Número áureo

Este artículo trata sobre un número algebraico. Para otros usos de este término, véase Áureo (desambiguación).

El número áureo (también llamado número de oro, número de Dios, razón extrema y media,^[2]​ razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción^[3]​) es un número irracional,^[4]​ representado por la letra griega φ (phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias.

El número áureo surge de la división en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b.

Los segmentos AB y BC son perpendiculares e iguales a la unidad. Con centro en O trazamos la circunferencia de radio 1/2. Finalmente, uniendo A con O y prolongando obtenemos P. La longitud AP es el número áureo respecto a AB. (EUCLIDES) ^[1]​

Su valor numérico, mediante radicales o decimales es:

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618\ 033\ 988\ 749\ 894\ldots }$

También se representa con la letra griega tau (Τ τ),^[5]​ por ser la primera letra de la raíz griega τομή, que significa acortar, aunque es más común encontrarlo representado con la letra fi (phi) (Φ,φ). También se representa con la letra griega alfa minúscula.^[6]​

Se trata de un número algebraico irracional (su representación decimal es infinita y no tiene periodo) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la Antigüedad, no como una expresión aritmética, sino como relación o proporción entre dos segmentos de una recta, es decir, una construcción geométrica. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc. Una de sus propiedades aritméticas más curiosas es que su cuadrado (Φ² = 2,61803398874988…) y su recíproco (1/Φ = 0,61803398874988…) tienen las mismas infinitas cifras decimales.

Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos incluso creen que posee una importancia mística. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiosos de las matemáticas y el arte.

Escultura contemporánea en acero elaborada por el escultor y matemático Ibo Bonilla. Basada en un simbolismo, usa el concepto del número áureo en relación a la "Flor de la Vida" y "Geometría Sagrada". Mide 17,8 m (11xΦ) de alto y cada uno de los módulos de la espiral mide Φ=1.618 m. Es la escultura más alta de Costa Rica.

Definición

El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más largo que b), que cumplen la siguiente relación:

• La longitud total, suma de los dos segmentos a y b, es al segmento mayor a, lo que este segmento a es al menor b. Escrito como ecuación algebraica:

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}}$ 

Siendo el valor del número áureo φ el cociente: ${\displaystyle \phi =a/b}$ . Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre la del segmento mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del segmento mayor entre la del menor.

Cálculo del valor del número áureo

Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:

Deducción

	1	2
Ecuaciones	${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}}$	${\displaystyle \varphi ={\frac {a}{b}}}$
Simplificando	${\displaystyle 1+{\frac {b}{a}}={\frac {a}{b}}}$
Sustituyendo	${\displaystyle 1+\varphi ^{-1}=\varphi }$
Multiplicando ${\displaystyle (\varphi )}$	${\displaystyle \varphi +1=\varphi ^{2}}$
Despejando	${\displaystyle \varphi ^{2}-\varphi -1=0}$
Solución positiva	${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1{\textrm {.}}6180339887498948482045868343656381177203\ldots }$ 

que es el valor del número áureo, equivalente a la relación ${\displaystyle a/b}$ .

Historia del número áureo

Algunos autores sugieren que el número áureo se encuentra como proporción en varias estelas de Babilonia y Asiria de alrededor de 2000 a. C. Sin embargo, no existe documentación histórica que indique que el número áureo fuera utilizado conscientemente por dichos artistas en la elaboración de las estelas. Cuando se mide una estructura compleja, es fácil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles. Además, para que se pueda afirmar que el número áureo está presente, las medidas deben tomarse desde puntos significativos del objeto, pero este no es el caso de muchas hipótesis que defienden la presencia del número áureo. Por todas estas razones Mario Livio concluye que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el número áureo.^[7]​

Antigüedad

El primero en hacer un estudio formal del número áureo fue Euclides (c. 300 a. C-265 a. C.), quien lo definió de la siguiente manera:

Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor.

Euclides Los Elementos Definición 3 del Libro Sexto.

Euclides demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros; es decir, es un número irracional.

Platón (c. 428-347 a. C.) puede haber estudiado el número áureo; sin embargo, puede ser que se le atribuya el desarrollo de teoremas relacionados con el número áureo debido a que el historiador griego Proclo escribió:

Eudoxo… multiplicó el número de teoremas relativos a la sección a los que Platón dio origen.

Proclo en Un comentario sobre el Primer Libro de los Elementos de Euclides.

Aquí a menudo se interpretó la palabra sección (τομή) como la sección áurea. Sin embargo a partir del siglo XIX esta interpretación ha sido motivo de gran controversia y muchos investigadores han llegado a la conclusión de que la palabra sección no tuvo nada que ver con el número áureo. No obstante, Platón consideró que los números irracionales, descubiertos por los pitagóricos, eran de particular importancia y la llave de la física del cosmos. Esta opinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos y matemáticos posteriores, en particular los neoplatónicos.

Edad Moderna

En 1509 el matemático y teólogo italiano Luca Pacioli publicó De Divina Proportione (La Divina Proporción), donde plantea cinco razones por las que estima apropiado considerar divino al número áureo:

1. La unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con la unicidad de Dios.
2. El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad.
3. La inconmensurabilidad; para Pacioli la inconmensurabilidad del número áureo y la inconmensurabilidad de Dios son equivalentes.
4. La autosimilaridad asociada al número áureo; Pacioli la compara con la omnipresencia e invariabilidad de Dios.
5. Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el dodecaedro, el número áureo dio ser al dodecaedro.

En 1525, Alberto Durero publicó Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas, donde describe cómo trazar con regla y compás la espiral áurea basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”.

El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630) desarrolló un modelo platónico del sistema solar utilizando los sólidos platónicos, y se refirió al número áureo en términos grandiosos:

La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de plata; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa.

Johannes Kepler en Mysterium Cosmographicum (El misterio cósmico).

