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Oscilador armónico

Se dice que un sistema cualquiera, mecánico, eléctrico, neumático, etc., es un oscilador armónico si, cuando se deja en libertad fuera de su posición de equilibrio, vuelve hacia ella describiendo oscilaciones sinusoidales, o sinusoidales amortiguadas en torno a dicha posición estable.

El ejemplo es el de una masa colgada a un resorte. Cuando se aleja la masa de su posición de reposo, el resorte ejerce sobre la masa una fuerza que es proporcional al desequilibrio (distancia a la posición de reposo) y que está dirigida hacia la posición de equilibrio. Si se suelta la masa, la fuerza del resorte acelera la masa hacia la posición de equilibrio. A medida que la masa se acerca a la posición de equilibrio y que aumenta su velocidad, la energía potencial elástica del resorte se transforma en energía cinética de la masa. Cuando la masa llega a su posición de equilibrio, la fuerza será cero, pero como la masa está en movimiento, continuará y pasará del otro lado. La fuerza se invierte y comienza a frenar la masa. La energía cinética de la masa va transformándose ahora en energía potencial del resorte hasta que la masa se para. Entonces este proceso vuelve a producirse en dirección opuesta completando una oscilación.

Si toda la energía cinética se transformase en energía potencial y viceversa, la oscilación seguiría eternamente con la misma amplitud. En la realidad, siempre hay una parte de la energía que se transforma en otra forma, debido a la viscosidad del aire o porque el resorte no es perfectamente elástico. Así pues, la amplitud del movimiento disminuirá más o menos lentamente con el paso del tiempo. Se empezará tratando el caso ideal, en el cual no hay pérdidas. Se analizará el caso unidimensional de un único oscilador (para la situación con varios osciladores, véase movimiento armónico complejo).

Casos

Oscilador armónico sin pérdidas

Se denominará   a la distancia entre la posición de equilibrio y la masa, a la que se le dominara  . Se supondrá que la fuerza del resorte es estrictamente proporcional al desequilibrio:   (ley de Hooke).   es la fuerza y   la constante elástica del resorte. El signo negativo indica que cuando   es positiva la fuerza está dirigida hacia las   negativas.

La segunda ley de Newton nos dice:

 

remplazando la fuerza obtenemos:

 

La solución de esta ecuación diferencial ordinaria es inmediata: las únicas funciones reales (no complejas) cuya segunda derivada es la misma función con el signo invertido son seno y coseno. Las dos funciones corresponden al mismo movimiento. Escogemos arbitrariamente "coseno". La solución se escribe:

 
 
Símbolo Nombre
  Elongación o diferencia respecto al estado de equilibrio
  Amplitud, máxima diferencia respecto a la posición de equilibrio
  Pulsación (o frecuencia angular)
  Frecuencia
  Tiempo
  Fase inicial (para  )
  •  

Es fácil comprobar que el valor de   es:   El período de oscilación es:   Como ya hemos dicho, durante un cuarto de una oscilación la energía potencial se transforma en energía cinética. Durante otro cuarto, la energía cinética se transforma en energía potencial. En la figura de la derecha se ha trazado la posición en función del tiempo (curva de arriba), la velocidad en función del tiempo (en medio) y las energías potenciales y cinéticas (abajo).

Oscilador armónico amortiguado

 

Es el caso de rozamientos secos: la fuerza no depende ni de la velocidad ni de la posición. Otra situación que se produce en la realidad es que la fuerza sea proporcional a la velocidad elevada a una potencia, entera o no. Así sucede cuando la fuerza que frena proviene de la viscosidad o de las pérdidas aerodinámicas. Se tratará únicamente el caso más simple, es decir, cuando la fuerza sea proporcional a la velocidad. En este caso la fuerza será:

 

Donde   es un coeficiente que mide el amortiguamiento debido a la viscosidad. Si   es pequeño, el sistema está poco amortiguado. Nótese el signo negativo que indica, como antes, que si la velocidad es positiva, la fuerza tiene la dirección superior opuesta a la velocidad de la partícula. Con este término complementario la ecuación diferencial del sistema es:

 

Se trata de una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden[1]​ (contiene derivadas segundas) y homogénea (no hay término independiente de  ). Tiene tres tipos de soluciones según el valor de  :

  • Si   el sistema está sobreamortiguado (amortiguamiento fuerte o supercrítico)
  • Si   el sistema tiene amortiguamiento crítico.
  • Si   el sistema oscila con amplitud decreciente (amortiguamiento débil o subcrítico)

Oscilador sobreamortiguado

 

En este caso el sistema no es realmente un oscilador, ya que no oscila. La solución es de la forma:

 

donde los coeficientes de las exponenciales son menores que cero y reales (por lo que no hay oscilación):

 

y

 

  y   dependen de las condiciones iniciales (es decir, de la situación del sistema para  ). La posición no es oscilante y tiende hacia la posición de equilibrio de manera asintótica. Las dos exponenciales decrecientes de las soluciones tienen constantes de tiempo diferentes. Una es pequeña   y corresponde a la rápida cancelación del efecto de la velocidad inicial. La segunda   es más grande y describe la lenta tendencia hacia la posición de equilibrio.

Oscilador con amortiguamiento crítico

Este caso es el límite entre un sistema oscilante y uno no oscilante. Ocurre cuando

 

La solución única es:

 

como antes,   y   son constantes que dependen de las condiciones iniciales.

El amortiguamiento crítico corresponde a la tendencia más rápida hacia la situación de equilibrio cuando no sobrepasa esa posición. Si se disminuye un poco el amortiguamiento el sistema se acerca más rápidamente a la posición de equilibrio, pero sobrepasando la posición oscila en torno a ese punto (tomando valores positivos y negativos).

