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Número natural

[[Archivo:Three apples.svg|thumb|contar los elementos de ciertos conjuntos,[1][2]​ como también en operaciones elementales de cálculo. Son aquellos números naturales los que sirven para contar elementos por lo que son naturales por ejemplo: 5,7,8,9… Por definición convencional se dirá que cualquier elemento del siguiente conjunto, ℕ = {1, 2, 3, 4, …}, es un número natural.[2]​ En obras más modernas, aparece también como ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …}.[3]​ De dos números vecinos cualesquiera, el que se encuentra a la derecha se llama siguiente o sucesivo,[4]​ por lo que el conjunto de los números naturales es ordenado e infinito.

El conjunto de todos los números naturales iguales o menores que cierto número natural , es decir, el conjunto , se llama segmento de una sucesión natural y se denota o bien .[4]

Convenios de notación

Puesto que los números naturales se utilizan para contar elementos, el cero puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos; dependiendo del área de la ciencia, el conjunto de los números naturales puede presentarse entonces de dos maneras distintas:

  • Definición sin el cero:
 
  • Definición con el cero:
 

donde la de natural se suele escribir en "negrita de pizarra".

Históricamente el uso del cero como numeral fue introducido en Europa en el siglo XII. Esto no quiere decir que antes no se utilizara el número cero como numeral, ya que con la invención del sistema de numeración Hindi (en la India) se incluyó el número cero como numeral, y también se usaba en la numeración maya. Con el tiempo, el sistema de numeración Hindi también fue usado por los árabes; de este hecho viene que pasara de llamarse sistema de numeración Hindi a denominarse sistema de numeración arábigo-índico. Con la conquista musulmana de la península ibérica en el siglo XII, el sistema de numeración arábigo-índico empezó a usarse en Europa y pasó a llamarse sistema de numeración arábigo-índico occidental o sistema de numeración decimal, el cual incluye el cero como numeral, pero aun así no se consideraba a este como un número natural.

Sin embargo, con el desarrollo de la teoría de conjuntos en el siglo XIX, el cero se incluyó en las definiciones conjuntistas de los números naturales. Esta convención prevalece en dicha disciplina,[5]​ y otras, como la teoría de la computación.[6]​ En particular, el estándar DIN 5473 adopta esta definición.[6]​ Sin embargo, en la actualidad ambos convenios conviven.[7]

Para distinguir ambas definiciones a veces se introducen símbolos distintos. Por ejemplo, si no se incluye el cero en los naturales, al conjunto de los números naturales sin el cero se lo llama conjunto de los enteros positivos y se lo denota como  ,  , o  .[8]

Por el contrario, cuando el 0 se considera un número natural (cosa que es conveniente, por ejemplo, en divisibilidad y teoría de números), al conjunto de los naturales con el cero se lo llama conjunto de los números cardinales y se lo denota  .

Historia

[[Archivo:Os d'Ishango IRSNB.JPG|thumb|upright|El Hueso de Ishango (actualmente exhibido en el Real Instituto Belga de Ciencias Naturales[9]​ se cree que fue usado hace más de 20 000 años para aritmética natural.]] Antes de que surgieran los números naturales para la representación de cantidades, las personas usaban otros métodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos (ver sistema de numeración unario). Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena (véase hueso de Ishango). Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 400 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en forma de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto, mientras que en la antigua Roma, además de las letras, se utilizaron algunos símbolos.

Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida, fue Richard Dedekind en el siglo XIX. Este los derivó de una serie de postulados (lo que implicaba que la existencia del conjunto de números naturales se daba por cierta), que después precisó Peano dentro de una lógica de segundo orden, resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. Frege fue superior a ambos, demostrando la existencia del sistema de números naturales partiendo de principios más fuertes. Lamentablemente la teoría de Frege perdió, por así decirlo, su credibilidad, y hubo que buscar un nuevo método. Fue Zermelo quien demostró la existencia del conjunto de los naturales, dentro de su teoría de conjuntos y principalmente mediante el uso del axioma de infinitud, que, con una modificación de este hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto de números naturales como ordinales según von Neumann.

Algunas características de los números naturales son:

  1. Todo número mayor que 1 (o mayor que 0 en caso de considerar el 0 como natural) va después de otro número natural.
  2. Entre dos números naturales siempre hay un número finito de naturales (interpretación de conjunto no denso).
  3. Dado un número natural cualquiera, siempre existe otro natural mayor que este (interpretación de conjunto infinito).
  4. Entre el número natural   y su sucesor   no existe ningún número natural.

