Paradoja de Burali-Forti

Se conoce como paradoja de Burali-Forti a la suposición, dentro de una teoría de conjuntos axiomática, de que la totalidad de los números ordinales forma un conjunto. Dicha suposición lleva a una contradicción en la teoría. Debe su nombre al matemático Cesare Burali-Forti, que la descubrió en 1897.^[1]​

Enunciado

Hoy en día se interpreta dicha contradicción como el enunciado del siguiente teorema:

No existe el conjunto On que contiene todos los ordinales.

Es inmediato demostrarlo por reducción al absurdo.

Demostración

Supóngase que existe dicho conjunto On. Puesto que es un conjunto transitivo bien ordenado por la inclusión, es a su vez un ordinal. Por la definición de On, se tiene entonces On ∈ On, lo cual es imposible para un ordinal. Más aún, existiría entonces el ordinal siguiente On + 1, de manera que se tendría On ∈ On + 1. Puesto que On contiene a todos los ordinales, también contendría a On + 1 y por tanto se cumpliría On + 1 < On, con lo que se violaría entonces la ley de tricotomía de los números ordinales.

Este enunciado es paradójico si puede demostrarse que existe tal conjunto. Este era el caso antes de la introducción de sistemas axiomáticos como ZF o NBG, en los que esto no ocurre.

Referencias

1. Véase Cantini, Andrea. «Paradoxes and Contemporary Logic». En Edward N. Zalta, ed. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2012 Edition). Archivado desde el original el 30 de julio de 2012. Consultado el 30 de julio de 2012. 

• Ivorra, Carlos, Lógica y teoría de conjuntos, consultado el 14 de noviembre de 2010 ..

Bibliografía adicional

• Burali-Forti, C. (1897). «Una questione sui numeri transfiniti». Rendiconti del Circolo Mat. di Palermo 11: 154-164. doi:10.1007/BF03015911.  El artículo original de Burali-Forti.

•   Datos: Q1010269