Oscilador con amortiguamiento débil

 

En este caso, que es más interesante, tenemos un oscilador que oscila alrededor de la posición de equilibrio con amplitud decreciente. Sucede cuando:

 

La solución es:

 

como antes,   y   son constantes que dependen de las condiciones iniciales. La pulsación es:

 

La pulsación del sistema amortiguado es un poco menor que la pulsación del sistema no amortiguado   porque la fuerza que lo amortigua, frena la masa y la retarda.

La oscilación del sistema está descrita por una sinusoide de frecuencia   cuya amplitud está multiplicada por una exponencial decreciente cuya constante de tiempo es  .

Factor de calidad Q

En un sistema poco amortiguado es interesante definir el factor de calidad (Quality factor en inglés) o simplemente Q como:

 

esta cantidad es igual a   veces el inverso de las pérdidas relativas de energía por período. Así, un sistema que pierde 1% de energía a cada ciclo, tendrá un Q de 628. Más interesante, Q es también   veces el número de oscilaciones que el sistema hace mientras su amplitud se divide por un factor  . Aceptando una aproximación más burda, Q es 3 veces el número de oscilaciones que un sistema hace mientras su amplitud cae a 1/3 de la amplitud inicial.

Como ejemplos, el Q de un vehículo con los amortiguadores en buen estado es un poco más grande que 1. El Q de una cuerda de guitarra es de varios miles. El Q de los cristales de cuarzo utilizados en electrónica como referencia de frecuencia es el orden de 1 millón. Una copa de vidrio ordinario tiene un Q mucho más pequeño que una copa de vidrio de plomo (cristal).

Oscilaciones forzadas

Podemos iniciar el movimiento un oscilador armónico desplazándolo de su posición de equilibrio y abandonándolo a su oscilación libre (ver párrafos precedentes).

Alternativamente, podemos aplicarle una fuerza cuya intensidad varíe de manera sinusoidal con el tiempo. En esta situación, la ecuación diferencial lineal es inhomogénea. La solución a este tipo de ecuación está formada por dos términos: la solución general del sistema homogéneo más una solución particular del caso inhomogéneo.[2]​ Por tanto, la solución está formada por dos partes, una parte transitoria (que se anula pasado cierto tiempo), similar a las que vimos en los párrafos precedentes, más una parte estacionaria. La solución de la parte transitoria es la misma la que ya hemos visto (ecuación homogénea). Las únicas diferencias son las condiciones iniciales y finales, que no son idénticas. Vamos a interesarnos a la solución estacionaria. En la ecuación diferencial del sistema hay que añadir la fuerza sinusoidal:

 

Para resolver esta ecuación es más interesante utilizar el mismo método que en electricidad y electrónica. Para ello, se añade a la fuerza real una fuerza imaginaria . Como en electrónica, se utiliza   en lugar de i. Ahora la ecuación a resolver es:

 

Pero por supuesto, como en electricidad, sólo la parte real de y será de interés. La solución es inmediata:

 

Si se deriva esta expresión y se sustituye en la ecuación diferencial, se encuentra el valor de A:

 

Pero A puede escribirse como   y la solución de   compleja es:

 

El valor de   real es la parte real de la expresión precedente:

 

donde   es el módulo de   y   su argumento:

 
 

Como en electricidad, el ángulo   da el desfase del movimiento con respecto a la fuerza externa. Si   es positivo, el movimiento está en avance de fase y si   es negativo el movimiento está en retardo de fase. En este caso el desfase será siempre negativo.

Respuesta en frecuencia

La amplitud de las oscilaciones forzadas dependerá, por supuesto, de la amplitud de la fuerza externa. Pero para una misma amplitud de la fuerza, la amplitud de la oscilación dependerá también de la frecuencia. Veamos como varia la amplitud   con  . Utilizando la definición de frecuencia propia del sistema (sin amortiguamiento ni fuerza externa):

 
 

se puede escribir:

 

Si además se utiliza la definición de  , se obtiene:

 

En el dibujo de derecha se ha representado la amplitud de la oscilación forzada en función de la frecuencia para varios valores del factor de calidad Q. A muy baja frecuencia la amplitud es la misma que si la fuerza fuese estática  , y el sistema oscilará entre las posiciones   y  . Cuando la frecuencia aumenta, la amplitud también, alcanzando un máximo cuando la frecuencia de excitación es igual a la frecuencia propia del sistema. A esa frecuencia propia también se le llama frecuencia de resonancia. También se dice que un sistema excitado a una frecuencia próxima a la frecuencia de resonancia "resuena" o "entra en resonancia". A la frecuencia de resonancia, la amplitud de las oscilaciones será Q veces más grande que la que se obtiene en baja frecuencia.

El ancho del pico de resonancia a media altura, es decir cuando la amplitud es igual a la mitad del máximo, es igual a la frecuencia de resonancia dividida por Q. Ese ancho también se llama banda pasante.

Oscilador forzado y caos

El oscilador armónico no perturbado en una dimensión es un ejemplo de sistema integrable, con comportamiento regular. Sin embargo, el oscilador armónico perturbado puede presentar un comportamiento caótico[3]​ caracterizado por un atractor extraño. Por ejemplo en el caso de una perturbación de tipo   la ecuación de movimiento es:

 

Este sistema es no integrable y el movimiento tiende rápidamente hacia el llamado atractor de Duffing.[4]

Oscilador de van der Pol

 
Comportamiento caótico en el oscilador de van der Pol con excitación sinusoidal. μ = 8.53, mientras que la excitación externa tiene amplitud A = 1.2 y frecuencia angular ω = 2π / 10.