Construcciones axiomáticas

Históricamente, se han realizado propuestas para axiomatizar la noción habitual de números naturales, de entre las que destacan las de Peano y la construcción a partir de la teoría de conjuntos.

Axiomas de Peano

  • Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.
  • El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
  • Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.

Versión de Bush-Obreanu

El sistema de Peano ha sido simplificado.[10]

Definición en teoría de conjuntos

En teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. La idea es que se pueda contar haciendo una biyección desde un número natural hasta el conjunto de objetos que se quiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga precisamente dos elementos. Esta definición fue proporcionada por Bertrand Russell, y más tarde simplificada por Von Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera el conjunto que contiene solo a 1 y a 0.

Formalmente, un conjunto x se dice que es un número natural si cumple

  1. Para cada yx, yx
  2. La relación x = {(a, b) ∈ xx | ab} es un orden total estricto en x
  3. Todo subconjunto no vacío de x tiene elementos mínimo y máximo en el orden x

Se intenta pues, definir un conjunto de números naturales donde cada elemento respete las convenciones anteriores. Primero se busca un conjunto que sea el representante del 0, lo cual es fácil ya que sabemos que no contiene elementos. Luego se definen los siguientes elementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de sucesor.

Se define -según Halmos- entonces que el conjunto vacío es un número natural que se denota por 0 y que cada número natural n tiene un sucesor denotado como n+. Estas ideas quedan formalizadas mediante las siguientes expresiones:

0 = ∅
n+ = n ∪ {n}

De esta manera, cada elemento de algún número natural es un número natural; a saber, un antecesor de él. Por ejemplo:

  • Por definición 0 = {} (lo cual refuerza el hecho de que 0 no tiene antecesores)
  • 1 es el sucesor de 0, entonces 1 = 0+ = ∅ ∪ {0} = {0}
  • 2 es el sucesor de 1, pero 1 es {0}, entonces 2 = 1+ = {0} ∪ {1} = {0, 1} .
  • y en general
3 = {0, 1, 2}
4 = {0, 1, 2, 3}
5 = {0, 1, 2, 3, 4}

Esto permite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto a pesar de que un conjunto es por naturaleza un agregado de elementos desordenados. Se define esta relación mediante la expresión:

abab

es decir que un número a es menor o igual que b si y solo si b contiene a todos los elementos de a.

También se puede usar otra definición más inmediata a partir del hecho de que cada número natural consta de sus antecesores. Así a < b si y solo si ab.

Esa es la construcción formal de los naturales que garantiza su existencia como conjunto a la luz del desarrollo axiomático Zermelo-Fraenkel. El postulado de los conjuntos infinitos asegura la validez de la técnica de demostración conocida como inducción matemática.

Un teorema demuestra que cualquier conjunto que sea inductivo contiene a todos los números naturales, es decir que si A es un conjunto inductivo, entonces A. Esto significa que, en efecto, es el mínimo conjunto inductivo.

Se define la suma por inducción mediante:

a + 0 = a
a + b+ = (a + b) +

Lo que convierte a los números naturales (, +) en un monoide conmutativo con elemento neutro 0, el llamado Monoide Libre con un generador. Este monoide satisface la propiedad cancelativa y por lo tanto puede incluirse en un grupo matemático. El menor grupo que contiene a los naturales es el de los números enteros.

De manera análoga, la multiplicación × se define mediante las expresiones:

a × 0 = 0
a × b+ = (a × b) + a

Esto convierte (, ×) (esto es, ℕ con esta nueva operación), en un monoide conmutativo.

Otra forma de construcción de es la siguiente: Sea la clase de todos los conjuntos y definiremos una relación binaria R "ser equipotente" de la siguiente manera: Dados A y B ∈ se dice que A R B ↔ Existe una aplicación biyectiva de A sobre B, es decir, existe f : AB biyectiva. Claramente se puede demostrar que esta relación verifica las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva luego es una relación de equivalencia al conjunto cociente /R = {[A]/A} los llamaremos cardinales y a los cardinales finitos se les llamará números naturales.Las operaciones de suma y producto de cardinales se definen como el cardinal de la unión y el producto cartesiano de los conjuntos representantes y verifica todas las propiedades para que (, +, ×) sea un semianillo conmutativo y unitario.

Operaciones con los números naturales

Las operaciones matemáticas que se definen en el conjunto de los números naturales son la suma y la multiplicación.

