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Número entero

Un número entero es un elemento del conjunto numérico que contiene los números naturales; que son [1]​ o ; dependiendo de cómo se definan, sus opuestos, y en la segunda definición, además el cero.[2]​ Los enteros negativos, como −1 o −13 (se leen «menos uno», «menos trece», etc.), son menores que cero y también son menores que todos los enteros positivos. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, se puede escribir un signo «menos» delante de los negativos: -1, -5, etc. Y si no se escribe signo al número se asume que es positivo.

El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra letra inicial del vocablo alemán Zah/en («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).

En la recta numérica los números negativos se encuentran a la izquierda del cero y los positivos a su derecha.

Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, siguiendo el modelo de los números naturales añadiendo unas normas para el uso del signo.

Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.

Ciertas magnitudes como la temperatura o la altura usan valores por debajo del cero. La altura del Everest es 8848 metros por encima del nivel del mar, y por el contrario, la orilla del mar Muerto está 423 metros por debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como −423 m.

Introducción

Los números negativos son necesarios para realizar operaciones como:

3 − 5 = ?

Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo, la resta no puede realizarse con números naturales. Sin embargo, hay situaciones en las que es útil el concepto de números negativos, como por ejemplo al hablar de ganancias y pérdidas:

Ejemplo: Un hombre juega a la ruleta dos días seguidos. Si el primero gana 2000 pesos y al día siguiente pierde 1000, el hombre ganó en total 2000 − 1000 = $ 1000. Sin embargo, si el primer día gana 500 y al siguiente pierde 2000, se dice que perdió en total 2000 − 500 = $ 1500. La expresión usada cambia en cada caso: ganó en total o perdió en total, dependiendo de si las ganancias fueron mayores que las pérdidas o viceversa. Estas dos posibilidades se pueden expresar utilizando el signo de los números negativos (o positivos): en el primer caso ganó en total 2000 − 1000 = + $ 1000 y en el segundo ganó en total 500 − 2000 = − $ 1500. Así, se entiende que una pérdida es una ganancia negativa.

Números con signo

Los números naturales 0, 1, 2, 3,... son los números ordinarios que se utilizan para contar. Al añadirles un signo menos («−») delante se obtienen los números negativos:

Un número entero negativo es un número natural como 1, 2, 3, etc. precedido de un signo menos, «−». Por ejemplo −1, −2, −3, etcétera. Se leen «menos 1», «menos 2», «menos 3»,...

Además, para diferenciarlos mejor, a los números naturales se les añade un signo más («+») delante y se les llama números positivos.

Un número entero positivo es un número natural como 1, 2, 3,... precedido de un signo más. «+».

El cero no es positivo ni negativo, y puede escribirse con signo más o menos o sin signo indistintamente, ya que sumar o restar cero es igual a no hacer nada. Toda esta colección de números son los llamados «enteros».

Los números enteros son el conjunto de todos los números enteros con signo (positivos y negativos) junto con el 0. Se les representa por la letra Z, también escrita en «negrita de pizarra» como  :

 

La recta numérica

Los números enteros negativos son menores que todos los positivos y que el cero. Es decir, todo número que se encuentra ubicado a la derecha es mayor que el número que se encuentra ubicado a la izquierda. Para entender como están ordenados se utiliza la recta numérica:

 

Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, es decir, cuanto mayor es el número tras el signo. A este número se le llama el valor absoluto:

El valor absoluto de un número entero es la distancia que hay del origen (cero) hasta un punto dado. El valor absoluto de 0 es simplemente 0. Se representa por dos barras verticales «||».

Ejemplos. |+5| = 5 , |−2| = 2 , |0| = 0.

El orden de los números enteros puede resumirse en:

El orden de los números enteros se define como:

  • Dados dos números enteros de signos distintos, +a y b, el negativo es menor que el positivo: b < +a.
  • Dados dos números enteros con el mismo signo, el menor de los dos números es:
    • El de menor valor absoluto, si el signo común es «+».
    • El de mayor valor absoluto, si el signo común es «−».
  • El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos.