El oscilador de van der Pol es un caso especial de oscilador con amortiguamiento no lineal, que responde a la ecuación:

 

Fue descrito por primera vez en 1935 por Balthasar van der Pol[5]​ y presenta comportamiento caótico.

Oscilador armónico torsional

Importancia en física

Considérese el caso de un cuerpo sometido a una fuerza unidimensional:  . Desarrollando dicha fuerza en serie de Taylor alrededor del punto de equilibrio ( ):

 

Como el origen es el punto de equilibrio, el primer término del desarrollo es nulo. Si las oscilaciones en torno a   son lo suficientemente pequeñas, uno se puede quedar con la aproximación lineal y despreciar los términos de orden superior:

 

Llamándole   a la derivada de la fuerza, se obtiene de nuevo la fuerza recuperadora de Hooke. Aquí radica la importancia del oscilador armónico: supone una primera aproximación para el estudio de un sistema cuando se producen pequeñas oscilaciones en torno a su posición (o estado) de equilibrio.[6]

Ejemplos

Circuito LC

Circuito LC sin pérdidas

 

En la figura de la derecha se ha dibujado un circuito oscilante LC (una bobina y un condensador) ideal, es decir sin pérdidas.

Supóngase que, en la situación inicial, el condensador está cargado a una tensión V y que en ese momento se conecta la inductancia. La tensión presente en las extremidades de la inductancia va a hacer aparecer una corriente de sentido inverso a la de la flecha del dibujo, que aumentará con el tiempo. A medida que el condensador suministra corriente a la inductancia, se descarga y la tensión disminuye. La disminución de la tensión hace que la corriente aumente menos rápidamente. La situación continua así, con la tensión del condensador que disminuye cada vez más rápidamente (porque la corriente aumenta) y la corriente que aumenta más lentamente (porque la tensión disminuye). Llega un momento en el cual el condensador está completamente descargado y la corriente ha llegado a un máximo. Ahora la corriente continúa circulando porque la inductancia se lo impone. El condensador comienza a cargarse en el otro sentido y hace aparecer una tensión en los bornes de la inductancia que hace disminuir la corriente. La situación continúa del siguiente modo: el condensador se va cargando cada vez más lentamente (porque la corriente disminuye), mientras que la corriente va disminuyendo cada vez más rápidamente (porque la tensión inversa aumenta). Así, se llega a la situación en la cual la corriente se anula y la tensión del condensador es máxima y del mismo valor que la tensión inicial, pero con sentido opuesto. La situación es análoga a la de una masa sostenida por un resorte. La inductancia juega el papel de la masa. La masa tiene inercia e impide que el movimiento cambie bruscamente. La inductancia impide que la corriente cambie bruscamente. Veamos las ecuaciones.

El comportamiento eléctrico del condensador está descrito por la ecuación:  . El de la inductancia está descrito por  . Como en el esquema   es positivo cuando sale del lado positivo de la inductancia, hay que agregar un signo negativo:  . Se tiene, pues, este sistema de ecuaciones diferenciales:

 
 

Para eliminar  , basta derivar la primera ecuación, para reemplazar la derivada de I en la segunda:

 

que se puede escribir como:

 

Esta ecuación es la misma que la de la masa con un resorte.   es equivalente a la posición  .   es equivalente a la masa   y   es equivalente a la constante del resorte  .

La solución es:

 

con

 

Como de costumbre,   y   dependen de las condiciones iniciales.

Circuito LC con pérdidas

 

El esquema de la derecha representa un circuito oscilante LC con pérdidas. Las pérdidas están representadas por las pérdidas en una resistencia. En un circuito real, las pérdidas provienen de resistencias en serie como la dibujada. Dichas resistencias pueden estar en el exterior de la inductancia o del condensador, pero también pueden ser resistencias internas de esos componentes. También puede haber resistencias en paralelo, perdidas en el dieléctrico del condensador o en el núcleo de la bobina (si es ferromagnético). También puede haber pérdidas por radiación de ondas electromagnéticas. La resistencia hará que la tensión sobre la bobina sea diferente de la tensión sobre el condensador. La corriente creada será menor que si no hubiese habido pérdidas y cuando la corriente cargue de nuevo el condensador, la tensión a la cual llegará será menor. Por su parte, la amplitud disminuirá y tenderá hacia cero. La ecuación del nuevo sistema es:

 

La ecuación es la misma que la de una masa con un resorte y con un amortiguador. Esta vez   es el equivalente del coeficiente de rozamiento  . La solución es:

 

con

 

y

 

donde   es la frecuencia propia del circuito (sin pérdidas).

Oscilaciones forzadas de un circuito LC con pérdidas

 

El esquema de la derecha muestra un generador conectado a un circuito LC en serie. Si la tensión del generador es  , la ecuación es:

 

La expresión se puede reescribir, dándole un aspecto similar a las formas precedentes:

 

Como en el ejemplo mecánico, en régimen estacionario la solución es:

 

donde

 

y

 

  y   son los mismos que en el párrafo precedente. La amplitud de la tensión de salida es máxima a la resonancia (cuando  ) y vale   veces la tensión de entrada.

Oscilador armónico cuántico

 
Funciones de onda para los primeros seis autoestados, n = 0 a 5. El eje horizontal muestra la posición y en unidades (h/2πmω)1/2. Las gráficas están sin normalizar.
 
Densidades de probabilidad de los primeros autoestados (dimensión vertical, con los de menor energía en la parte inferior) para las diferentes localizaciones espaciales (dimensión horizontal).