El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o de oro, para referirse a este número lo hace el matemático alemán Martin Ohm, hermano del célebre físico Georg Simon Ohm, en la segunda edición de 1835 de su libro Die Reine Elementar Matematik (Las matemáticas puras elementales). Ohm escribe en una nota al pie:

Uno también acostumbra llamar a esta división de una línea arbitraria en dos partes como estas la sección dorada.

Martin Ohm en Die Reine Elementar Matematik (Las matemáticas puras elementales).

A pesar de que la forma de escribir sugiere que el término ya era de uso común para la fecha, el hecho de que no lo incluyera en su primera edición sugiere que el término pudo ganar popularidad alrededor de 1830.

En los textos de matemáticas que trataban el tema, el símbolo habitual para representar el número áureo fue τ, del griego τομή, que significa ‘corte o sección’. Sin embargo, la moderna denominación Φ o φ la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en honor a Fidias, ya que esta era la primera letra de su nombre escrito en griego (Φειδίας). Este honor se le concedió a Fidias por el máximo valor estético atribuido a sus esculturas, propiedad que ya por entonces se le atribuía también al número áureo. Mark Barr y Schooling fueron responsables de los apéndices matemáticos del libro The Curves of Life, de sir Theodore Cook.

El número áureo en las matemáticas

Propiedades y representaciones

Ángulo de Plata

${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{\varphi +{1}}}\approx 137{.}5^{\circ }}$  razón número áureo

Propiedades aritméticas

• ${\displaystyle \textstyle \varphi =1.618033988749894848204586834365638117720309...}$  es el único número real positivo tal que:

${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1\ }$ 

• φ posee además las siguientes propiedades, derivadas de la anterior:

${\displaystyle \varphi -1={\frac {1}{\varphi }}\ }$ 

${\displaystyle \varphi ^{3}={\frac {\varphi +1}{\varphi -1}}\ }$ 

${\displaystyle \varphi ^{2}-{\frac {1}{\varphi }}=2\ }$ 

• Las potencias del número áureo pueden expresarse en función de una suma de potencias de grados inferiores del mismo número, establecida una verdadera sucesión recurrente de potencias.

El caso más simple es: ${\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}\,}$ , cualquiera sea n un número entero. Este caso es una sucesión recurrente de orden k = 2, pues se recurre a dos potencias anteriores.

Una ecuación recurrente de orden k tiene la forma:

${\displaystyle a_{1}u_{n+k-1}+a_{2}u_{n+k-2}+...+a_{k}u_{n}\,}$ ,

donde ${\displaystyle a_{i}\,}$  es cualquier número real o complejo y k es un número natural menor o igual a n y mayor o igual a 1. En el caso anterior es ${\displaystyle \scriptstyle k=2\,}$ , ${\displaystyle \scriptstyle a_{1}=1\,}$  y ${\displaystyle \scriptstyle a_{2}=1\,}$ .

Pero podemos «saltar» la potencia inmediatamente anterior y escribir:

${\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-2}+2\varphi ^{n-3}+\varphi ^{n-4}\,}$ . Aquí ${\displaystyle \scriptstyle k=4\,}$ , ${\displaystyle \scriptstyle a_{1}=0\,}$ , ${\displaystyle \scriptstyle a_{2}=1\,}$ , ${\displaystyle \scriptstyle a_{3}=2\,}$  y ${\displaystyle \scriptstyle a_{4}=1\,}$ .

Si anulamos las dos potencias inmediatamente anteriores, también hay una fórmula recurrente de orden 6:

${\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-3}+3\varphi ^{n-4}+3\varphi ^{n-5}+\varphi ^{n-6}\,}$ 

En general:

${\displaystyle \varphi ^{n}=\sum _{i=0}^{k/2}{{\frac {k}{2}} \choose i}\varphi ^{\left[\textstyle n-\left(\textstyle {\frac {k}{2}}+i\right)\right]};\qquad k=2j,\ n,\ i\in \mathbb {N} }$ .

En resumen: cualquier potencia del número áureo puede ser considerada como el elemento de una sucesión recurrente de órdenes 2, 4, 6, 8,..., 2k; donde k es un número natural. En la fórmula recurrente es posible que aparezcan potencias negativas de ${\displaystyle \varphi }$ , hecho totalmente correcto. Además, una potencia negativa de ${\displaystyle \varphi }$  corresponde a una potencia positiva de su inverso, la sección áurea.

Este curioso conjunto de propiedades y el hecho de que los coeficientes significativos sean los del binomio, parecieran indicar que entre el número áureo y el número e hay un parentesco.

• El número áureo ${\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$  es la unidad fundamental «ε» del cuerpo de números algebraicos ${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {5}}\right)}$  y la sección áurea ${\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}$  es su inversa, «${\displaystyle \varepsilon ^{-1}}$ ». En esta extensión el «emblemático» número irracional ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  cumple las siguientes igualdades:

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}{\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}{\sqrt {3+{\sqrt {5}}}}}$ .

Representación mediante fracciones continuas

La expresión mediante fracciones continuas es:

${\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}\quad \longrightarrow \quad \varphi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+...}}}}}}}}}$ 

Esta iteración es la única donde sumar es multiplicar y restar es dividir. Es también la más simple de todas las fracciones continuas y la que tiene la convergencia más lenta. Esa propiedad hace que además el número áureo sea un número mal aproximable mediante racionales que de hecho alcanza el peor grado posible de aproximabilidad mediante racionales.^[8]​

Por ello se dice que ${\displaystyle \varphi }$  es el número más alejado de lo racional o el número más irracional. Este es el motivo por el cual aparece en el teorema de Kolmogórov-Arnold-Moser.

Representación trigonométrica

${\displaystyle \varphi =1+2\sin(\pi /10)=1+2\sin 18^{\circ }}$ 

${\displaystyle \varphi ={1 \over 2}\csc(\pi /10)={1 \over 2}\csc 18^{\circ }}$ 

${\displaystyle \varphi =2\cos(\pi /5)=2\cos 36^{\circ }}$ 

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{2}}\sec {\frac {2}{5}}\,\pi ={\frac {1}{2}}\sec 72^{\circ }}$ 

${\displaystyle \varphi ={\frac {\sin(2\pi /5)}{\sin(1\pi /5)}}\,={\frac {\sin(72^{\circ })}{\sin(36^{\circ })}}}$ 

Estas corresponden al hecho de que la diagonal de un pentágono regular (distancia entre dos vértices no consecutivos) es φ veces la longitud de su lado, y de otras relaciones similares en el pentagrama.