Ejemplos. +23 > −56 , +31 < +47 , −15 < −9 , 0 > −36

Operaciones con números enteros

Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, igual que puede hacerse con los números naturales.

Suma

 
En esta figura, el valor absoluto y el signo de un número se representan por el tamaño del círculo y su color.

En la suma de dos números enteros, se determina por separado el signo y el valor absoluto del resultado.

Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente modo:

  • Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos.
  • Si ambos sumandos tienen distinto signo:
    • El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto.
    • El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos.

Ejemplos. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61

La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de números naturales:

La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades:

  • Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, las sumas (a + b) + c y a + (b + c) son iguales.
  • Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, las sumas a + b y b + a son iguales.
  • Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al sumarles 0: a + 0 = a.

Ejemplo.

  1. Propiedad asociativa:
    [ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)
    (−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44)
  2. Propiedad conmutativa:
    (+9) + (−17) = −8
    (−17) + (+9) = −8

Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que no tienen los números naturales:

Elemento opuesto o simétrico: Para cada número entero a, existe otro entero a, que sumado al primero resulta en cero: a + (−a) = 0.

Resta

La resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular de la suma.

La resta de dos números enteros (minuendo menos sustraendo) se realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiando de signo.

Ejemplos
(+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15
(−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13
(−4) − (−8) = (−4) + (+8) = + 4
(+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7

Multiplicación y División

La multiplicación y división de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el signo y valor absoluto del resultado.

En la multiplicación y en la división de dos números enteros se determinan el valor absoluto y el signo del resultado de la siguiente manera:

  • El valor absoluto es el producto (o cociente) de los valores absolutos de los factores (o del dividendo y divisor).
  • El signo es «+» si los signos de los factores (o del dividendo y divisor) son iguales, y «−» si son distintos.

Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la regla de los signos:

Regla de los signos - Multiplicación

  • (+) × (+)=(+) Más por más igual a más.
  • (+) × (−)=(−) Más por menos igual a menos.
  • (−) × (+)=(−) Menos por más igual a menos.
  • (−) × (−)=(+) Menos por menos igual a más.

Regla de los signos - División

  • (+) : (+)=(+) Más entre más igual a más.
  • (+) : (−)=(−) Más entre menos igual a menos.
  • (−) : (+)=(−) Menos entre más igual a menos.
  • (−) : (−)=(+) Menos entre menos igual a más.

Ejemplos multiplicación. (+5) × (+3) = +15 , (+4) × (-6) = -24 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18.

Ejemplos división. (+15) : (+3) = +5 , (+12) : (-6) = -2 , (−16) : (+4) = −4 , (−18) : (−2) = +9.


La multiplicación de números enteros tiene también propiedades similares a la de números naturales:

La multiplicación de números enteros cumple las siguientes propiedades:

  • Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, los productos (a × b) × c y a × (b × c) son iguales.
  • Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, los productos a × b y b × a son iguales.
  • Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al multiplicarlos por 1: a × 1 = a.

Ejemplo.

  1. Propiedad asociativa:
  1. [ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140
    (−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140
  2. Propiedad conmutativa:
    (−6) × (+9) = −54
    (+9) × (−6) = −54

La suma y multiplicación de números enteros están relacionadas, al igual que los números naturales, por la propiedad distributiva:

Propiedad distributiva. Dados tres números enteros a, b y c, el producto a × (b + c) y la suma de productos (a × b) + (a × c) son idénticos.

Ejemplo.

  • (−7) × [ (−2) + (+5) ] = (−7) × (+3) = −21
  • [ (−7) × (−2) ] + [ (−7) × (+5) ] = (+14) + (−35) = −21


La división de números enteros no tiene las propiedades asociativa, conmutativa ni la distributiva.