Susodichamente, el oscilador armónico se puede emplear para estudiar sistemas que realicen pequeñas oscilaciones en torno a una posición de equilibrio. En particular, el oscilador armónico cuántico se puede emplear para estudiar las oscilaciones de los átomos de una molécula diatómica, como la de hidrógeno, H2, o la de cloruro de hidrógeno, HCl.[7]

El oscilador armónico es uno de los casos en los que se puede obtener una solución analítica sencilla de la ecuación de Schrödinger. En esta situación, el hamiltoniano de la partícula considerada estará descrito por:

 

Nótese que para el caso de moléculas diatómicas, la masa   sería, en realidad, la masa reducida del sistema. Se ve claramente que el primer sumando es un término cinético, mientras que el segundo es el armónico. Como el hamiltoniano no depende del tiempo, sólo resta resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, a fin de hallar los autoestados de la energía  :

 

Se puede demostrar que las funciones de onda,  , cuyo módulo al cuadrado describe la densidad de probabilidad de que la partícula tenga una determinada posición  , son el producto de exponenciales por los polinomios de Hermite. La figura de la derecha muestra la forma de dichas funciones para los seis autoestados con energía más baja (el estado de menor energía es el que figura en la parte superior de la misma). En particular, la energía del nivel n-ésimo será:

 

donde   es la constante de Planck.

Es importante señalar un par de hechos:

  • Los niveles de energía se encuentran cuantizados, es decir, sólo pueden tomar una serie de valores discretos.
  • El nivel mínimo de energía no es cero, sino  . Nótese que la función de onda de dicho estado muestra que la partícula no se encuentra en todo momento en la posición de equilibrio  .

En la segunda figura, se muestran las densidades de probabilidad espacial de la partícula para los diferentes autoestados. Nótese que a medida que crece la energía del autoestado considerado (es decir, el orden  ), las distribuciones de probabilidad tienden a concentrarse en los puntos de retorno, o máxima amplitud. Esta situación es la que se da en el caso clásico, si se define para él una densidad de probabilidad inversamente proporcional a la velocidad de la partícula en cada punto.[8]​ Por tanto, se cumple el principio de correspondencia (es decir, se pueden predecir los resultados que se obtendrían en el límite clásico).

Véase también

Referencias

  1. Simmons, capítulo 3
  2. Simmons, páginas 84-87
  3. T.N. Palmer (1995): "A local deterministic model of Quantum Spin Measurement", Proceedings: Mathematical and Physical Sciences, Volume 451, Issue 1943, pp. 585-608
  4. Cartwright, M.L., "Balthazar van der Pol", J. London Math. Soc., 35, 367-376, (1960).
  5. Marion, páginas 103 y 104
  6. Tipler, página 1190
  7. Guillén, páginas 114 y 115

Bibliografía

  • Feynman, Leighton and Sands. Lectures on physics. Addison-Wesley. ISBN 0-8053-9045-6. 
  • R. Resnick and D. Halliday (1996). Physics. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-83202-2. 
  • Marion, Jerry B. (1996). Dinámica clásica de las partículas y sistemas. Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4094-8. 
  • Simmons, George F. (1999). Ecuaciones Diferenciales. Con aplicaciones y notas históricas. Aravaca (Madrid): McGraw-Hill. ISBN 84-481-0045-X. 
  • Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (volumen 2). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3. 
  • Sánchez Guillén, Joaquín. Braun, Mijail A. (1993). Física cuántica. Madrid: Alianza Editorial. ISBN 84-206-8145-8. 

Enlaces externos

  • Artículo en la Wikipedia en francés sobre el péndulo compuesto
  • Hyperphysics (sitio en inglés)
  • Oscilador armónico cuántico en Hyperphysics.
  • (en inglés) con animaciones acerca del oscilador armónico, el péndulo simple y otros fenómenos.
  • Página (en inglés) con animaciones de oscilaciones y ondas.
  •   Datos: Q190070
  •   Multimedia: Harmonic oscillators