Representación mediante raíces anidadas

${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+\varphi }}\quad \longrightarrow \quad \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}}$ 

Esta fórmula como caso particular de una identidad general publicada por Nathan Altshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma, en la revista American Mathematical Monthly, 1917. El teorema general dice que la expresión

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt {a_{1}+{\sqrt {a_{2}+{\sqrt {a_{3}+{\sqrt {a_{4}+{\sqrt {\cdots +{\sqrt {a_{n}}}}}}}}}}}}}}$ 

donde ${\displaystyle a_{i}=a\,}$ , es igual a la mayor de las raíces de la ecuación ${\displaystyle x^{2}-x-a=0,}$  o sea, ${\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt {1+4a}}}{2}}}$ .

Relación con la sucesión de Fibonacci

Si se denota el enésimo número de Fibonacci como F_n, y al siguiente número de Fibonacci como F_{n + 1}, descubrimos que, a medida que n aumenta, esta razón oscila y es alternativamente menor y mayor que la razón áurea. Podemos también notar que la fracción continua que describe al número áureo produce siempre números de Fibonacci a medida que aumenta el número de unos en la fracción. Por ejemplo: ${\displaystyle \textstyle {\frac {3}{2}}=1.5}$ ; ${\displaystyle \textstyle {\frac {8}{5}}=1.6}$ ; y ${\displaystyle \textstyle {\frac {21}{13}}=1.61538461...}$ , lo que se acerca considerablemente al número áureo. Entonces se tiene que:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi }$ 

Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo alemán Johannes Kepler, pero pasaron más de cien años antes de que fuera demostrada por el matemático escocés Robert Simson.

Con posterioridad se encontró que cualquier sucesión aditiva recurrente de orden 2 tiende al mismo límite. Por ejemplo, si tomamos dos números naturales arbitrarios, por ejemplo 3 y 7, la sucesión recurrente resulta: 3, 7, 10, 17, 27, 44, 71, 115, 186, 301, … Los cocientes de términos sucesivos producen aproximaciones racionales que se acercan asintóticamente por exceso y por defecto al mismo límite: 44/27 = 1.6296296…; 71/44 = 1.613636…; 301/186 = 1.6182795.^[9]​

A mediados del siglo XIX, el matemático francés Jacques Philippe Marie Binet redescubrió una fórmula que aparentemente ya era conocida por Leonhard Euler, y por otro matemático francés, Abraham de Moivre. La fórmula permite encontrar el enésimo número de Fibonacci sin la necesidad de producir todos los números anteriores. La fórmula de Binet depende exclusivamente del número áureo:

${\displaystyle F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]\quad ={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}\right]}$ 

Formula corregida por Gilberto Borjas García (Colima, México ):

${\displaystyle F_{n}=({\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]\quad )/5=({\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}\right]}$ )/5

para n >0 y  n es un numero entero positivo.

El número áureo en la geometría

 

El triángulo de Kepler es un triángulo rectángulo formado por tres cuadrados con áreas en progresión geométrica de acuerdo al número áureo.

El número áureo y la sección áurea están presentes en todos los objetos geométricos regulares o semirregulares en los que haya simetría pentagonal, que sean pentágonos o que aparezca de alguna manera la raíz cuadrada de cinco.

• Relaciones entre las partes del pentágono.
• Relaciones entre las partes del pentágono estrellado, pentáculo o pentagrama.
• Relaciones entre las partes del decágono.
• Relaciones entre las partes del dodecaedro y del icosaedro.

El rectángulo áureo de Euclides

 

El rectángulo AEFD es áureo porque sus lados AE y AD están en la proporción del número áureo. Euclides, en su proposición 2.11 de Los elementos, obtiene su construcción:

${\displaystyle GC={\sqrt {5}}}$ 

Con centro en G se obtiene el punto E, y por lo tanto:

${\displaystyle GE=GC={\sqrt {5}}}$ 

con lo que resulta evidente que

${\displaystyle AE=AG+GE=1+{\sqrt {5}}}$ 

de donde, finalmente,

${\displaystyle {\frac {AE}{AD}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi }$ 

Por otra parte, los rectángulos AEFD y BEFC son semejantes, de modo que este último es asimismo un rectángulo áureo.

 

Generación de un rectángulo áureo a partir de otro

De otra manera:

${\displaystyle \varphi ={\sqrt {\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+1}}+{\frac {1}{2}}}$ 

En el pentagrama

 

Los segmentos coloreados del pentagrama poseen proporciones áureas.

El número áureo tiene un papel muy importante en los pentágonos regulares y en los pentagramas. Cada intersección de partes de un segmento se interseca con otro segmento en una razón áurea.

El pentagrama incluye diez triángulos isósceles: cinco acutángulos y cinco obtusángulos. En ambos, la razón de lado mayor y el menor es φ. Estos triángulos se conocen como los triángulos áureos.

Teniendo en cuenta la gran simetría de este símbolo, se observa que dentro del pentágono interior es posible dibujar una nueva estrella, con una recursividad hasta el infinito. Del mismo modo, es posible dibujar un pentágono por el exterior, que sería a su vez el pentágono interior de una estrella más grande. Al medir la longitud total de una de las cinco líneas del pentáculo interior, resulta igual a la longitud de cualquiera de los brazos de la estrella mayor, o sea Φ. Por lo tanto, el número de veces en que aparece el número áureo en el pentagrama es infinito al añadir infinitos pentagramas.

El teorema de Ptolomeo y el pentágono

 

Se puede calcular el número áureo usando el teorema de Ptolomeo en un pentágono regular.