La suma y la multiplicación de números naturales son operaciones conmutativas y asociativas, es decir:

  • El orden de los números no altera el resultado (propiedad conmutativa), a + b = b + a, y a × b = b × a.
  • Para sumar —o multiplicar— tres o más números naturales, no hace falta agrupar los números de una manera específica ya que (a + b) + c = a + (b + c) (propiedad asociativa). Esto es lo que da sentido a expresiones como a + b + c.

Al construir la operación de multiplicación de números naturales, se puede observar claramente que la adición o suma y la multiplicación son operaciones compatibles, pues la multiplicación sería una adición de cantidades iguales y gracias a esta compatibilidad se puede desarrollar la propiedad distributiva, que se expresa de la forma:

a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

Aparte, estas dos operaciones cumplen con las propiedades de:

  • Clausura de ambas operaciones para todos los números naturales a y b, ya que a + b y a × b son siempre números naturales.
  • Existencia de elementos neutros para ambas operaciones, es decir, para cada número a, a + 0 = a y a × 1 = a.
  • No existencia de divisores de cero para la operación de multiplicación: si a y b son números naturales tales que a × b = 0, entonces a = 0 o b = 0.

Propiedades de los números naturales

Los números naturales están totalmente ordenados. La relación de orden se puede redefinir así: ab si y solo si existe otro número natural c que cumple a + c = b. Este orden es compatible con todas las operaciones aritméticas puesto que si a, b y c son números naturales y ab, entonces se cumple:

a + cb + c
a × cb × c

Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado

  1. Para cualquier elemento a de A existe b en A tal que a < b

En los números naturales existe el algoritmo de la división. Dados dos números naturales a y b, si b ≠ 0, podemos encontrar otros dos números naturales q y r, denominados cociente y resto respectivamente, tales que:

a = (b × q) + r y r < b

Los números q y r están unívocamente determinados por a y b.

Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los números primos por ejemplo, son estudiadas por la teoría de números.

Relación de orden

La relación sucesor le da una estructura de orden.[11]

Conceptos globales y de estructura

  • Algebraicamente, el conjunto = {0, 1, 2, ... n, ...} es un semigrupo aditivo asociativo con elemento neutro 0 y semigrupo multiplicativo asociativo con elemento neutro 1.[12]
  • Topológicamente, tiene la topología cofinita.[13]
  • El cardinal de es menor que el cardinal de .[14]

Uso de los números naturales

Los números naturales, son usados para dos propósitos fundamentalmente: para describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto de número ordinal, y para especificar el tamaño de un conjunto infinito, que a su vez se generaliza en el concepto de número cardinal. En el mundo de lo finito, ambos conceptos son coincidentes: los ordinales infinitos son iguales a N así como los cardinales infinitos. Cuando nos movemos más allá de lo infinito, ambos conceptos son diferentes.

  • Otro uso de gran importancia, desde el punto de vista matemático, es en la construcción de los números enteros, para lo cual en N × N se establece una relación de equivalencia, para dos pares ordenados de N × N:
(a, b) ~ (c, d) a + d = b + c.

Sustracción o resta con números naturales

Asúmase que ℕ = {0, 1, 2, 3, ...} y sea H = {(m, n) / m, n ∈ ℕ; mn}, sea g una aplicación de H en , tal que g(m, n) = m - n = dm = d + n, donde m, n están en H y d está en . A la aplicación g de H sobre se llama sustracción o resta en . La diferencia d = m - n, solo es posible en el caso que mn.

Proposiciones

  • Si m - n = p, entonces m - p = n
  • Si m - n = p, entonces (m + r) - (n + r) = p
  • Para cualquier m ∈ ℕ, m - m = 0;
  • como m - 0 = m, 0 hace el papel de elemento neutro por la derecha.
  • La resta no es conmutativa ni asociativa.
  • Si se da m - n = p, existe una infinidad de números naturales m´ y n´ tal que m´ - n´ = p; de modo tal que en ℕ × ℕ la relación (m, n) (m´ ,n´) m + n´ = n + m´ define una relación de equivalencia, punto de partida para la construcción del de los números enteros.[15]

Observación

  1. Una operación en A definen algunos matemáticos como una aplicación de A × A en A. Si se acepta esto, la sustracción no es una operación en el conjunto de los naturales.[16]
  2. Si se define una aplicación en H, parte propia de A × A, en A tal aplicación se llama operación parcialmente definida en A. Admitido lo anterior, la sustracción es una operación parcialmente definida en los números naturales.[17]

Topologización de N

En el conjunto de los naturales cabe la topología discreta y la cofinita, también alguna topología de orden.[18]

Principio de permanencia

Es un teorema vinculado al sistema de los números naturales y sus ampliaciones aplicativas. Esta proposición expresa que las propiedades de cálculo usuales para los números naturales, también son legítimas para los números estructurados mediante operaciones inversas. Como ejemplo: según el principio de permanencia, las propiedades de la potenciación siguen válidas aun en el caso de números con exponentes fraccionarios.