oscilador, armónico, dice, sistema, cualquiera, mecánico, eléctrico, neumático, oscilador, armónico, cuando, deja, libertad, fuera, posición, equilibrio, vuelve, hacia, ella, describiendo, oscilaciones, sinusoidales, sinusoidales, amortiguadas, torno, dicha, p. Se dice que un sistema cualquiera mecanico electrico neumatico etc es un oscilador armonico si cuando se deja en libertad fuera de su posicion de equilibrio vuelve hacia ella describiendo oscilaciones sinusoidales o sinusoidales amortiguadas en torno a dicha posicion estable El ejemplo es el de una masa colgada a un resorte Cuando se aleja la masa de su posicion de reposo el resorte ejerce sobre la masa una fuerza que es proporcional al desequilibrio distancia a la posicion de reposo y que esta dirigida hacia la posicion de equilibrio Si se suelta la masa la fuerza del resorte acelera la masa hacia la posicion de equilibrio A medida que la masa se acerca a la posicion de equilibrio y que aumenta su velocidad la energia potencial elastica del resorte se transforma en energia cinetica de la masa Cuando la masa llega a su posicion de equilibrio la fuerza sera cero pero como la masa esta en movimiento continuara y pasara del otro lado La fuerza se invierte y comienza a frenar la masa La energia cinetica de la masa va transformandose ahora en energia potencial del resorte hasta que la masa se para Entonces este proceso vuelve a producirse en direccion opuesta completando una oscilacion Si toda la energia cinetica se transformase en energia potencial y viceversa la oscilacion seguiria eternamente con la misma amplitud En la realidad siempre hay una parte de la energia que se transforma en otra forma debido a la viscosidad del aire o porque el resorte no es perfectamente elastico Asi pues la amplitud del movimiento disminuira mas o menos lentamente con el paso del tiempo Se empezara tratando el caso ideal en el cual no hay perdidas Se analizara el caso unidimensional de un unico oscilador para la situacion con varios osciladores vease movimiento armonico complejo Indice 1 Casos 1 1 Oscilador armonico sin perdidas 1 2 Oscilador armonico amortiguado 1 2 1 Oscilador sobreamortiguado 1 2 2 Oscilador con amortiguamiento critico 1 2 3 Oscilador con amortiguamiento debil 1 2 3 1 Factor de calidad Q 1 3 Oscilaciones forzadas 1 4 Respuesta en frecuencia 1 5 Oscilador forzado y caos 1 6 Oscilador de van der Pol 1 7 Oscilador armonico torsional 2 Importancia en fisica 3 Ejemplos 3 1 Circuito LC 3 1 1 Circuito LC sin perdidas 3 1 2 Circuito LC con perdidas 3 1 3 Oscilaciones forzadas de un circuito LC con perdidas 4 Oscilador armonico cuantico 5 Vease tambien 6 Referencias 7 Bibliografia 8 Enlaces externosCasos EditarOscilador armonico sin perdidas Editar Articulo principal Movimiento armonico simple Se denominara y displaystyle scriptstyle y a la distancia entre la posicion de equilibrio y la masa a la que se le dominara m displaystyle scriptstyle m Se supondra que la fuerza del resorte es estrictamente proporcional al desequilibrio F k y displaystyle scriptstyle F ky ley de Hooke F displaystyle scriptstyle F es la fuerza y k displaystyle scriptstyle k la constante elastica del resorte El signo negativo indica que cuando y displaystyle scriptstyle y es positiva la fuerza esta dirigida hacia las y displaystyle scriptstyle y negativas La segunda ley de Newton nos dice F m a m d v d t m d 2 y d t 2 displaystyle F ma m dv over dt m d 2 y over dt 2 remplazando la fuerza obtenemos m d 2 y d t 2 k y displaystyle m d 2 y over dt 2 ky La solucion de esta ecuacion diferencial ordinaria es inmediata las unicas funciones reales no complejas cuya segunda derivada es la misma funcion con el signo invertido son seno y coseno Las dos funciones corresponden al mismo movimiento Escogemos arbitrariamente coseno La solucion se escribe y A cos w t ϕ displaystyle y A cos omega t phi Simbolo Nombrey displaystyle y Elongacion o diferencia respecto al estado de equilibrioA displaystyle A Amplitud maxima diferencia respecto a la posicion de equilibriow displaystyle omega Pulsacion o frecuencia angular f displaystyle f Frecuenciat displaystyle t Tiempoϕ displaystyle phi Fase inicial para t 0 displaystyle t 0 w 2 p f displaystyle omega 2 pi f Es facil comprobar que el 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m b displaystyle scriptstyle tau 2m over b Factor de calidad Q Editar En un sistema poco amortiguado es interesante definir el factor de calidad Quality factor en ingles o simplemente Q como Q k m b displaystyle Q sqrt km over b dd esta cantidad es igual a 2 p displaystyle 2 pi veces el inverso de las perdidas relativas de energia por periodo Asi un sistema que pierde 1 de energia a cada ciclo tendra un Q de 628 Mas interesante Q es tambien p displaystyle textstyle pi veces el numero de oscilaciones que el sistema hace mientras su amplitud se divide por un factor e displaystyle textstyle e Aceptando una aproximacion mas burda Q es 3 veces el numero de oscilaciones que un sistema hace mientras su amplitud cae a 1 3 de la amplitud inicial Como ejemplos el Q de un vehiculo con los amortiguadores en buen estado es un poco mas grande que 1 El Q de una cuerda de guitarra es de varios miles El Q de los cristales de cuarzo utilizados en electronica como referencia de frecuencia es el orden de 1 millon Una copa de vidrio ordinario tiene un Q mucho mas pequeno que una copa de vidrio de plomo cristal Oscilaciones forzadas Editar Podemos iniciar el movimiento un oscilador armonico desplazandolo de su posicion de equilibrio y abandonandolo a su oscilacion libre ver parrafos precedentes Alternativamente podemos aplicarle una fuerza cuya intensidad varie de manera sinusoidal con el tiempo En esta situacion la ecuacion diferencial lineal es inhomogenea La solucion a este tipo de ecuacion esta formada por dos terminos la solucion general del sistema