Claudio Ptolomeo desarrolló un teorema conocido como el teorema de Ptolomeo, el cual permite trazar un pentágono regular mediante regla y compás. Aplicando este teorema, se forma un cuadrilátero al quitar uno de los vértices del pentágono, Si las diagonales y la base mayor miden b, y los lados y la base menor miden a, resulta que b² = a² + ab lo que implica:

${\displaystyle {b \over a}={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}\,.}$ 

Pentágono estrellado

Aparece el número de la justa razón entre los segmentos parciales de los lados de un pentágono estrellado.^[10]​

Trigonometría

El seno de 18º es la mitad del inverso del número de la justa razón.^[11]​

• cos 36º es la mitad del número áureo.^[12]​

• De igual modo 2 cos 36º - 2 sen 18º = φ - 1/φ.

Relación con los sólidos platónicos

El número áureo está relacionado con los sólidos platónicos, en particular con el icosaedro y el dodecaedro, cuyas dimensiones están dadas en términos del número áureo.

Los 12 vértices de un icosaedro con aristas de longitud 2 pueden expresarse en coordenadas cartesianas por los siguientes puntos:

(0, ±1, ±φ), (±1, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1)

Los 20 vértices de un dodecaedro con aristas de longitud 2/φ=√5−1 también se pueden dar en términos similares:

(±1, ±1, ±1), (0, ±1/φ, ±φ), (±1/φ, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1/φ)

 

Los 12 vértices de los tres rectángulos áureos coinciden con los centros de las caras de un dodecaedro.

Para un dodecaedro con aristas de longitud a, su volumen y su área total se pueden expresar también en términos del número áureo:

${\displaystyle A=3{\sqrt {15+20\varphi }}\cdot a^{2}}$ 

${\displaystyle V={\frac {4+7\varphi }{2}}\cdot a^{3}}$ 

Si tres rectángulos áureos se solapan paralelamente en sus centros, los 12 vértices de los tres rectángulos áureos coinciden exactamente con los vértices de un icosaedro, y con los centros de las caras de un dodecaedro.

El punto que los rectángulos tienen en común es el centro tanto del dodecaedro como del icosaedro.

Teoría de números

El número áureo en la naturaleza

 

Concha de nautilus en espiral logarítmica^[13]​

En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea y/o los números de Fibonacci:

• Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Libro de los ábacos (Liber abacci, 1202, 1228), usa la sucesión que lleva su nombre para calcular el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos están aislados por muros, se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad, tardan un mes desde la fecundación hasta la parición y cada camada es de dos conejos). Este es un problema matemático puramente independiente de que sean conejos los involucrados. En realidad, el conejo común europeo tiene camadas de 4 a 12 individuos y varias veces al año, aunque no cada mes, pese a que la preñez dura 32 días. El problema se halla en las páginas 123 y 124 del manuscrito de 1228, que fue el que llegó hasta nosotros, y parece que el planteamiento recurrió a conejos como pudiera haber sido a otros seres; es un soporte para hacer comprensible una incógnita, un acertijo matemático. El cociente de dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci tiende a la sección áurea o al número áureo si la fracción resultante es propia o impropia, respectivamente. Lo mismo sucede con toda sucesión recurrente de orden dos, según demostraron Barr y Schooling en la revista The Field del 14 de diciembre de 1912.^[14]​

• La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig).^[15]​^[16]​
• La distribución de las hojas en un tallo. Ver: Sucesión de Fibonacci.^[15]​
• La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles.^[17]​

• La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a Φ tomando como unidad la rama superior).^[17]​
• La cantidad de espirales de una piña (ocho y trece espirales), flores o inflorescencias. Estos números son elementos de la sucesión de Fibonacci y el cociente de dos elementos consecutivos tiende al número áureo.^[18]​^[19]​
• La distancia entre el ombligo y la planta de los pies de una persona, respecto a su altura total.^[20]​
• La cantidad de pétalos en las flores. Existen flores con 3, 5 y 8 pétalos y también con 13, 21, 34, 55, 89 y 144.^[18]​
• La distribución de las hojas de la yuca y la disposición de las hojas de las alcachofas.^[18]​
• La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol o de cefalópodos como el nautilus. Hay por lo menos tres espirales logarítmicas más o menos asimilables a proporciones aúreas. La primera de ellas se caracteriza por la relación constante igual al número áureo entre los radiovectores de puntos situados en dos evolutas consecutivas en una misma dirección y sentido. Las conchas del Fusus antiquus, del Murex, de Scalaria pretiosa, de Facelaria y de Solarium trochleare, entre otras, siguen este tipo de espiral de crecimiento.^[21]​^[22]​ Se debe entender que en toda consideración natural, aunque involucre a las ciencias consideradas más matemáticamente desarrolladas, como la Física, ninguna relación o constante que tenga un número infinito de decimales puede llegar hasta el límite matemático, porque en esa escala no existiría ningún objeto físico. La partícula elemental más diminuta que se pueda imaginar es infinitamente más grande que un punto en una recta. Las leyes observadas y descriptas matemáticamente en los organismos las cumplen transgrediéndolas orgánicamente.^[23]​
• Para que las hojas esparcidas de una planta (Ver Filotaxis) o las ramas alrededor del tronco tengan el máximo de insolación con la mínima interferencia entre ellas, éstas deben crecer separadas en hélice ascendente según un ángulo constante y teóricamente igual a 360º (2 - φ) ≈ 137º 30' 27,950 580 136 276 726 855 462 662 132 999…". En la naturaleza se medirá un ángulo práctico de 137º 30' o de 137º 30' 28" en el mejor de los casos.^[15]​Para el cálculo se considera iluminación vertical y el criterio matemático es que las proyecciones horizontales de unas sobre otras no se recubran exactamente. Aunque la iluminación del Sol no es, en general, vertical y varía con la latitud y las estaciones, esto garantiza el máximo aprovechamiento de la luz solar. Este hecho fue descubierto empíricamente por Church^[15]​ y confirmado matemáticamente por Weisner en 1875. En la práctica no puede medirse con tanta precisión el ángulo y las plantas lo reproducen "orgánicamente"; o sea, con una pequeña desviación respecto al valor teórico. No todas las plantas se benefician con un máximo de exposición solar o a la lluvia, por lo que se observan otros ángulos constantes diferentes del ideal de 137.ª 30'. Puede encontrar una tabla en la página 26 del documento completo accesible en el enlace de la referencia.^[19]​
• En la cantidad de elementos constituyentes de las espirales o dobles espirales de las inflorescencias, como en el caso del girasol, y en otros objetos orgánicos como las piñas de los pinos se encuentran números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci. El cociente de dos números sucesivos de esta sucesión tiende al número áureo.
• Existen cristales de pirita dodecaédricos pentagonales (piritoedros) cuyas caras son pentágonos irregulares. Sin embargo, las proporciones de dicho poliedro irregular no involucran el número áureo. En el mundo inorgánico no existe el pentágono regular. Este aparece (haciendo la salvedad de que con un error orgánico; no podemos pretender exactitud matemática al límite^[24]​) exclusivamente en los organismos vivos.^[25]​

