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Números pares e impares

En matemáticas, un número par es un número entero que es divisible entre dos.[1]​ Se trata de un número entero que se puede escribir de la forma: 2k (es decir, divisible de manera entera entre 2), donde k es un entero (los números pares son los múltiplos del número 2). Los números enteros que no son pares se llaman números impares (o números menores), y pueden escribirse como 2k+1.[2]

Los números pares son:

y los impares:

La paridad de un número entero se refiere a su atributo de ser par o impar.[3]​ Comparativamente, dos números son «de la misma paridad» si al dividirlos entre 2, el resto es el mismo, por ejemplo: "2" y "4", o "3" y "7"; son «de la misma paridad». Por el contrario los números "23" y "44" son «de distinta paridad».

Esta se complementa por una fácil fórmula:

par + par = par | par + impar = impar | impar + impar = par

Reconocimiento

Si la base de numeración utilizada es un número par (por ejemplo, base 10 o base 8), un número par podrá reconocerse si su último dígito también es par. Por ejemplo, el siguiente número en base 10:

 

es par ya que su último dígito: 6, también es par. Lo mismo sucede con el siguiente número en base 6:

 

Si la base del sistema de numeración es impar (3, 5, etc), el número será par si el número de dígitos con cifra impar es par, en cualquier otro caso el número será impar. Por ejemplo, en base 3:

 

es impar, dado que el uno es la única cifra impar, mientras que:

 

Como el 3 y el 1 son impares, hay un número par de cifras impares y el número es par.

Paridad del cero

El cero es un número par, cumple con la definición así como con todas las propiedades de los números pares.

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5. La potencias de base par son pares y recíprocamente si una potencia es par su base es par[4]
  6. El resto de la división de un número par entre un número par es par; nada se colige del cociente que puede tener cualquier paridad.

Propiedades con respecto a la divisibilidad

  • Dos números enteros consecutivos tienen paridad diferente.
  • Dados tres enteros consecutivos, dos serán de la misma paridad y uno de ellos será necesariamente de paridad distinta de los otros dos.

Tipos especiales de números pares

  • Los números perfectos son pares.
  • Los factoriales de un natural diferente de 1 y de 0 y los números primoriales son pares.
  • Los números congruentes de Fibonacci son todos pares. Según la definición del mismo Fibonacci (Leonardo de Pisa, Filius Bonacci), que aparece en su libro Liber Quadratorum (1225), un número congruente es de la forma m·n (m² - n²), con m y n enteros positivos impares y m > n.

Tipos especiales de números impares

  • Los números primos, con la única salvedad del 2, que es par. Se trata de aquellos números naturales que no tienen otros divisores más que ellos mismos y el 1.
    • Los números primos de la forma  , con n un número natural cualquiera, se descomponen de una única manera en suma de dos cuadrados de números enteros. Esto fue estudiado por Fermat y permite que ese primo sea la hipotenusa de un triángulo rectángulo diofántico o triángulo rectángulo diofantino. Estas últimas dos palabras se refieren a triángulos con lados enteros positivos en honor a Diofanto de Alejandría, quien estudió los problemas en los que interesa obtener soluciones enteras.
    • Los primos de la forma   no pueden expresarse como suma de dos cuadrados enteros, pero sí como diferencia de cuadrados. La raíz cuadrada del cuadrado mayor, o minuendo de la diferencia, es igual a  , donde n es el mismo natural que aparece en la expresión del número primo.

Definiciones en desuso

En el libro 7 de los Elementos de Euclides[5]​ (definiciones 8 a 10), vienen definidas unas clases de números que, aunque hoy en desuso, han sido citadas de forma recurrente en libros históricos de matemáticas.

  • Número parmente par, pariter par o propiamente par «es el medido por un número par según un número par». Sería, por tanto, el producto de dos números pares (todos son múltiplos de 4).
  • Número parmente impar o pariter impar «es el medido por un número par según un número impar», es decir, el producto de un número par por un número impar.
  • Número imparmente impar, impariter impar o propiamente impar «es el medido por un número impar según un número impar», es decir, el producto de dos números impares.