homogeneo mas una solucion particular del caso inhomogeneo 2 Por tanto la solucion esta formada por dos partes una parte transitoria que se anula pasado cierto tiempo similar a las que vimos en los parrafos precedentes mas una parte estacionaria La solucion de la parte transitoria es la misma la que ya hemos visto ecuacion homogenea Las unicas diferencias son las condiciones iniciales y finales que no son identicas Vamos a interesarnos a la solucion estacionaria En la ecuacion diferencial del sistema hay que anadir la fuerza sinusoidal m d 2 y d t 2 b d y d t k y F m cos w t displaystyle m d 2 y over dt 2 b dy over dt ky F m cos omega t dd Para resolver esta ecuacion es mas interesante utilizar el mismo metodo que en electricidad y electronica Para ello se anade a la fuerza real una fuerza imaginariaj F m sen w t displaystyle scriptstyle jF m text sen omega t Como en electronica se utiliza j 2 1 displaystyle scriptstyle j 2 1 en lugar de i Ahora la ecuacion a resolver es m d 2 y d t 2 b d y d t k y F m e j w t displaystyle m d 2 y over dt 2 b dy over dt ky F m e j omega t dd Pero por supuesto como en electricidad solo la parte real de y sera de interes La solucion es inmediata y A e j w t displaystyle y Ae j omega t dd Si se deriva esta expresion y se sustituye en la ecuacion diferencial se encuentra el valor de A A F m k m w 2 j b w displaystyle A F m over k m omega 2 jb omega dd Pero A puede escribirse como A r e j ϕ displaystyle scriptstyle A rho e j phi y la solucion de y displaystyle scriptstyle y compleja es y r e j ϕ e j w t r e j w t ϕ displaystyle y rho e j phi e j omega t rho e j left omega t phi right dd El valor de y displaystyle scriptstyle y real es la parte real de la expresion precedente y r cos w t ϕ displaystyle y rho cos left omega t phi right dd donde r displaystyle scriptstyle rho es el modulo de A displaystyle scriptstyle A y ϕ displaystyle scriptstyle phi su argumento r A F m k m w 2 j b w displaystyle rho left A right left F m over k m omega 2 jb omega right ϕ arg A arg F m k m w 2 j b w displaystyle phi arg left A right arg left F m over k m omega 2 jb omega right dd Como en electricidad el angulo ϕ displaystyle scriptstyle phi da el desfase del movimiento con respecto a la fuerza externa Si ϕ displaystyle scriptstyle phi es positivo el movimiento esta en avance de fase y si ϕ displaystyle scriptstyle phi es negativo el movimiento esta en retardo de fase En este caso el desfase sera siempre negativo Respuesta en frecuencia Editar La amplitud de las oscilaciones forzadas dependera por supuesto de la amplitud de la fuerza externa Pero para una misma amplitud de la fuerza la amplitud de la oscilacion dependera tambien de la frecuencia Veamos como varia la amplitud r displaystyle scriptstyle rho con w displaystyle scriptstyle omega Utilizando la definicion de frecuencia propia del sistema sin amortiguamiento ni fuerza externa w k m displaystyle omega circ sqrt k over m dd se puede escribir A F m k 1 1 w w o 2 j w w o b 2 k m displaystyle A F m over k 1 over 1 left omega over omega o right 2 j omega over omega o sqrt b 2 over km dd Si ademas se utiliza la definicion de Q k m b displaystyle scriptstyle Q sqrt km over b se obtiene A F m k 1 1 w w o 2 j w w o 1 Q displaystyle A F m over k 1 over 1 left omega over omega o right 2 j omega over omega o 1 over Q dd En el dibujo de derecha se ha representado la amplitud de la oscilacion forzada en funcion de la frecuencia para varios valores del factor de calidad Q A muy baja frecuencia la amplitud es la misma que si la fuerza fuese estatica F m k A displaystyle scriptstyle F m kA y el sistema oscilara entre las posiciones F m k displaystyle scriptstyle F m over k y F m k displaystyle scriptstyle F m over k Cuando la frecuencia aumenta la amplitud tambien alcanzando un maximo cuando la frecuencia de excitacion es igual a la frecuencia propia del sistema A esa frecuencia propia tambien se le llama frecuencia de resonancia Tambien se dice que un sistema excitado a una frecuencia proxima a la frecuencia de resonancia resuena o entra en resonancia A la frecuencia de resonancia la amplitud de las oscilaciones sera Q veces mas grande que la que se obtiene en baja frecuencia El ancho del pico de resonancia a media altura es decir cuando la amplitud es igual a la mitad del maximo es igual a la frecuencia de resonancia dividida por Q Ese ancho tambien se llama banda pasante Oscilador forzado y caos Editar El oscilador armonico no perturbado en una dimension es un ejemplo de sistema integrable con comportamiento regular Sin embargo el oscilador armonico perturbado puede presentar un comportamiento caotico 3 caracterizado por un atractor extrano Por ejemplo en el caso de una perturbacion de tipo x 3 displaystyle x 3 la ecuacion de movimiento es d 2 x d t 2 a d x d t w 2 x e w 2 x 3 b cos w t displaystyle frac d 2 x dt 2 a frac dx dt omega 2 x varepsilon omega 2 x 3 b cos omega t Este sistema es no integrable y el movimiento tiende rapidamente hacia el llamado atractor de Duffing 4 Oscilador de van der Pol Editar Comportamiento caotico en el oscilador de van der Pol con excitacion sinusoidal m 8 53 mientras que la excitacion externa tiene amplitud A 1 2 y frecuencia angular w 2p 10 El oscilador de van der Pol es un caso especial de oscilador con amortiguamiento no lineal que responde a la ecuacion d 2 x d t 2 m 1 x 2 d x d t x 0 displaystyle d 2 x over dt 2 mu 1 x 2 dx over dt x 0 Fue descrito por primera vez en 1935 por Balthasar van der Pol 5 y presenta comportamiento caotico Oscilador armonico torsional Editar Articulo principal Resorte de torsionImportancia en fisica EditarConsiderese el caso de un cuerpo sometido a una fuerza unidimensional F y displaystyle F y Desarrollando dicha fuerza en serie de Taylor alrededor del punto de equilibrio y 0 displaystyle y 0 F y F y 0 y d F d y y 0 1 2 y 2 d 2 F d y 2 y 0 displaystyle