El número áureo en el arte y en la cultura

• Relaciones en la forma de la Gran Pirámide de Guiza. La afirmación de Heródoto de que el cuadrado de la altura es igual a la superficie de una cara es posible únicamente si la semi-sección meridiana de la pirámide es proporcional al triángulo rectángulo ${\displaystyle \textstyle \left(\ 1.\;{\sqrt {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}},\;{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)}$ , donde 1 representa proporcionalmente a la mitad de la base, la raíz cuadrada del número áureo a la altura hasta el vértice (inexistente en la actualidad) y el número áureo o hipotenusa del triángulo a la apotema de la Gran Pirámide. Esta tesis ha sido defendida por los matemáticos Jarolimek, K. Kleppisch y W. A. Price (ver referencias), se apoya en la interpretación de un pasaje de Heródoto (Historiae, libro II, cap. 124) y resulta teóricamente con sentido, aunque una construcción de semejante tamaño deba contener errores inevitables a toda obra arquitectónica y a la misma naturaleza de la tecnología humana, que en la práctica puede manejar únicamente números racionales.

Otros investigadores famosos se inclinan por la hipótesis de que los constructores intentaron una cuadratura del círculo, pues la raíz cuadrada del número áureo se aproxima mucho al cociente de 4 sobre π. Pero una construcción tal, aunque se conociera π con una aproximación grande, carecería completamente de interés geométrico.^[26]​

No obstante, con base en mediciones no es posible elegir entre una u otra pues la diferencia sobre el monumento real no es mayor a 14,2 cm y esta pequeña variación queda enmascarada por las incertidumbres de las medidas, los errores constructivos y, principalmente, porque la pirámide perdió el revestimiento en manos de los primeros constructores de El Cairo. Para que esto quede más claro, una precisión del 1 por mil en una base de 230 metros equivale a 23 centímetros y en la altura está en el orden de la diferencia real que debería existir entre ambas posibilidades.

• La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas (s. V a. C.).Durante el primer cuarto del siglo XX, Jay Hambidge, de la Universidad de Yale, se inspiró en un pasaje del Teeteto de Platón para estudiar las proporciones relativas de las superficies, algo muy natural cuando se trata de obras arquitectónicas. Dos rectángulos no semejantes se distinguen entre sí por el cociente de su lado mayor por el menor, número que basta para caracterizar a estas figuras y que denominó módulo del rectángulo. Un cuadrado tiene módulo 1 y el doble cuadrado módulo 2. Aquellos rectángulos cuyos módulos son números enteros o racionales fueron denominados "estáticos" y los que poseen módulos irracionales euclidianos, o sea, expresables algebraicamente como raíces de ecuaciones cuadráticas o reducibles a ellas, "dinámicos". El doble cuadrado es a la vez estático y dinámico, pues 2 es la raíz cuadrada de 4. Un ejemplo de rectángulo dinámico elemental es aquel que tiene por lado mayor a la raíz cuadrada de 5 y por lado menor a la unidad, siendo su módulo la raíz cuadrada de 5.^[27]​ Posteriormente Hambidge estudió a los monumentos y templos griegos y llegó a encuadrar el frontón del Partenón en un rectángulo de módulo ${\displaystyle {\tfrac {4\varphi -2}{\varphi +1}}}$ . Por medio de cuatro diagonales suministra las principales proporciones verticales y horizontales. Este rectángulo es descompuesto en seis de módulo ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$  y cuatro cuadrados.^[28]​

Como dato adicional para indicar la complejidad del tratamiento del edificio se tiene que en 1837 fueron descubiertas correcciones ópticas en el Partenón. El templo tiene tres vistas principales y si sus columnas estuvieran efectivamente a plomo, todas sus líneas fuesen paralelas y perfectamente rectas y los ángulos rectos fueran exactos, por las propiedades de la visión humana el conjunto se vería más ancho arriba que en la base, sus columnas se percibirían inclinadas hacia afuera y la línea que fundamenta el techo sobre las columnas se vería como una especie de catenaria, con los extremos del edificio aparentemente más altos que el centro. Los constructores hicieron la construcción compensando estos efectos de ilusión óptica inclinando o curvando en sentido inverso a los elementos involucrados. Así las columnas exteriores, en ambos lados del frente, están inclinadas hacia adentro en un ángulo de 2,65 segundos de arco, mientras que las que están en el medio tienen una inclinación de 2,61 segundos de arco. La línea que formarían los dinteles entre columnas y que constituye la base del triángulo que corona el edificio, en realidad es un ángulo de 2,64 segundos de arco con el vértice más elevado que los extremos. De esta forma, y con otras correcciones que no se mencionan aquí, se logra que cualquier observador que se sitúe en los tres puntos principales de vista vea todo el conjunto paralelo, uniforme y recto.^[29]​