Observaciones:

  • En estas definiciones, el 1 no cuenta como número,[6][7]​ por lo que los números imparmente impares son exactamente los números impares compuestos. Estos son los números que se emplean en la criba de Sundaram para hallar números primos: un número primo será todo número impar (con la consabida excepción del 2) que no esté en la criba de Sundaram.
  • Algunos números se consideran tanto parmente pares como parmente impares. Por ejemplo, 24 es igual a 6 por 4, así que es parmente par; pero también es igual a 3 por 8, con lo que es parmente impar.

Algunas fuentes, tales como Dorado contador. Aritmética especulativa y práctica (1794)[8]​ y el más reciente, Enjambre matemático,[9]​ utilizan otra definición para los números parmente pares: no se trata de los que son productos de dos pares, sino de los que sólo se pueden expresar como producto de dos pares (exceptuando, por supuesto, el producto de sí mismos por uno). Según esta definición, los números parmente pares son exactamente las potencias de 2. Asimismo, definen el número parmente impar como el múltiplo de una potencia de 2 por un número impar e introducen el concepto, ausente en la obra de Euclides,[9]​ de número imparmente par como un número que es doble de un número impar. La definición del número imparmente impar no sufre variación.

El libro Llave aritmética y algebrayca[10]​ utiliza las primeras definiciones y explica el caso de que haya números que son simultáneamente parmente pares y parmente impares. Esta definición, además, queda reforzada en la proposición 32 del libro 9 de los Elementos,[5]​ que explica así: «Cada uno de los números (que es continuamente) duplicado a partir de una díada es solamente un (número) parmente par.»

Divisibilidad par

Sea el conjunto de los pares   = {0, 2, 4, 6, 8, 10,...2n..., n cualquier natural}.[11]

Sean a b, c elementos de  , se dirá que a|p b si existe c tal que b = ac. También se dice que b es divisible parmente[12]
Por ejemplo 8 | 16 pues 16 = 2·8
Primo en  

el elemento a es primo en 2Z si no existe un elemento de 2Z que lo divida.

Por ejemplo, 6, 10, pues no hay elemento de 2Z que lo dividan parmente.

  • Los primos de   son el producto de los impares por 2 únicamente.
Divisores de un número

Fuera de los primos en sentido par, los otros números tienen más de dos divisores

para el caso de 24, tiene como divisores 2, 4, 6, 12, y 8 no es divisor parmente de 24.
Divisores comunes

48 y 32 tienen como divisores comunes 2, 4, 8, y 16 no, porque no divide parmente a 48[13]

Máximo común divisor parmente

El mayor de los divisores comunes de dos elementos de   se llama máximo común divisor (m.c.d.).

Por ejemplo, m.c.d.(32,48) = 8

Álgebra

  • la suma de números naturales pares es par y cabe la propiedad asociativa, el conjunto de los números pares es un semigrupo conmutativo con la adición; si se admite 0 como natural, sería el elemento neutro aditivo par.
  • El conjunto de los números enteros pares con la adición es un grupo abeliano, pues se cumplen: la clausura, asociatividad, existe el elemento neutro par el cero y para cada par existe su opuesto.
  • El conjunto de los números naturales impares con la multiplicación es un semigrupo asociativo, con unidad.

Paridad de potencias

  • Si a2 es un número par entonces a es un número par. Esta propiedad se usa en la demostración de la irracionalidad de  [14]