F y F y 0 y left frac dF dy right y 0 1 over 2 y 2 left frac d 2 F dy 2 right y 0 dd Como el origen es el punto de equilibrio el primer termino del desarrollo es nulo Si las oscilaciones en torno a y 0 displaystyle y 0 son lo suficientemente pequenas uno se puede quedar con la aproximacion lineal y despreciar los terminos de orden superior F y y d F d y y 0 displaystyle F y simeq y left frac dF dy right y 0 dd Llamandole k displaystyle k a la derivada de la fuerza se obtiene de nuevo la fuerza recuperadora de Hooke Aqui radica la importancia del oscilador armonico supone una primera aproximacion para el estudio de un sistema cuando se producen pequenas oscilaciones en torno a su posicion o estado de equilibrio 6 Ejemplos EditarCircuito LC Editar Circuito LC sin perdidas Editar En la figura de la derecha se ha dibujado un circuito oscilante LC una bobina y un condensador ideal es decir sin perdidas Supongase que en la situacion inicial el condensador esta cargado a una tension V y que en ese momento se conecta la inductancia La tension presente en las extremidades de la inductancia va a hacer aparecer una corriente de sentido inverso a la de la flecha del dibujo que aumentara con el tiempo A medida que el condensador suministra corriente a la inductancia se descarga y la tension disminuye La disminucion de la tension hace que la corriente aumente menos rapidamente La situacion continua asi con la tension del condensador que disminuye cada vez mas rapidamente porque la corriente aumenta y la corriente que aumenta mas lentamente porque la tension disminuye Llega un momento en el cual el condensador esta completamente descargado y la corriente ha llegado a un maximo Ahora la corriente continua circulando porque la inductancia se lo impone El condensador comienza a cargarse en el otro sentido y hace aparecer una tension en los bornes de la inductancia que hace disminuir la corriente La situacion continua del siguiente modo el condensador se va cargando cada vez mas lentamente porque la corriente disminuye mientras que la corriente va disminuyendo cada vez mas rapidamente porque la tension inversa aumenta Asi se llega a la situacion en la cual la corriente se anula y la tension del condensador es maxima y del mismo valor que la tension inicial pero con sentido opuesto La situacion es analoga a la de una masa sostenida por un resorte La inductancia juega el papel de la masa La masa tiene inercia e impide que el movimiento cambie bruscamente La inductancia impide que la corriente cambie bruscamente Veamos las ecuaciones El comportamiento electrico del condensador esta descrito por la ecuacion I C d V d t displaystyle scriptstyle I C dV over dt El de la inductancia esta descrito por V L d I d t displaystyle scriptstyle V L dI over dt Como en el esquema I displaystyle scriptstyle I es positivo cuando sale del lado positivo de la inductancia hay que agregar un signo negativo V L d I d t displaystyle scriptstyle V L dI over dt Se tiene pues este sistema de ecuaciones diferenciales I C d V d t displaystyle I C dV over dt V L d I d t displaystyle V L dI over dt dd Para eliminar I displaystyle scriptstyle I basta derivar la primera ecuacion para reemplazar la derivada de I en la segunda V L C d 2 V d t 2 displaystyle V LC d 2 V over dt 2 dd que se puede escribir como L d 2 V d t 2 1 C V displaystyle L d 2 V over dt 2 1 over C V dd Esta ecuacion es la misma que la de la masa con un resorte V displaystyle scriptstyle V es equivalente a la posicion y displaystyle scriptstyle y L displaystyle scriptstyle L es equivalente a la masa m displaystyle scriptstyle m y 1 C displaystyle scriptstyle 1 over C es equivalente a la constante del resorte k displaystyle scriptstyle k La solucion es V V cos w t ϕ displaystyle V V circ cos omega t phi dd con w 1 L C displaystyle omega 1 over sqrt LC dd Como de costumbre V displaystyle scriptstyle V circ y ϕ displaystyle scriptstyle phi dependen de las condiciones iniciales Circuito LC con perdidas Editar El esquema de la derecha representa un circuito oscilante LC con perdidas Las perdidas estan representadas por las perdidas en una resistencia En un circuito real las perdidas provienen de resistencias en serie como la dibujada Dichas resistencias pueden estar en el exterior de la inductancia o del condensador pero tambien pueden ser resistencias internas de esos componentes Tambien puede haber resistencias en paralelo perdidas en el dielectrico del condensador o en el nucleo de la bobina si es ferromagnetico Tambien puede haber perdidas por radiacion de ondas electromagneticas La resistencia hara que la tension sobre la bobina sea diferente de la tension sobre el condensador La corriente creada sera menor que si no hubiese habido perdidas y cuando la corriente cargue de nuevo el condensador la tension a la cual llegara sera menor Por su parte la amplitud disminuira y tendera hacia cero La ecuacion del nuevo sistema es L d 2 V d t 2 R d V d t 1 C V 0 displaystyle L d 2 V over dt 2 R dV over dt 1 over C V 0 dd La ecuacion es la misma que la de una masa con un resorte y con un amortiguador Esta vez R displaystyle scriptstyle R es el equivalente del coeficiente de rozamiento b displaystyle scriptstyle b La solucion es V V e R 2 L t cos w t ϕ displaystyle V V circ e R over 2L t cos omega t phi dd con w 1 L C R 2 L 2 displaystyle omega sqrt 1 over LC left R over 2L right 2 dd y Q L R C w L R R w C displaystyle Q sqrt L over RC omega circ L over R R over omega circ C dd donde w 1 L C displaystyle scriptstyle omega circ 1 over sqrt LC es la frecuencia propia del circuito sin perdidas Oscilaciones forzadas de un circuito LC con perdidas Editar El esquema de la derecha muestra un generador conectado a un circuito LC en serie Si la tension del generador es V f cos w t displaystyle scriptstyle V f cos omega t la ecuacion es L C d 2 V d t 2 R C d V d t V V f