• Estudios como los del Dr. Fechner han demostrado que la percepción de la belleza radica en la proporción áurea. Por ende, aquello que matemáticamente más se aproxime a fi, se percibirá como más bello y perfecto. Esta noción de belleza y perfección es aplicable a estructuras arquitectónicas, pinturas, partituras musicales, fractales y personas.^[30]​
• En el cuadro Leda atómica, de Salvador Dalí, hecho en colaboración con el matemático rumano Matila Ghyka.^[31]​^[32]​^[33]​
• En las estructuras y tiempos de las películas "El acorazado Potemkin" e "Iván el Terrible" de Serguéi Eisenstein.^[34]​^[33]​
• En los violines, la ubicación de las efes o eses (los “oídos” u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.^{[cita requerida]}
• El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Leonardo Da Vinci, entre otros.
• Es necesario desmentir la expandida aseveración de que el número áureo aparece en la conocida representación del hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci. En este dibujo Leonardo da Vinci sigue estrictamente las proporciones fraccionarias del cuerpo humano que Vitruvio describe en su libro De architectura; concretamente en el Capítulo I del Libro Tercero, “El origen de las medidas del Templo”.
• En las estructuras formales de las sonatas de Wolfgang Amadeus Mozart, en la Quinta Sinfonía de Ludwig van Beethoven^{[cita requerida]}, en obras de Franz Schubert^{[cita requerida]} y Claude Debussy ^{[cita requerida]} (estos compositores probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente, basándose en equilibrios de masas sonoras).^[35]​
• En la pág. 56 de la novela de Dan Brown El código Da Vinci aparece una versión desordenada de los primeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada por el conservador del museo del Louvre, Jacques Saunière. En las pp. 121 a 123 explica algunas de las apariciones del número phi (1.618) en la naturaleza y el ser humano. Menciona que las distancias entre nuestro cuerpo son proporcionales entre sí, como las de la pierna al muslo, el brazo al antebrazo, etc.
• En el episodio “Sabotaje” de la serie de televisión NUMB3RS (primera temporada, 2005), el genio de la matemática Charlie Eppes menciona que el número fi se encuentra en la estructura de los cristales, en la espiral de las galaxias y en la concha del Nautilus.
• En el episodio de Mentes Criminales "Obra maestra" (Cuarta temporada, episodio 8), los crímenes del profesor Rothschild siguen una sucesión de Fibonacci; en la primera zona, mató a una víctima; en la segunda, a otra; en la tercera, a dos; en la cuarta, a tres; y en la quinta, a cinco: doce en total. Las localizaciones también se disponen según una espiral áurea, de fuera hacia dentro: el sitio donde estaban secuestrados los niños estaba justo en el centro. Hasta eligió a sus doce primeras víctimas según cuánto se acercaran las relaciones entre sus rasgos faciales al número áureo: buscaba que fueran los "especímenes más perfectos de ser humano".
• El arte Póvera fue un movimiento artístico italiano de los años 1960, muchas de cuyas obras se basan en esta sucesión.^{[cita requerida]}
• En la cinta de Darren Aronofsky Pi, fe en el caos/Pi, el orden del caos, el personaje central, el matemático Max Cohen, explica la relación que hay entre los números de Fibonacci y la sección áurea, aunque denominándola incorrectamente Theta (θ) en vez de Phi (Φ).
• El número phi aparece en la película de Disney Donald en el país de las matemáticas.^[36]​

Véase también

• Triángulo de Kepler
• Número π
• Número e
• Búsqueda de la sección dorada
• Espiral logarítmica
• Estrella mágica
• Sucesión de Fibonacci
• Composición áurea
• Pitágoras
• Luca Pacioli
• Matila Ghyka
• Roger Penrose
• Decágono regular
• Rectángulo cordobés
• Número metálico