Véase también

Referencias

  1. Diccionario de la lengua española. Real Academia Española.
  2. Weisstein, Eric W. «Número par». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
  3. Weisstein, Eric W. «Paridad». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
  4. Cualquier texto de análisis matemático al hablar de la irracionalidad de  
  5. , versión bilingüe en griego e inglés (disponible en PDF)
  6. "(El uno no era considerado como un número impar, sino más bien como el origen de todos los números.)" (Dantzig, Tobías (1971). Capítulo III: La Ciencia de los Números, del libro El número. Lenguaje de la ciencia, Buenos Aires, Hobbs Sudmericana, pp. 49, 53. Cita de la página 53)
  7. Esto provenía de una doctrina oculta vinculada al sacerdocio pagano. El uno representaba a la divinidad antes del acto creador. El primer número era el dos, la dualidad creadora, que permite percibir por medio de la diferenciación. Para esos seres humanos todo se creaba de a pares opuestos: luz-oscuridad; sí-no; masculino-femenino. La unidad primigenia era indiscernible. De aquí proviene la verdadera razón por la que el número uno no es considerado un número primo. La definición elemental de número primo es: «Primo es aquel número natural que solamente es divisible por sí mismo y por la unidad». Algunas personas objetan por qué 1 no es primo basándose en que no hay razón lógica que se pueda oponer para negar que 1 cumple con esa definición. La razón es que originariamente el número 1 no era considerado un número. Aunque a posteriori se pudieran agregar otros motivos, el comienzo de todo está en esta concepción mística primitiva de los números, en una tradición olvidada.
  8. de Santa Cruz, Miguel Gerónimo (1794). Dorado contador. Aritmética especulativa y práctica.. Madrid: Imprenta de don Benito Cano. pp. 4-6. 
  9. Rodríguez Vidal, R. Enjambre matemático. Reverté. pp. 73-75. 
  10. Poy y Comes, Manuel (1790). Llave aritmética y algebrayca. Barcelona: Impresor de S.M., Calle de la Paja. pp. 4-6. 
  11. Ruiz Arango, Teoría de los números
  12. El símbolo |p, léase "divide parmente"
  13. Ruiz Arango. Ibídem
  14. Cualquier texto que trate de números reales


  •   Datos: Q230967
  •   Multimedia: Parity (mathematics)