Propiedades algebraicas

Véase también

Clasificación de los números
Complejos  
Reales  
Racionales  
Enteros  
Naturales  
Cero: 0
Enteros negativos
Fraccionarios
Irracionales
Imaginarios

Referencias

  1. Véanse textos como Jech (2006). «2. Ordinal Numbers». Set Theory (en inglés). Springer. ISBN 978-3-540-44085-7. 
  2. Arias Cabezas, José María; Maza Sáez, Ildefonso (2008). «Aritmética y Álgebra». En Carmona Rodríguez, Manuel; Díaz Fernández, Francisco Javier, eds. Matemáticas 1. Madrid: Grupo Editorial Bruño, Sociedad Limitada. p. 14. ISBN 9788421659854. 

Bibliografía

  • Bayley, R.; Day, R.; Frey, P.; Howard, A.; Hutchens, D.; McClain, K. (2006). Mathematics. Applications and Concepts. Course 2 (en inglés). McGraw-Hill. p. 21119. ISBN 0-07-865263-4. 

Enlaces externos

  •   Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre número entero.


  •   Datos: Q12503
  •   Multimedia: Integers

número, entero, número, entero, elemento, conjunto, numérico, contiene, números, naturales, displaystyle, mathbb, cdots, displaystyle, mathbb, cdots, dependiendo, cómo, definan, opuestos, segunda, definición, además, cero, enteros, negativos, como, leen, menos. Un numero entero es un elemento del conjunto numerico que contiene los numeros naturales que son N 0 1 2 3 4 displaystyle mathbb N 0 1 2 3 4 cdots 1 o N 1 2 3 4 displaystyle mathbb N ast 1 2 3 4 cdots dependiendo de como se definan sus opuestos y en la segunda definicion ademas el cero 2 Los enteros negativos como 1 o 13 se leen menos uno menos trece etc son menores que cero y tambien son menores que todos los enteros positivos Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos se puede escribir un signo menos delante de los negativos 1 5 etc Y si no se escribe signo al numero se asume que es positivo El conjunto de todos los numeros enteros se representa por la letra Z 4 3 2 1 0 1 2 3 displaystyle mathbb Z 4 3 2 1 0 1 2 3 letra inicial del vocablo aleman Zah en numeros pronunciado ˈtsaːlen En la recta numerica los numeros negativos se encuentran a la izquierda del cero y los positivos a su derecha Los numeros enteros pueden sumarse restarse multiplicarse y dividirse siguiendo el modelo de los numeros naturales anadiendo unas normas para el uso del signo Los numeros enteros extienden la utilidad de los numeros naturales para contar cosas Pueden utilizarse para contabilizar perdidas si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto ano pero hay 100 alumnos de ultimo curso que pasaron a educacion secundaria en total habra 100 80 20 alumnos menos pero tambien puede decirse que dicho numero ha aumentado en 80 100 20 alumnos Ciertas magnitudes como la temperatura o la altura usan valores por debajo del cero La altura del Everest es 8848 metros por encima del nivel del mar y por el contrario la orilla del mar Muerto esta 423 metros por debajo del nivel del mar es decir su altura se puede expresar como 423 m Indice 1 Introduccion 1 1 Numeros con signo 1 2 La recta numerica 2 Operaciones con numeros enteros 2 1 Suma 2 2 Resta 2 3 Multiplicacion y Division 3 Propiedades algebraicas 4 Vease tambien 5 Referencias 6 Bibliografia 7 Enlaces externosIntroduccion EditarLos numeros negativos son necesarios para realizar operaciones como 3 5 Cuando el minuendo es mas pequeno que el sustraendo la resta no puede realizarse con numeros naturales Sin embargo hay situaciones en las que es util el concepto de numeros negativos como por ejemplo al hablar de ganancias y perdidas Ejemplo Un hombre juega a la ruleta dos dias seguidos Si el primero gana 2000 pesos y al dia siguiente pierde 1000 el hombre gano en total 2000 1000 1000 Sin embargo si el primer dia gana 500 y al siguiente pierde 2000 se dice que perdio en total 2000 500 1500 La expresion usada cambia en cada caso gano en total o perdio en total dependiendo de si las ganancias fueron mayores que las perdidas o viceversa