Plano de Moulton

En geometría de incidencia, el plano de Moulton es un ejemplo de un plano afín en el que el teorema de Desargues no se cumple. Debe su nombre al astrónomo estadounidense Forest Ray Moulton (1872–1952). Los puntos del plano de Moulton son simplemente los puntos del plano real R² y las líneas son líneas regulares, con la excepción de que para las líneas con pendiente negativa, esta se duplica cuando cruzan el eje y.

El plano de Moulton. Para las líneas descendentes hacia la derecha, su pendiente se duplica cuando cruzan el eje y.

Definición formal

El plano de Moulton es una estructura de incidencia ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=\langle P,G,{\textrm {I}}\rangle }$ , donde ${\displaystyle P}$  denota el conjunto de puntos, ${\displaystyle G}$  es el conjunto de líneas y ${\displaystyle {\textrm {I}}}$  es la relación de incidencia "se encuentra en"

${\displaystyle P:=\mathbb {R} ^{2}\,}$ 

${\displaystyle G:=(\mathbb {R} \cup \{\infty \})\times \mathbb {R} ,}$ 

${\displaystyle \infty }$  es solo un símbolo formal para un elemento ${\displaystyle \not \in \mathbb {R} }$ . Se utiliza para describir líneas verticales, que se pueden identificar como líneas con una pendiente infinitamente grande.

La relación de incidencia se define como sigue:

Para ${\displaystyle p=(x,y)\in P}$  y ${\displaystyle g=(m,b)\in G}$  se tiene que

${\displaystyle p\,{\textrm {I}}\,g\iff {\begin{cases}x=b&{\text{si }}m=\infty \\y={\frac {1}{2}}mx+b&{\text{si }}m\leq 0,x\leq 0\\y=mx+b&{\text{si }}m\geq 0{\text{ ó }}x\geq 0.\end{cases}}}$ 

Aplicación

El plano de Moulton es un plano afín en el que el teorema de Desargues no se cumple.^[1]​ El plano proyectivo asociado consecuentemente también es no-desarguiano. Esto significa que existen planos proyectivos no isomorfos a ${\displaystyle PG(2,F)}$  para cualquier conjunto con estructura de anillo de división F. Aquí ${\displaystyle PG(2,F)}$  es el plano proyectivo ${\displaystyle P(F^{3})}$  determinado por un espacio vectorial tridimensional sobre el campo (sesgado) F.

Notas

1. Beutelspacher y Rosenbaum, 1998

Referencias

• Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Projective Geometry : From Foundations to Applications, Cambridge University Press, pp. 76–78, ISBN 978-0-521-48364-3 .
• Moulton, Forest Ray (1902), «A Simple Non-Desarguesian Plane Geometry», Transactions of the American Mathematical Society (Providence, R.I.: American Mathematical Society) 3 (2): 192-195, ISSN 0002-9947, JSTOR 1986419, doi:10.2307/1986419 .
• Richard S. Millman, George D. Parker: "Geometría: un enfoque métrico con modelos". Springer 1991, ISBN 9780387974125, pp. 97-104

•   Datos: Q650995