Referencias

1. Miguel de Guzmán, José Colera y Adela Salvador (1987). Matemáticas 1. ANAYA. ISBN 84-207-2820-9. 
2. Fernando Corbalán (2010). La proporción áurea. RBA Coleccionables S. A. ISBN 978-84-473-6623-1. 
3. Luca Pacioli, De Divina Proportione (De la divina proporción, escrito entre 1496 y 1498.
4. Este número es irracional, aunque es algebraico de segundo grado por ser raíz de una ecuación cuadrática y también es una proporción constructible mediante regla y compás, y existen numerosas aproximaciones racionales con mayor o menor error.
5. Proporción Áurea en WolframMathWorld
6. Vorobiov, N. N.: Lecciones de matemáticas populares. Números de Fibonnacci, Editorial Mir, Moscú (1974)
7. Livio, Mario (2002). The Golden Ratio. Broadway Books. ISBN 0-7679-0816-3. Mario Livio (2009). La Proporción Áurea. La historia de phi, el número más sorprendente del mundo. Editorial Ariel S. A. ISBN 978-84-394-4495-X |isbn= incorrecto (ayuda). 
8. Bad approximable numbers in WolframMathWorld
9. Trabajo presentado por Mark Barr y Shooling en la revista The Field del 14 de diciembre de 1912.
10. Bruño: Geometría superior
11. Se calcula partiendo de seno y coseno de 36º.
12. Se halla usando los respectivos valores de los dos datos.
13. Theodore Andrea Cook (1914). The Curves of Life. Constable and Company Ltd, Londres, Capítulo IV: "Flat Spirals in Shells". 
14. Vorobiov, N. N.; traducción de Carlos vega (1974). Números de Fibonacci. Editorial Mir, Moscú, rústica, 112 páginas. 
15. Theodore Andrea Cook (1914). The Curves of Life. Constable and Company Ltd, Londres, Capítulo V: "Botany: The Meaning of Spiral Leaf Arrangements", página 81 en adelante. 
16. http://www.archive.org/stream/cu31924028937179#page/n10/mode/1up (Libro on line, Biblioteca del Congreso de Estados Unidos de América)
17. Artículo publicado por Astroseti: “Las espirales de Fibonacci podrían estar relacionadas con la tensión “ 26/04/2007 (Probablemente, también con el principio de mínima acción): "Zexian Cao y sus colegas de la Academia de Ciencias China usaron la ingeniería de tensión para crear microestructuras de distintas formas de solo 12 μm de longitud con un núcleo de plata y una cáscara de SiO₂. Descubrieron que si se establecían las cáscaras en formas esféricas durante el enfriamiento, se formaban en ellas patrones de tensión triangulares. Por otra parte, si se establecían en formas cónicas, aparecían patrones de tensión en espiral. Estos patrones espirales eran “espirales de Fibonacci" – esto es, espirales que tienen sus dimensiones gobernadas por las series de Fibonacci". "El equipo de Cao no cree que las espirales de Fibonacci se formen por accidente, sin embargo – creen que su causa puede estar relacionada con un delicado problema planteado por el físico J. J. Thomson en 1904. Thomson preguntó cómo un conjunto de cargas se organizaría a sí mismo en una esfera conductora para minimizar su energía. Los físicos han calculado ya que las cargas tomarían patrones triangulares – similares a las microestructuras esféricas de Cao. Debido a esto, el equipo de Cao piensa que las espirales de Fibonacci en las microestructuras cónicas debe ser la configuración equivalente de energía mínima (y por tanto tensión mínima) para un cono, aunque no han llevado a cabo cálculos por sí mismos". "Los biólogos han sospechado desde hace tiempo que las ramas de los árboles y otras ocurrencias de la serie de Fibonacci en la naturaleza son simples reacciones para la minimización de la tensión, pero hasta ahora no se había encontrado ninguna prueba concreta. «Nuestro experimento usando materiales puramente inorgánicos proporciona la prueba para este principio», comenta Cao a Physics Web".
18. "[…] la flor de un girasol está formada por pequeñas estructuras que se encuentran alineadas de tal forma que producen hileras dispuestas en espiral, algunas de ellas abren sus brazos en el sentido de las agujas del reloj y las restantes en la dirección contraria. Si las contamos veremos que siempre habrá 13 espirales que se abren hacia la derecha por 21 que se abren a la izquierda (13/21). Este hecho puede parecer banal, pero adquiere relevancia cuando se repite esta cuenta con girasoles de diferentes tamaños y con otras flores como las margaritas y los mirasoles; pues encontramos que algunas tienen 21/34, otras 34/55 y que incluso las hay de 55/89. […]" Miramontes, Pedro (abril-junio 1996). «"La geometría de las formas vivas"». E Journal, Universidad Autónoma de México (42). 
19. "Los números de Fibonacci en Botánica ocurren con gran regularidad. En 1968, Brousseau usó 4290 piñas de diez especies de pinos encontrados en California, de las cuales solo 74 piñas (1.7 %) se desvió de los números de Fibonacci. En 1992, Jean R.V. en su artículo “Model texting in phyllotaxis” publicó que de 12 750 observaciones en 650 especies encontradas en la literatura de Botánica de los últimos 150 años, la sucesión de Fibonaci aparecía en más del 92 por ciento de todos los posibles casos de plantas con disposición espiral de sus elementos. Entre los 12 750 casos, la sucesión de Lucas (Edouard A. Lucas, 1842-1891) se encontró en un dos por ciento. Coxeter llama a la apariencia de los números de Fibonacci: “Fascinante tendencia”. Otros se refieren a la prevalencia de Fibonacci como: “El misterio de la Filotaxis” o “La obsesión o pesadilla de los botánicos”. La disposición de las escamas de las piñas, frutos de diferentes especies de pinos, se organiza en torno a dos espirales de escamas: una dextrógira y otra levógira. Se ha constatado empíricamente que en un número muy elevado de estas especies, son números consecutivos de la sucesión de Fibonacci. Otros ejemplos son las tortas de girasol, las cabezuelas de las margaritas, etc. Las hojas de la mayor parte de plantas de tallo alto, están colocadas alrededor del mismo pudiendo ser recorridas siguiendo una espiral (figura 13). Más concretamente, en Filotaxis se verifica la llamada ley de divergencia: “para cada especie de plantas el ángulo que forman dos hojas consecutivas, llamado ángulo de divergencia, es constante”". (Página 23 en adelante) Reyes Iglesias, Encarnación (2009). . Universidad de Valladolid. Archivado desde el original el 17 de octubre de 2012. Consultado el 19 de febrero de 2012. 
20. - Ministerio de Educación de España
21. Matila Ghyka (1953). Estética de las Proporciones en la Naturaleza y en las Artes. Editorial Poseidón, Buenos Aires, Capítulo V: "Del Crecimiento Armonioso", páginas 118 a 144. 
22. D'Arcy Wentworth Thompson (1917). "On Growth and Form". Cambridge University Press.  D'Arcy Wentworth Thompson (1992). "On Growth and Form". Dover edition, 1116 páginas.  D'Arcy Thompson (1980). "Sobre el Crecimiento y la Forma. Editorial Hermann Blume, Madrid. Existen ediciones de unas 300 páginas, una reciente de Cambridge.
23. Es una paráfrasis de un pensamiento de Ruskin mencionado en la página 139 del libro citado de Matila Ghyka.
24. En cualquier ser orgánico o inorgánico sus partes constituyentes (moléculas, átomos, células) son objetos que tienen dimensiones; el punto geométrico no. Por esa razón, cuando se sostiene que se verifica una proporción esta no será jamás un número iracional con infinitos decimales, pues ello implicaría que las partes que forman al objeto en cuestión no tuvieran dimensiones como los puntos geométricos. Tendremos forzosamente un intervalo de incertidumbre, del que podremos indicar por lo menos dos racionales que lo limitan. Explicado de otra forma: si una célula está en el borde de un ser y decimos que otra parte está situada en proporción áurea con ese borde, ¿Desde dónde tenemos que medir para que haya infinitos decimales exactos? Esa célula no es un cuerpo rígido, se deforma, los bordes no son líneas perfectas. En la práctica la mayoría de los decimales infinitos del número áureo no tendrán razón de aparecer debido a la incertidumbre de la medida.
25. Ghyka, Matila. "Estética de las Proporciones en la Naturaleza y en las Artes", Capítulo V: "Del Crecimiento Armonioso"; obra citada.
26. "Lógicamente, la tesis de la sección áurea parecería más probable, porque de ella emana una construcción rigurosa, elegante y sencilla del triángulo meridiano, mientras que en la otra hipótesis, aún suponiendo conocido con una aproximación muy grande el valor de π, la construcción sería puramente empírica y desprovista de verdadero interés geométrico" [Es notable, además, que aunque los antiguos no sabían de la trascendencia de π, estaban completamente conscientes de la carencia de exactitud de algunos intentos de cuadratura del círculo] Matila Ghyka (1953). Estética de las Proporciones en la Naturaleza y en las Artes. Editorial Poseidón, Buenos Aires, Capítulo VIII: "La Pirámide de Keops", página 222. 
27. Jay Hambidge (1920; 1930; 1931). "Dynamic Symmetry The Greek Vase". Yale University Press, New Haven. Jay Hambidge (22 de agosto de 2007). Dynamic Symmetry The greek vase. Rough Draf Printing. ISBN 978-1-60386-037-6. 
28. Jay Hambidge (1924). "The Parthenon and Other Greek temples, their Dynamic Symmetry". Yale University Press, New haven. Hay todavía disponibles ejemplares de esa edición, tanto nuevos como usados y a la venta a aproximadamente $ (USA) 250. 
29. Banister; Fletcher (1905). "A History of Architecture". B. T. Basford, Londres. 
30. The golden ratio and aesthetics, by Mario Livio.
31. http://www.educacion.gob.es/exterior/ad/es/publicaciones/Aula_Abierta2_Belleza.pdf, página 86.
32. J. L. Ferrier, Dalí, Leda atómica, París: Denöel, Gonthier, 1980.
33. Universidad Complutense de Madrid, Facultad de Filosofía. "Aspectos Estéticos de la Divina proporción. Memoria para optar al grado de Doctor", Araceli Casans Arteaga, Madrid, 2001, ISBN 84-669-1867-1. http://eprints.ucm.es/tesis/fsl/ucm-t25388.pdf
34. S. M. Eisenstein, La nueva etapa del contrapunto del montaje, en contracampo, nro. 29, año IV, abril-junio 1982, página 42.
35. Por ejemplo, la sonata Nº 1 de Mozart para piano subdivide su primer movimiento en 38 y 62 compases. El cociente, 62/38 = 1.6315, difiere en menos de un 1% de la proporción áurea. Lo mismo puede decirse de su segundo movimiento, que con 28 y 46 compases en sus dos secciones principales arrojan una proporción 46/28 = 1.6428, también muy cercana a φ. La sonata Nº 2 subdivide el primer movimiento en 56 y 88 compases, cuyo cociente es 88/56 = 1.5714, también bastante próximo a la relación áurea. Aunque desde luego no toda la música se secciona de esta manera, es uno de los posibles principios para la organización del tiempo en la música. Otro es la simetría, según el cual las secciones tienen igual duración. Curiosamente, la simetría funciona mejor en el corto plazo (a nivel de frases o motivos), mientras que la relación áurea domina las grandes extensiones. Se ha argumentado que en tiempos considerables el ser humano es incapaz de percibir objetivamente la duración, pero es posible que sí exista una percepción inconsciente de la estructura general. "La música de las esferas: de Pitágoras a Xenakis… y más acá", Apuntes para el coloquio del Departamento de Matemática, Federico Miyara, páginas 14 y 15. http://www.sectormatematica.cl/musica/esferas.pdf el 16 de enero de 2013 en Wayback Machine.
36. [1]

