Plano (geometría)

En geometría, un plano es un objeto ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es un concepto fundamental de la geometría junto con el punto y la recta.

Gráfica de dos hipérbolas y sus asíntotas en el plano cartesiano.

Representación gráfica informal de un plano.

Cuando se habla de un plano de polina, se está hablando del objeto geométrico que no posee volumen, es decir bidimensional, y que contiene un número infinito de rectas y puntos. Sin embargo, cuando el término se utiliza en plural, se está hablando de aquel objeto elaborado como una representación gráfica de superficies en diferentes posiciones. Los planos son especialmente utilizados en ingeniería, arquitectura y diseño, ya que sirven para diagramar en una superficie plana o en otras superficies que son regularmente tridimensionales.

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:

• Tres puntos no alineados.
• Una recta y un punto exterior a ella.

• Dos rectas paralelas o dos rectas que se cortan.

Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.

Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).

En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda determinado por un par ordenado, llamados abscisa y ordenada del punto. Mediante ese procedimiento, a todo punto del plano corresponden siempre dos números reales ordenados (abscisa y ordenada), y recíprocamente, a un par ordenado de números corresponde un único punto del plano. Consecuentemente, el sistema cartesiano establece una correspondencia biunívoca entre un concepto geométrico como es el de los puntos del plano y un concepto algebraico como son los pares ordenados de números. En coordenadas polares, por un ángulo y una distancia. Esta correspondencia constituye el fundamento de la geometría analítica.

El área es una medida de extensión de una superficie, o de una figura geométrica plana, expresada en unidades de medida denominadas unidades de superficie. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos, por ejemplo un polígono, puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

Propiedades del plano ℝ³

 

Intersección de dos planos en un espacio tridimensional. Representación isométrica de dos planos perpendiculares.

En un espacio euclidiano tridimensional ℝ³, podemos hallar los siguientes hechos (los cuales no son necesariamente válidos para dimensiones mayores):

• O bien dos planos son paralelos, o bien se intersecan en una línea.
• O bien una recta es paralela a un plano, o bien se interseca con el mismo en un punto, o bien está contenida en él.
• Dos rectas perpendiculares a un mismo plano son paralelas entre sí.
• Dos planos perpendiculares a una misma recta son paralelos entre sí.
• Entre un plano Π cualquiera y una recta no perpendicular al mismo existe solo un plano tal que contiene a la recta y es perpendicular al plano Π.
• Entre un plano Π cualquiera y una recta perpendicular al mismo existen infinitos planos tales que contienen a la recta y son perpendiculares al plano Π.

Ecuación vectorial del plano

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: un punto y dos vectores:

Punto P = (x₁, y₁, z₁)
Vector u = (u_x, u_y, u_z)
Vector v = (a₂, b₂, c₂)

${\displaystyle (x,y,z)=(x_{1},y_{1},z_{1})+m(u_{x},u_{y},u_{z})+n(a_{2},b_{2},c_{2})\,\!}$

donde ${\displaystyle m}$  y ${\displaystyle n}$  son escalares.

Esta es la forma vectorial del plano; sin embargo, la forma más utilizada es la reducida, resultado de igualar a cero el determinante formado por los dos vectores y el punto genérico X = (x, y, z) con el punto dado. De esta manera la ecuación del plano es:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}(\mathbf {X} -\mathbf {P} )\\\mathbf {u} \\\mathbf {v} \end{vmatrix}}=0=>{\begin{vmatrix}x-P_{x}&y-P_{y}&z-P_{z}\\u_{x}&u_{y}&u_{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{vmatrix}}=0=>Ax+By+Cz+D=0}$ 

Donde (A, B, C) es un vector perpendicular al plano y coincide con el producto vectorial de los vectores u y v. La fórmula para hallar la ecuación cuando no está en el origen es:

${\displaystyle a(x-h)+b(y-k)+c(z-j)=0\,}$ 

Estrictamente

P = P₀ + mA + nB es la ecuación del plano determinado por un punto fijo y dos vectores A y B no colineales.^[1]​

Ecuación mediante vector ortogonal

a.x = 0, donde a es un vector ortogonal y x un punto del plano.

Posición relativa entre dos planos

Si tenemos un plano 1 con un punto A y un vector normal 1, y también tenemos un plano 2 con un punto B y un vector normal 2.

Sus posiciones relativas pueden ser:

• Planos coincidentes: la misma dirección de los vectores normales y el punto A pertenece al plano 2.
• Planos paralelos: si tienen la misma dirección los vectores normales y el punto A no pertenece al plano 2.
• Planos secantes: si los vectores normales no tienen la misma dirección.

Distancia de un punto a un plano

Para un plano cualquiera ${\displaystyle \Pi :ax+by+cz+d=0\,}$  y un punto cualquiera ${\displaystyle \mathbf {p} _{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}$  no necesariamente contenido en dicho plano Π, la menor distancia entre P₁ y el plano Π es:

${\displaystyle D={\frac {\left|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}.}$ 

De lo anterior se deduce que el punto P₁ pertenecerá al plano Π si y solo si D=0.

Si los coeficientes a, b y c de la ecuación canónica de un plano cualquiera están normalizados, esto es cuando ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=1}$ , entonces la fórmula anterior de la distancia D se reduce a:

${\displaystyle D=\ |ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d|.}$ 

Semiplano

 

Plano cuadriculado.

Se llama semiplano, en geometría, cada una de las dos partes en que un plano queda dividido por una recta.

Analíticamente

La inecuación ${\displaystyle ax+by+c\geq 0}$  determina un semiplano y su recta frontera ${\displaystyle ax+by+c=0}$ 

La inecuación ${\displaystyle ax+by+c>0}$  determina un semiplano sin incluir la frontera ${\displaystyle ax+by+c=0}$ . Este semiplano es un conjunto convexo, abierto y no acotado.

Partición

La recta de ecuación ${\displaystyle L=ax+by+c=0}$ y los semiplanos ${\displaystyle S_{1}=ax+by+c<0}$ , ${\displaystyle S_{2}=ax+by+c>0}$  determinan una partición del plano, de modo que un punto cualquiera de este está exactamente en uno, y solo uno de los tres conjuntos: recta L, semiplanos ${\displaystyle S_{1}}$  o ${\displaystyle S_{2}}$ .^[2]​

Postulados de la división de un plano

En cada pareja de semiplanos que una recta r determina sobre un plano existen infinitos puntos tales que:

1. Todo punto del plano pertenece a uno de los dos semiplanos o a la recta que los determina.
2. Dos puntos del mismo semiplano determinan un segmento que no corta a la recta r.
3. Dos puntos de semiplanos diferentes determinan un segmento que corta a la recta 'r8.

Véase también

• Geometría plana
• Geometría analítica
• Espacio euclídeo
• Recta
• Punto
• Superficie (matemática)
• Superficie (física)
• Plano proyectivo

Referencias

1. Hasser Análisis matemático tomo II
2. A. S. Solodóvnikov Sistemas de desigualdades lineales Editorial Mir Moscú (1980)

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Plano». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• "Reduciendo la dificultad de la geometría aritmética y planar" es un manuscrito árabe del siglo XV, que sirve como un tutorial sobre geometría plana y la aritmética

•   Datos: Q17285
•   Multimedia: Euclidean planes