La suma de los ángulos de un polígono convexo de   lados es   radianes.[5]
  • El número de diagonales de un polígono de n lados es: .
  • En toda colección de al menos 3 polígonos convexos: si la intersección de cada 3 de ellos es no vacía, entonces la intersección de toda la colección es no vacía (Teorema de Helly).
  • Un polígono convexo puede ser reconstruido a partir de las coordenadas de sus vértices, sin necesidad de conocer el orden de los mismos (Teorema de Krein-Milman). Esto es consecuencia de que unpolígono convexo equivale al cierre convexo de sus vértices.
  • Para cualquier par de polígonos convexos cuya intersección sea vacía, puede trazarse una recta que los separa.
  • De todos los triángulos contenidos en un polígono convexo, existe un triángulo de área maximal cuyos vértices son todos vértices del polígono.[6]
  • Todo polígono convexo con área   puede ser inscrito en el interior de un triángulo de área menor o igual a  . El área será   únicamente si el polígono es un paralelogramo.[7]
  • El diámetro medio de un polígono convexo es igual a su perímetro dividido por  . Así que su diámetro medio es igual al diámetro de una circunferencia del mismo perímetro que el polígono[8]
  • Para todo polígono convexo  , podemos inscribir dentro un rectángulo   tal que una copia homotética de  , llamada  , será circunscrita a   y la razón de homotecia será menor o igual a 2, y además  .[9]

Referencias

  1. A. G. Tsipkin: Manual de matemáticas para la enseñanza media Editorial Mir Moscú (1985)
  2. Milton Donayre: Número y figura Editorial Lumbreras, Lima
  3. Milton Donayre: Número y figura Editorial Lumbreras, Lima
  4. Donayre. Op. cit.
  5. Esto es consecuencia de que todo polígono convexo admite una Triangulación en abanico en (n-2) triángulos.
  6. -, Christos. «Is the area of intersection of convex polygons always convex?». Math Stack Exchange. 
  7. Weisstein, Eric W. «Triangle Circumscribing». Wolfram Math World. 
  8. Jim Belk. «What's the average width of a convex polygon?». Math Stack Exchange. 
  9. Lassak, M. (1993). «Approximation of convex bodies by rectangles». Geometriae Dedicata 47: 111. doi:10.1007/BF01263495. 