Estas dos posibilidades se pueden expresar utilizando el signo de los numeros negativos o positivos en el primer caso gano en total 2000 1000 1000 y en el segundo gano en total 500 2000 1500 Asi se entiende que una perdida es una ganancia negativa Numeros con signo Editar Articulo principal Signo matematicas Los numeros naturales 0 1 2 3 son los numeros ordinarios que se utilizan para contar Al anadirles un signo menos delante se obtienen los numeros negativos Un numero entero negativo es un numero natural como 1 2 3 etc precedido de un signo menos Por ejemplo 1 2 3 etcetera Se leen menos 1 menos 2 menos 3 Ademas para diferenciarlos mejor a los numeros naturales se les anade un signo mas delante y se les llama numeros positivos Un numero entero positivo es un numero natural como 1 2 3 precedido de un signo mas El cero no es positivo ni negativo y puede escribirse con signo mas o menos o sin signo indistintamente ya que sumar o restar cero es igual a no hacer nada Toda esta coleccion de numeros son los llamados enteros Los numeros enteros son el conjunto de todos los numeros enteros con signo positivos y negativos junto con el 0 Se les representa por la letra Z tambien escrita en negrita de pizarra como ℤ Z 2 1 0 1 2 displaystyle mathbb Z dots 2 1 0 1 2 dots La recta numerica Editar Articulo principal Recta numerica Los numeros enteros negativos son menores que todos los positivos y que el cero Es decir todo numero que se encuentra ubicado a la derecha es mayor que el numero que se encuentra ubicado a la izquierda Para entender como estan ordenados se utiliza la recta numerica Se ve con esta representacion que los numeros negativos son mas pequenos cuanto mas a la izquierda es decir cuanto mayor es el numero tras el signo A este numero se le llama el valor absoluto El valor absoluto de un numero entero es la distancia que hay del origen cero hasta un punto dado El valor absoluto de 0 es simplemente 0 Se representa por dos barras verticales Ejemplos 5 5 2 2 0 0 El orden de los numeros enteros puede resumirse en El orden de los numeros enteros se define como Dados dos numeros enteros de signos distintos a y b el negativo es menor que el positivo b lt a Dados dos numeros enteros con el mismo signo el menor de los dos numeros es El de menor valor absoluto si el signo comun es El de mayor valor absoluto si el signo comun es El cero 0 es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos Ejemplos 23 gt 56 31 lt 47 15 lt 9 0 gt 36Operaciones con numeros enteros EditarLos numeros enteros pueden sumarse restarse multiplicarse y dividirse igual que puede hacerse con los numeros naturales Suma Editar En esta figura el valor absoluto y el signo de un numero se representan por el tamano del circulo y su color En la suma de dos numeros enteros se determina por separado el signo y el valor absoluto del resultado Para sumar dos numeros enteros se determina el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente modo Si ambos sumandos tienen el mismo signo ese es tambien el signo del resultado y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos Si ambos sumandos tienen distinto signo El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto de entre los dos sumandos Ejemplos 21 13 8 17 26 43 41 19 22 33 28 61La suma de numeros enteros se comporta de manera similar a la suma de numeros naturales La suma de numeros enteros cumple las siguientes propiedades Propiedad asociativa Dados tres numeros enteros a b y c las sumas a b c y a b c son iguales Propiedad conmutativa Dados dos numeros enteros a y b las sumas a b y b a son iguales Elemento neutro Todos los numeros enteros a quedan inalterados al sumarles 0 a 0 a Ejemplo Propiedad asociativa 13 25 32 12 32 44 13 25 32 13 57 44 Propiedad conmutativa 9 17 8 17 9 8Ademas la suma de numeros enteros posee una propiedad adicional que no tienen los numeros naturales Elemento opuesto