cos w t displaystyle LC d 2 V over dt 2 RC dV over dt V V f cos omega t dd La expresion se puede reescribir dandole un aspecto similar a las formas precedentes L d 2 V d t 2 R d V d t 1 C V V f C cos w t displaystyle L d 2 V over dt 2 R dV over dt 1 over C V V f over C cos omega t dd Como en el ejemplo mecanico en regimen estacionario la solucion es V V cos w t ϕ displaystyle V V circ cos omega t phi dd donde V V f 1 1 w w 2 j 1 Q w w displaystyle V circ V f left 1 over 1 left omega over omega circ right 2 j 1 over Q omega over omega circ right dd y ϕ A r g 1 1 w w 2 j 1 Q w w displaystyle phi Arg left 1 over 1 left omega over omega circ right 2 j 1 over Q omega over omega circ right dd w displaystyle scriptstyle omega circ y Q displaystyle scriptstyle Q son los mismos que en el parrafo precedente La amplitud de la tension de salida es maxima a la resonancia cuando w w displaystyle scriptstyle omega omega circ y vale Q displaystyle scriptstyle Q veces la tension de entrada Oscilador armonico cuantico EditarArticulo principal Oscilador armonico cuantico Funciones de onda para los primeros seis autoestados n 0 a 5 El eje horizontal muestra la posicion y en unidades h 2pmw 1 2 Las graficas estan sin normalizar Densidades de probabilidad de los primeros autoestados dimension vertical con los de menor energia en la parte inferior para las diferentes localizaciones espaciales dimension horizontal Susodichamente el oscilador armonico se puede emplear para estudiar sistemas que realicen pequenas oscilaciones en torno a una posicion de equilibrio En particular el oscilador armonico cuantico se puede emplear para estudiar las oscilaciones de los atomos de una molecula diatomica como la de hidrogeno H2 o la de cloruro de hidrogeno HCl 7 El oscilador armonico es uno de los casos en los que se puede obtener una solucion analitica sencilla de la ecuacion de Schrodinger En esta situacion el hamiltoniano de la particula considerada estara descrito por H p 2 2 m 1 2 m w 2 y 2 displaystyle hat H frac hat p 2 2m frac 1 2 m omega 2 y 2 dd Notese que para el caso de moleculas diatomicas la masa m displaystyle m seria en realidad la masa reducida del sistema Se ve claramente que el primer sumando es un termino cinetico mientras que el segundo es el armonico Como el hamiltoniano no depende del tiempo solo resta resolver la ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo a fin de hallar los autoestados de la energia E displaystyle E H ps y E ps y displaystyle hat H psi y rangle E psi y rangle dd Se puede demostrar que las funciones de onda ps y displaystyle psi y cuyo modulo al cuadrado describe la densidad de probabilidad de que la particula tenga una determinada posicion y displaystyle y son el producto de exponenciales por los polinomios de Hermite La figura de la derecha muestra la forma de dichas funciones para los seis autoestados con energia mas baja el estado de menor energia es el que figura en la parte superior de la misma En particular la energia del nivel n esimo sera E n ℏ w n 1 2 n 0 1 2 displaystyle E n hbar omega left n 1 over 2 right qquad n 0 1 2 dd donde ℏ displaystyle scriptstyle hbar es la constante de Planck Es importante senalar un par de hechos Los niveles de energia se encuentran cuantizados es decir solo pueden tomar una serie de valores discretos El nivel minimo de energia no es cero sino 1 2 ℏ w displaystyle scriptstyle 1 2 hbar omega Notese que la funcion de onda de dicho estado muestra que la particula no se encuentra en todo momento en la posicion de equilibrio y 0 displaystyle y 0 En la segunda figura se muestran las densidades de probabilidad espacial de la particula para los diferentes autoestados Notese que a medida que crece la energia del autoestado considerado es decir el orden n displaystyle n las distribuciones de probabilidad tienden a concentrarse en los puntos de retorno o maxima amplitud Esta situacion es la que se da en el caso clasico si se define para el una densidad de probabilidad inversamente proporcional a la velocidad de la particula en cada punto 8 Por tanto se cumple el principio de correspondencia es decir se pueden predecir los resultados que se obtendrian en el limite clasico Vease tambien EditarPendulo Pendulo cicloidal Pendulo de Newton Pendulo de Pohl Pendulo de torsion Pendulo fisico Pendulo simpleReferencias Editar Simmons capitulo 3 Simmons paginas 84 87 T N Palmer 1995 A local deterministic model of Quantum Spin Measurement Proceedings Mathematical and Physical Sciences Volume 451 Issue 1943 pp 585 608 Atractor de Duffing Cartwright M L Balthazar van der Pol J London Math Soc 35 367 376 1960 Marion paginas 103 y 104 Tipler pagina 1190 Guillen paginas 114 y 115Bibliografia EditarFeynman Leighton and Sands Lectures on physics Addison Wesley ISBN 0 8053 9045 6 R Resnick and D Halliday 1996 Physics John Wiley amp Sons ISBN 0 471 83202 2 Marion Jerry B 1996 Dinamica clasica de las particulas y sistemas Barcelona Ed Reverte ISBN 84 291 4094 8 Simmons George F 1999 Ecuaciones Diferenciales Con aplicaciones y notas historicas Aravaca Madrid McGraw Hill ISBN 84 481 0045 X Tipler Paul A 2000 Fisica para la ciencia y la tecnologia volumen 2 Barcelona Ed Reverte ISBN 84 291 4382 3 Sanchez Guillen Joaquin Braun Mijail A 1993 Fisica cuantica Madrid Alianza Editorial ISBN 84 206 8145 8 Enlaces externos EditarArticulo en la Wikipedia en frances sobre el pendulo compuesto Hyperphysics sitio en ingles Oscilador armonico cuantico en Hyperphysics Pagina en ingles con animaciones acerca del oscilador armonico el pendulo simple y otros fenomenos Pagina en ingles con animaciones de oscilaciones y ondas Datos Q190070 Multimedia Harmonic oscillatorsObtenido de https es wikipedia org w index php title Oscilador armonico amp oldid 136585522, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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