Enlaces externos

  •   Datos: Q3259505
  •   Multimedia: Convex polygons

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Este articulo o seccion necesita referencias que aparezcan en una publicacion acreditada Este aviso fue puesto el 10 de agosto de 2016 Un poligono convexo es un poligono en el que cada uno de los angulos interiores miden a lo sumo 180 grados o p displaystyle pi radianes Un poligono es estrictamente convexo si todos sus angulos internos son estrictamente menores de 180 grados y todas sus diagonales son interiores Todo poligono que no es convexo se denomina poligono concavo Un decagono regular Todos los poligonos regulares y simples son poligonos convexos Indice 1 Definicion 2 Elementos y subconjuntos 2 1 Punto interior 2 2 Frontera 2 3 Exterior 2 4 Proposicion 2 5 Region poligonal 3 Propiedades de los poligonos convexos 4 Referencias 5 Enlaces externosDefinicion EditarUn poligono es convexo si al prolongar cualquiera de sus lados queda completamente en uno de los semiplanos que determina tal recta 1 Los poligonos convexos tienen una amplia gama de propiedades que los hacen especialmente utiles en la resolucion de problemas de geometria geometria computacional e informatica grafica Todos los triangulos son poligonos convexos Todos los poligonos regulares son convexos salvo los poligonos estrellados regulares Un poligono simple puede ser convexo o concavo excepto un triangulo que no puede ser concavo Dos puntos distintos A y B determinan un lado de un triangulo y una recta el tercer punto C queda en uno de los semiplanos determinado por la recta AB y por ello todo el D queda en un solo semiplano respecto a AB Pero si hay por los menos dos puntos mas aparte de A y B ellos pueden estar en un mismo semiplano o en semiplanos opuestos lo que no garantiza la convexidad 2 Elementos y subconjuntos EditarPunto interior Editar Sea I un punto del plano se traza por I una recta que corta a dos de los lados del poligono en los puntos M y N si el punto I esta entre M y N al punto I se llama punto interior del poligono y al conjunto de todos los puntos interiores se denomina interior del poligono 3 Frontera Editar La union de todos los lados se nombra frontera del poligono Exterior Editar Un punto E del plano que no esta en el interior de un poligono tampoco en la frontera se llama punto exterior del poligono El conjunto de todos los puntos exteriores se nombra exterior del poligono Proposicion Editar la union del interior la frontera y el exterior de un poligono es igual al plano que los contiene Ademas por ser dos a dos disjuntos son una particion del plano De modo que un punto arbitrario del plano esta en uno y solo uno de dichos subconjuntos interior frontera exterior 4 Region poligonal Editar La union del interior y de la frontera de un poligono se llama region poligonalPropiedades de los poligonos convexos Editar El cierre convexo de una serie de puntos es siempre un poligono convexo Triangulacion en abanico de un poligono convexo empleando las diagonales de un vertice Las siguientes propiedades de un poligono simple son equivalentes a la condicion de convexidad Todos sus angulos son menores 180 grados Todo segmento cuyos extremos esten en el interior o la frontera del poligono esta contenido en la region poligonal Todas sus diagonales estan contenidas completamente en la region poligona hecho que no ocurre en caso de poligonos concavos El interior del poligono esta completamente contenido en el semiplano definido por la recta soporte de cada uno de sus lados El interior del poligono esta completamente contenido en la region angular interior del angulo de cada uno de sus vertices El poligono coincide con el cierre convexo de sus vertices Todo poligono simple y ciclico es decir aquellos poligonos cuyos vertices estan todos en su circunferencia circunscrita son convexos Sin embargo no todos los poligonos convexos son ciclicos Todo poligono simple y regular son convexos La condicion de poligono simple es necesaria porque existen poligonos estrellados regulares Adicionalmente todos los poligonos convexos cumplen las siguientes propiedades La interseccion de dos poligonos convexos es un poligono convexo Todos los poligonos convexos son monotonos La suma de los angulos de un poligono convexo de n displaystyle n lados es n 2 p displaystyle n 2 cdot pi radianes 5 El numero de diagonales de un poligono de n lados es N d n n 3 2 displaystyle N d frac n n 3 2 En toda coleccion de al menos 3 poligonos convexos si la interseccion de cada 3 de ellos es no vacia entonces la interseccion de toda la coleccion es no vacia Teorema de Helly Un poligono convexo puede ser reconstruido a partir de las coordenadas de sus vertices sin necesidad de conocer el orden de los mismos Teorema de Krein Milman Esto es consecuencia de que unpoligono convexo equivale al cierre convexo de sus vertices Para cualquier par de poligonos convexos cuya interseccion sea vacia puede trazarse una recta que los separa De todos los triangulos contenidos en un poligono convexo existe un triangulo de area maximal cuyos vertices son todos vertices del poligono 6 Todo poligono convexo con area A displaystyle A puede ser inscrito en el interior de un triangulo de area menor o igual a 2 A displaystyle 2A El area sera 2 A displaystyle 2A unicamente si el poligono es un paralelogramo 7 El diametro medio de un poligono convexo es igual a su perimetro dividido por p displaystyle pi Asi que su diametro medio es igual al diametro de una circunferencia del mismo perimetro que el poligono 8 Para todo poligono convexo C displaystyle C podemos inscribir dentro un rectangulo r displaystyle r tal que una copia homotetica de r displaystyle r llamada R displaystyle R sera circunscrita a C displaystyle C y la razon de homotecia sera menor o igual a 2 y ademas 0 5 area R area C 2 area r displaystyle 0 5 text area R leq text area C leq 2 text area r 9 Referencias Editar A G Tsipkin Manual de matematicas para la ensenanza mediaEditorial Mir Moscu 1985 Milton Donayre Numero y figuraEditorial Lumbreras Lima Milton Donayre Numero y figuraEditorial Lumbreras Lima Donayre Op cit Esto es consecuencia de que todo poligono convexo admite una Triangulacion en abanico en n 2 triangulos Christos Is the area of intersection of convex polygons always convex Math Stack Exchange Weisstein Eric W Triangle Circumscribing Wolfram Math World Jim Belk What s the average width of a convex polygon Math Stack Exchange Lassak M 1993 Approximation of convex bodies by rectangles Geometriae Dedicata 47 111 doi 10 1007 BF01263495 Enlaces externos EditarWeisstein Eric W ConvexPolygon En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Wikimedia Commons alberga una categoria multimedia sobre Poligono convexo Datos Q3259505 Multimedia Convex polygons Obtenido de https es wikipedia org w index php title Poligono convexo amp oldid 137918342, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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