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En matematicas un numero par es un numero entero que es divisible entre dos 1 Se trata de un numero entero que se puede escribir de la forma 2k es decir divisible de manera entera entre 2 donde k es un entero los numeros pares son los multiplos del numero 2 Los numeros enteros que no son pares se llaman numeros impares o numeros menores y pueden escribirse como 2k 1 2 Los numeros pares son p a r e s 14 12 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 displaystyle mathrm pares 14 12 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 y los impares i m p a r e s 15 13 11 9 7 5 3 1 1 3 5 7 9 11 13 15 displaystyle mathrm impares 15 13 11 9 7 5 3 1 1 3 5 7 9 11 13 15 La paridad de un numero entero se refiere a su atributo de ser par o impar 3 Comparativamente dos numeros son de la misma paridad si al dividirlos entre 2 el resto es el mismo por ejemplo 2 y 4 o 3 y 7 son de la misma paridad Por el contrario los numeros 23 y 44 son de distinta paridad Esta se complementa por una facil formula par par par par impar impar impar impar par Indice 1 Reconocimiento 2 Paridad del cero 3 Propiedades con respecto a la divisibilidad 3 1 Tipos especiales de numeros pares 3 2 Tipos especiales de numeros impares 3 3 Definiciones en desuso 4 Divisibilidad par 4 1 Maximo comun divisor parmente 5 Algebra 6 Paridad de potencias 7 Vease tambien 8 ReferenciasReconocimiento EditarSi la base de numeracion utilizada es un numero par por ejemplo base 10 o base 8 un numero par podra reconocerse si su ultimo digito tambien es par Por ejemplo el siguiente numero en base 10 352107706 10 displaystyle 352107706 10 es par ya que su ultimo digito 6 tambien es par Lo mismo sucede con el siguiente numero en base 6 2145301354 6 23211718 100 displaystyle 2145301354 6 23211718 100 Si la base del sistema de numeracion es impar 3 5 etc el numero sera par si el numero de digitos con cifra impar es par en cualquier otro caso el numero sera impar Por ejemplo en base 3 120 3 15 10 displaystyle 120 3 15 10 es impar dado que el uno es la unica cifra impar mientras que 321 5 86 10 displaystyle 321 5 86 10 Como el 3 y el 1 son impares hay un numero par de cifras impares y el numero es par Paridad del cero EditarArticulo principal Paridad del cero El cero es un numero par cumple con la definicion asi como con todas las propiedades de los numeros pares I 1 I 2 2 a 1 2 b 1 2 a 2 b 2 2 a b 1 2 n displaystyle I 1 I 2 2a 1 2b 1 2a 2b 2 2 a b 1 2n P 1 P 2 2 a 2 b 2 2 a b 2 c 2 n displaystyle P 1 cdot P 2 2a cdot 2b 2 2 cdot a cdot b 2 c 2n P 1 I 1 2 a 2 b 1 2 a 2 b 2 a 2 c 2 a 2 c a 2 n displaystyle P 1 cdot I 1 2a cdot 2b 1 2a cdot 2b 2a 2c 2a 2 c a 2n I 1 I 2 2 a 1 2 b 1 2 a 2 b 2 a 2 b 1 2 c 2 a 2 b 1 2 c a b 1 2 n 1 displaystyle I 1 cdot I 2 2a 1 cdot 2b 1 2a cdot 2b 2a 2b 1 2c 2a 2b 1 2 c a b 1 2n 1 La potencias de base par son pares y reciprocamente si una potencia es par su base es par 4 El resto de la division de un numero par entre un numero par es par nada se colige del cociente que puede tener cualquier paridad Propiedades con respecto a la divisibilidad EditarDos numeros enteros consecutivos tienen paridad diferente Dados tres enteros consecutivos dos seran de la misma paridad y uno de ellos sera necesariamente de paridad distinta de los otros dos Tipos especiales de numeros pares Editar Los numeros perfectos son pares Los factoriales de un natural diferente de 1 y de 0 y los numeros primoriales son pares Los numeros congruentes de Fibonacci son todos pares Segun la definicion del mismo Fibonacci Leonardo de Pisa Filius Bonacci que aparece en su libro Liber Quadratorum 1225 un numero congruente es de la forma m n m n con m y n enteros positivos impares y m gt n Tipos especiales de numeros impares Editar Los numeros primos con la unica salvedad del 2 que es par Se trata de aquellos numeros naturales que no tienen otros divisores mas que ellos mismos y el 1 Los numeros primos de la forma 4 n 1 displaystyle 4 cdot n 1 con n un numero natural cualquiera se descomponen de una unica manera en suma de dos cuadrados de numeros enteros Esto fue estudiado por Fermat y permite que ese primo sea la hipotenusa de un triangulo rectangulo diofantico o triangulo rectangulo diofantino Estas ultimas dos palabras se refieren a triangulos con lados enteros positivos en honor a Diofanto de Alejandria quien estudio los problemas en los que interesa obtener soluciones enteras Los primos de la forma 4 n 3 displaystyle 4 cdot n 3 no pueden expresarse como suma de dos cuadrados enteros pero si como diferencia de cuadrados La raiz cuadrada del cuadrado mayor o minuendo de la diferencia es igual a 2 n 1 displaystyle 2 n 1 donde n es el mismo natural que aparece en la expresion del numero primo Definiciones en desuso Editar En el libro 7 de los Elementos de Euclides 5 definiciones 8 a 10 vienen definidas unas clases de numeros que aunque hoy en desuso han sido citadas de forma recurrente en libros historicos de matematicas Numero parmente par pariter par o propiamente par es el medido por un numero par segun un numero par Seria por tanto el producto de dos numeros pares todos son multiplos de 4 Numero parmente impar o pariter impar es el medido por un numero par segun un numero impar es decir el producto de un numero par por un numero impar Numero imparmente impar impariter impar o propiamente impar es el medido por un numero impar segun un numero impar es decir el producto de dos numeros impares Observaciones En estas definiciones el 1 no cuenta como numero 6 7 