o simetrico Para cada numero entero a existe otro entero a que sumado al primero resulta en cero a a 0 Resta Editar La resta de numeros enteros es muy sencilla ya que ahora es un caso particular de la suma La resta de dos numeros enteros minuendo menos sustraendo se realiza sumando el minuendo mas el sustraendo cambiando de signo Ejemplos 10 5 10 5 15 7 6 7 6 13 4 8 4 8 4 2 9 2 9 7 Multiplicacion y Division Editar La multiplicacion y division de numeros enteros al igual que la suma requiere determinar por separado el signo y valor absoluto del resultado En la multiplicacion y en la division de dos numeros enteros se determinan el valor absoluto y el signo del resultado de la siguiente manera El valor absoluto es el producto o cociente de los valores absolutos de los factores o del dividendo y divisor El signo es si los signos de los factores o del dividendo y divisor son iguales y si son distintos Para recordar el signo del resultado tambien se utiliza la regla de los signos Regla de los signos Multiplicacion Mas por mas igual a mas Mas por menos igual a menos Menos por mas igual a menos Menos por menos igual a mas Regla de los signos Division Mas entre mas igual a mas Mas entre menos igual a menos Menos entre mas igual a menos Menos entre menos igual a mas Ejemplos multiplicacion 5 3 15 4 6 24 7 8 56 9 2 18 Ejemplos division 15 3 5 12 6 2 16 4 4 18 2 9 La multiplicacion de numeros enteros tiene tambien propiedades similares a la de numeros naturales La multiplicacion de numeros enteros cumple las siguientes propiedades Propiedad asociativa Dados tres numeros enteros a b y c los productos a b c y a b c son iguales Propiedad conmutativa Dados dos numeros enteros a y b los productos a b y b a son iguales Elemento neutro Todos los numeros enteros a quedan inalterados al multiplicarlos por 1 a 1 a Ejemplo Propiedad asociativa 7 4 5 28 5 140 7 4 5 7 20 140 Propiedad conmutativa 6 9 54 9 6 54La suma y multiplicacion de numeros enteros estan relacionadas al igual que los numeros naturales por la propiedad distributiva Propiedad distributiva Dados tres numeros enteros a b y c el producto a b c y la suma de productos a b a c son identicos Ejemplo 7 2 5 7 3 21 7 2 7 5 14 35 21La division de numeros enteros no tiene las propiedades asociativa conmutativa ni la distributiva Propiedades algebraicas EditarArticulo principal Propiedades de los numeros enteros El conjunto de los numeros enteros considerado junto con sus operaciones de adicion y multiplicacion tiene una estructura que en matematicas se denomina anillo y posee una relacion de orden Los numeros enteros pueden ademas construirse a partir de los numeros naturales mediante clases de equivalencia Vease tambien EditarParte entera Entero tipo de dato Clasificacion de los numeros Complejos C displaystyle mathbb C Reales R displaystyle mathbb R Racionales Q displaystyle mathbb Q Enteros Z displaystyle mathbb Z Naturales N displaystyle mathbb N Cero 0Enteros negativosFraccionariosIrracionalesImaginariosReferencias Editar Veanse textos como Jech 2006 2 Ordinal Numbers Set Theory en ingles Springer ISBN 978 3 540 44085 7 fechaacceso requiere url ayuda Arias Cabezas Jose Maria Maza Saez Ildefonso 2008 Aritmetica y Algebra En Carmona Rodriguez Manuel Diaz Fernandez Francisco Javier eds Matematicas 1 Madrid Grupo Editorial Bruno Sociedad Limitada p 14 ISBN 9788421659854 fechaacceso requiere url ayuda Bibliografia EditarBayley R Day R Frey P Howard A Hutchens D McClain K 2006 Mathematics Applications and Concepts Course 2 en ingles McGraw Hill p 21119 ISBN 0 07 865263 4 Enlaces externos Editar Wikcionario tiene definiciones y otra informacion sobre numero entero Datos Q12503 Multimedia Integers Obtenido de https es wikipedia org w index php title Numero entero amp oldid 142275365, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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