Bibliografía

En orden cronológico:

• Jarolimek (Viena, 1890). Der Mathematischen Schlüssel zu der Pyramide des Cheops. 

• Kleppisch, K. (1921). Die Cheops-Pyramide: Ein Denkmal Mathematischer Erkenntnis. Múnich: Oldenburg. 

• Cook, Theodore Andrea (1979; obra original: 1914). The Curves of Live. Nueva York: Dover. ISBN 0-486-23701-X; ISBN 978-0-486-23701-5. 

• Pacioli, Luca (1991). La Divina Proporción. Tres Cantos: Ediciones Akal, S. A. ISBN 978-84-7600-787-7. 

• Ghyka, Matila (1992). El Número de plata. Barcelona: Poseidón, S.L. ISBN 978-84-85083-11-4. 

• Ghyka, Matila (2006). El Número de plata. I Los ritmos. II Los Ritos. Madrid: Ediciones Apóstrofe, S. L. ISBN 978-84-455-0275-4. 

• Corbalán, Fernando (2010). La proporción áurea. RBA Coleccionables S. A. ISBN 978-84-473-6623-1. 

Enlaces externos

•   Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Número áureo.
• Weisstein, Eric W. «GoldenRatio». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Matematicasvisuales.com. «La proporción áurea» (en español). Consultado el 16 de abril de 2015. 
• Langarita Felipe, Ignacio A. (en español). Archivado desde el original el 26 de mayo de 2010. Consultado el 16 de abril de 2015. 
• Paniagua Sánchez, Juan Ángel. «El número áureo o Phi» (en español). Castor.es. Consultado el 16 de abril de 2015. 
• De Castro P., Carlos Armando. «Sucesiones áureas: Parte I.» (en español). Consultado el 16 de abril de 2015. 
• De Castro P., Carlos Armando. «Sucesiones áureas: Parte II.» (en español). Consultado el 16 de abril de 2015. 
• Tomasini, María Cecilia. «El número y lo sagrado en el arte» (en español). Consultado el 16 de abril de 2015. 
• Knott, Ron (9 de diciembre de 2011). (en inglés). Archivado desde el original el 5 de diciembre de 2006. Consultado el 16 de abril de 2015. 

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