por lo que los numeros imparmente impares son exactamente los numeros impares compuestos Estos son los numeros que se emplean en la criba de Sundaram para hallar numeros primos un numero primo sera todo numero impar con la consabida excepcion del 2 que no este en la criba de Sundaram Algunos numeros se consideran tanto parmente pares como parmente impares Por ejemplo 24 es igual a 6 por 4 asi que es parmente par pero tambien es igual a 3 por 8 con lo que es parmente impar Algunas fuentes tales como Dorado contador Aritmetica especulativa y practica 1794 8 y el mas reciente Enjambre matematico 9 utilizan otra definicion para los numeros parmente pares no se trata de los que son productos de dos pares sino de los que solo se pueden expresar como producto de dos pares exceptuando por supuesto el producto de si mismos por uno Segun esta definicion los numeros parmente pares son exactamente las potencias de 2 Asimismo definen el numero parmente impar como el multiplo de una potencia de 2 por un numero impar e introducen el concepto ausente en la obra de Euclides 9 de numero imparmente par como un numero que es doble de un numero impar La definicion del numero imparmente impar no sufre variacion El libro Llave aritmetica y algebrayca 10 utiliza las primeras definiciones y explica el caso de que haya numeros que son simultaneamente parmente pares y parmente impares Esta definicion ademas queda reforzada en la proposicion 32 del libro 9 de los Elementos 5 que explica asi Cada uno de los numeros que es continuamente duplicado a partir de una diada es solamente un numero parmente par Divisibilidad par EditarSea el conjunto de los pares 2 Z displaystyle 2 mathbb Z 0 2 4 6 8 10 2n n cualquier natural 11 Sean a b c elementos de 2 Z displaystyle 2 mathbb Z se dira que a p b si existe c tal que b ac Tambien se dice que b es divisible parmente 12 Por ejemplo 8 16 pues 16 2 8 Primo en 2 Z displaystyle 2 mathbb Z el elemento a es primo en 2Z si no existe un elemento de 2Z que lo divida Por ejemplo 6 10 pues no hay elemento de 2Z que lo dividan parmente Los primos de 2 Z displaystyle 2 mathbb Z son el producto de los impares por 2 unicamente Divisores de un numeroFuera de los primos en sentido par los otros numeros tienen mas de dos divisores para el caso de 24 tiene como divisores 2 4 6 12 y 8 no es divisor parmente de 24 Divisores comunes48 y 32 tienen como divisores comunes 2 4 8 y 16 no porque no divide parmente a 48 13 Maximo comun divisor parmente Editar El mayor de los divisores comunes de dos elementos de 2 Z displaystyle 2 mathbb Z se llama maximo comun divisor m c d Por ejemplo m c d 32 48 8Algebra Editarla suma de numeros naturales pares es par y cabe la propiedad asociativa el conjunto de los numeros pares es un semigrupo conmutativo con la adicion si se admite 0 como natural seria el elemento neutro aditivo par El conjunto de los numeros enteros pares con la adicion es un grupo abeliano pues se cumplen la clausura asociatividad existe el elemento neutro par el cero y para cada par existe su opuesto El conjunto de los numeros naturales impares con la multiplicacion es un semigrupo asociativo con unidad Paridad de potencias EditarSi a2 es un numero par entonces a es un numero par Esta propiedad se usa en la demostracion de la irracionalidad de 2 displaystyle sqrt 2 14 Vease tambien Editarfuncion par numero paridad del cero permutacion parReferencias Editar Diccionario de la lengua espanola Real Academia Espanola Weisstein Eric W Numero par En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Weisstein Eric W Paridad En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Cualquier texto de analisis matematico al hablar de la irracionalidad de 2 displaystyle sqrt 2 a b Los Elementos version bilingue en griego e ingles disponible en PDF El uno no era considerado como un numero impar sino mas bien como el origen de todos los numeros Dantzig Tobias 1971 Capitulo III La Ciencia de los Numeros del libro El numero Lenguaje de la ciencia Buenos Aires Hobbs Sudmericana pp 49 53 Cita de la pagina 53 Esto provenia de una doctrina oculta vinculada al sacerdocio pagano El uno representaba a la divinidad antes del acto creador El primer numero era el dos la dualidad creadora que permite percibir por medio de la diferenciacion Para esos seres humanos todo se creaba de a pares opuestos luz oscuridad si no masculino femenino La unidad primigenia era indiscernible De aqui proviene la verdadera razon por la que el numero uno no es considerado un numero primo La definicion elemental de numero primo es Primo es aquel numero natural que solamente es divisible por si mismo y por la unidad Algunas personas objetan por que 1 no es primo basandose en que no hay razon logica que se pueda oponer para negar que 1 cumple con esa definicion La razon es que originariamente el numero 1 no era considerado un numero Aunque a posteriori se pudieran agregar otros motivos el comienzo de todo esta en esta concepcion mistica primitiva de los numeros en una tradicion olvidada de Santa Cruz Miguel Geronimo 1794 Dorado contador Aritmetica especulativa y practica Madrid Imprenta de don Benito Cano pp 4 6 a b Rodriguez Vidal R Enjambre matematico Reverte pp 73 75 Poy y Comes Manuel 1790 Llave aritmetica y algebrayca Barcelona Impresor de S M Calle de la Paja pp 4 6 Ruiz Arango Teoria de los numeros El simbolo p lease divide parmente Ruiz Arango Ibidem Cualquier texto que trate de numeros reales Datos Q230967 Multimedia Parity mathematics Obtenido de 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