Paralelismo (matemática)

En la geometría, el paralelismo es una relación que se establece entre cualquier variedad lineal de dimensión mayor o igual a 1 (rectas, planos, hiperplanos entre otros). En el plano cartesiano dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente^[1]​^[2]​ o son perpendiculares a uno de los ejes, por ejemplo la función constante. En geometría afín, expresando una variedad lineal como V = p + E, con p punto y E espacio vectorial, se dice que A = a + F es paralela a B = b + G sii F está contenido en G o G está contenido en F, donde A y B son subvariedades lineales de la misma variedad lineal V y F y G son subespacios vectoriales del mismo espacio vectorial E. En el plano (afín) (V = ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$), esto se traduce de la siguiente manera: dos rectas son paralelas si contienen un mismo vector director.

Dos rectas paralelas.

Planos paralelos.

Obsérvese que, en un espacio afín tridimensional, una recta y un plano pueden ser paralelos, y también que la coincidencia de variedades lineales es un caso particular de paralelismo.

Así, dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas si o bien son una y la misma recta (son rectas coincidentes) o, por el contrario, no comparten ningún punto.

De manera análoga, en el espacio, dos planos son paralelos si bien son uno y el mismo plano o bien no comparten ninguna recta.

Rectas paralelas

 

Construcción de una línea paralela, a un punto dado, usando solo regla y compás

Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos, es decir, si estos nunca se unen o cruzan.

Axioma de unicidad

El axioma que distingue a la geometría euclidiana de otras geometrías es el siguiente:

En un plano, por un punto exterior a una recta pasa una y solo una paralela a dicha recta.

Propiedades

Artículo principal: Relación de equivalencia

Dado el conjunto P de rectas en el plano, podemos definir la relación binaria: ${\displaystyle \parallel }$  que representamos del siguiente modo:

${\displaystyle a\parallel b\quad ,\quad \parallel (a,b)\quad ,\quad (a,b)\in \parallel }$ 

Siendo a, b, c rectas en el plano P, se cumple:

• Reflexiva: Toda recta es paralela a sí misma:

${\displaystyle \forall a\in P:\quad a\parallel a}$ 

• Simétrica: Si una recta es paralela a otra, aquella es paralela a la primera:

${\displaystyle \forall a,b\in P:\quad a\parallel b\longrightarrow \quad b\parallel a}$ 

Estas dos propiedades se deducen de la intersección de conjuntos y no dependen del axioma de unicidad.

• Transitiva: Si una recta es paralela a otra, y esta a su vez paralela a una tercera, la primera es paralela a la tercera:

${\displaystyle \forall a,b,c\in P:\quad {\Big (}\;a\parallel b\;\land \;b\parallel c\;{\Big )}\longrightarrow \quad a\parallel c}$ 

Luego la relación de paralelismo entre rectas del plano es una relación de equivalencia.

Estas mismas propiedades se pueden comprobar en el conjunto de planos paralelos en el espacio.

Teoremas

• En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí.

• Si una recta corta a otra recta, entonces corta a todas las paralelas de esta (en un plano).

Las demostraciones de estos dos teoremas y de la tercera propiedad usan el axioma de unicidad.

Véase también

• Perpendicularidad
• Quinto postulado de Euclides
• Ángulos entre paralelas
• Rectas paralelas cortadas por una secante

Referencias

1. Llopis, José L. «Rectas paralelas y perpendiculares». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 17 de febrero de 2020. 
2. Sapiña, R. «Paralelas y perpendiculares». Problemas y ecuaciones. ISSN 2659-9899. Consultado el 17 de febrero de 2020. 

• Weisstein, Eric W. «Parallel». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

•   Datos: Q53875