Los polinomios de Hermite (en su forma "física") satisfacen las siguientes relaciones de recurrencia:
Descomposición en serie de funciones
Toda función fcontinua puede expresarse como serie infinita en términos de polinomios de Hermite:
Donde las constantes de la anterior serie vienen dadas por:
Otros resultados
Ecuación diferencial de Hermite
Los polinomios de Hermite son soluciones de la ecuación diferencial de Hermite:[1]
que en forma canónica puede escribirse como:
Referencia
Spiegel & Abellanas, 1992, p.158.
Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992). McGraw-Hill, ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid). ISBN 84-7615-197-7.
Datos:Q658574
Multimedia:Hermite polynomials
Febrero 25, 2022
polinomios, hermite, polinomios, hermite, ejemplo, polinomios, ortogonales, encuentran, principal, ámbito, aplicaciones, mecánica, cuántica, sobre, todo, estudio, oscilador, armónico, unidimensional, nombrados, así, honor, charles, hermite, cinco, primeros, po. Los polinomios de Hermite son un ejemplo de polinomios ortogonales que encuentran su principal ambito de aplicaciones en mecanica cuantica sobre todo en el estudio del oscilador armonico unidimensional Son nombrados asi en honor de Charles Hermite Los cinco primeros polinomios de Hermite probabilisticos Indice 1 Definicion 2 Propiedades 2 1 Ortogonalidad 2 2 Funcion generadora 2 3 Formulas de recurrencia 2 4 Descomposicion en serie de funciones 2 5 Otros resultados 3 Ecuacion diferencial de Hermite 4 ReferenciaDefinicion EditarLos polinomios de Hermite se definen como H n x 1 n e x 2 2 d n d x n e x 2 2 displaystyle H n x 1 n e x 2 2 frac d n dx n e x 2 2 los polinomios de Hermite probabilisticos o a veces como los polinomios de Hermite fisicos H n p h y s x 1 n e x 2 d n d x n e x 2 displaystyle H n mathrm phys x 1 n e x 2 frac d n dx n e x 2 Estas dos definiciones no son exactamente equivalentes una es un reescalado trivial de la otra H n p h y s x 2 n 2 H n p r o b 2 x displaystyle H n mathrm phys x 2 n 2 H n mathrm prob sqrt 2 x Los polinomios fisicos pueden expresarse como H n p h y s x 2 x n n n 1 1 2 x n 2 n n 1 n 2 n 3 2 2 x n 4 displaystyle H n mathrm phys x 2x n frac n n 1 1 2x n 2 frac n n 1 n 2 n 3 2 2x n 4 dots Propiedades EditarOrtogonalidad Editar H n displaystyle displaystyle H n es un polinomio de grado n con n 0 1 2 3 Estos polinomios son ortogonales con respecto de la funcion peso medida e x 2 2 displaystyle e x 2 2 probabilista o e x 2 displaystyle e x 2 fisica es decir H n x H m x e x 2 2 d x displaystyle int infty infty H n x H m x e x 2 2 dx n 2 p d n m displaystyle n sqrt 2 pi delta mathit nm probabilista o H n x H m x e x 2 d x n 2 n p d n m displaystyle int infty infty H n x H m x e x 2 dx n 2 n sqrt pi delta mathit nm fisica donde dij es la delta de Kronecker que vale la unidad cuando n m y cero en otro caso Los polinomios probabilisticos son ortogonales con respecto a la funcion de densidad de probabilidad normal Funcion generadora Editar e 2 t x t 2 n 0 H n p h y s x t n n displaystyle e 2tx t 2 sum n 0 infty frac H n mathrm phys x t n n Formulas de recurrencia Editar Los polinomios de Hermite en su forma fisica satisfacen las siguientes relaciones de recurrencia H n 1 p h y s x 2 x H n p h y s x 2 n H n 1 p h y s x displaystyle H n 1 mathrm phys x 2xH n mathrm phys x 2nH n 1 mathrm phys x H n p h y s x 2 n H n 1 p h y s x displaystyle H n mathrm phys x 2nH n 1 mathrm phys x Descomposicion en serie de funciones Editar Toda funcion f continua puede expresarse como serie infinita en terminos de polinomios de Hermite f x n 0 A n H n x A 0 H 0 x A 1 H 1 x A 2 H 2 x displaystyle f x sum n 0 infty A n H n x A 0 H 0 x A 1 H 1 x A 2 H 2 x ldots Donde las constantes de la anterior serie vienen dadas por A k 1 2 k k p e x 2 f x H k x d x displaystyle A k frac 1 2 k k sqrt pi int infty infty e x 2 f x H k x dx Otros resultados Editar H n x 1 n H n x displaystyle H n x 1 n H n x H 2 n 1 0 0 displaystyle H 2n 1 0 0 H 2 n p h y s 0 1 n 2 n 1 3 5 2 n 1 displaystyle H 2n mathrm phys 0 1 n 2 n 1 cdot 3 cdot 5 cdot dots cdot 2n 1 Ecuacion diferencial de Hermite EditarLos polinomios de Hermite son soluciones de la ecuacion diferencial de Hermite 1 d 2 y d x 2 2 x d y d x 2 n y 0 displaystyle frac d 2 y dx 2 2x frac dy dx 2ny 0 que en forma canonica puede escribirse como 1 e x 2 d d x e x 2 d y d x 2 n y 0 displaystyle frac 1 e x 2 frac d dx left e x 2 frac dy dx right 2ny 0 Referencia Editar Spiegel amp Abellanas 1992 p 158 Spiegel Murray R Abellanas Lorenzo 1992 McGraw Hill ed Formulas y tablas de matematica aplicada Aravaca Madrid ISBN 84 7615 197 7 Datos Q658574 Multimedia Hermite polynomials Obtenido de https es wikipedia org w index php title Polinomios de Hermite amp oldid 140335356, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,