  • (ab)5 = a5b5 ⇒ (ab)2/3 = a2/3 b2/3 entre otras leyes de la potenciación.[19]

Véase también

Clasificación de los números
Complejos  
Reales  
Racionales  
Enteros  
Naturales  
Cero: 0
Enteros negativos
Fraccionarios
Irracionales
Imaginarios

Referencias

  1. Por ejemplo, los elementos del intervalo abierto <0; 1> no se pueden contar
  2. Arias Cabezas, José María; Maza Sáez, Ildefonso (2008). «Aritmética y Álgebra». En Carmona Rodríguez, Manuel; Díaz Fernández, Francisco Javier, eds. Matemáticas 1. Madrid: Grupo Editorial Bruño, Sociedad Limitada. p. 13. ISBN 9788421659854. 
  3. Véanse textos como Jech (2006). «2. Ordinal Numbers». Set Theory (en inglés). Springer. ISBN 978-3-540-44085-7. 
  4. Tsipkin, A. G. Manual de Matemáticas, Edirorial Mir, Moscú (1985), traducción de T. I. Shopovalova
  5. Véanse textos como Jech (2006). ISBN 978-3-540-44085-7,  Falta el |título= (ayuda) Devlin (1993). ISBN 0-387-94094-4.  Falta el |título= (ayuda) o Kunen (1992). ISBN 0-444-86839-9.  Falta el |título= (ayuda)
  6. Véase Welschenbach, 2005, p. 4.
  7. Véase Weisstein, Eric W. «Natural Numbers». MathWorld (en inglés). Consultado el 14 de agosto de 2011. 
  8. Cominos (2006). ISBN 9781852339029.  Falta el |título= (ayuda), p. 27.
  9. (en inglés) . Archivado desde el original el 4 de marzo de 2016.  Falta el |título= (ayuda)
  10. Tal como se presenta en la 'discusión' de este artículo
  11. Consultar en discusión de artículo
  12. Rojas: "Álgebra I"
  13. Munkres: "Topología" 2.ª edición
  14. Haaser: "Análisis real"
  15. "Concepto de número" (1970) Trejo, César, publicación de la OEA; Universidad Nacional de Buenos Aires
  16. Ayres: Álgebra mooderna, compendio Schaumm
  17. Carranza: Álgebra, Studium, Lima,1973
  18. Munkres: Topología ISBN 978-84-205-3180-9
  19. Diccionarios RIODUERO. Matemática. ISBN 84-220-0832-7

Bibliografía

  • Hernández Hernández, Fernando (1998). Teoría de conjuntos. México D.F.: Sociedad Matemática Mexicana. ISBN 970-32-1392-8. 
  • Hurtado, F. (2 de 1997). Atlas de matemáticas (1 edición). Idea Books, S.A. p. 12. ISBN 978-84-8236-049-2. 
  • Welschenbach, Michael (2005). Cryptography in C and C++ (en inglés). Apress. ISBN 9781590595022. 

Enlaces externos

  •   Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre .
  •   Datos: Q21199
  •   Multimedia: Natural numbers

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Archivo Three apples svg thumb contar los elementos de ciertos conjuntos 1 2 como tambien en operaciones elementales de calculo Son aquellos numeros naturales los que sirven para contar elementos por lo que son naturales por ejemplo 5 7 8 9 Por definicion convencional se dira que cualquier elemento del siguiente conjunto ℕ 1 2 3 4 es un numero natural 2 En obras mas modernas aparece tambien como ℕ 0 1 2 3 4 3 De dos numeros vecinos cualesquiera el que se encuentra a la derecha se llama siguiente o sucesivo 4 por lo que el conjunto de los numeros naturales es ordenado e infinito El conjunto de todos los numeros naturales iguales o menores que cierto numero natural k displaystyle k es decir el conjunto 1 2 k 1 k displaystyle 1 2 dots k 1 k se llama segmento de una sucesion natural y se denota 1 k displaystyle 1 k o bien k displaystyle k 4 Indice 1 Convenios de notacion 2 Historia 3 Construcciones axiomaticas 3 1 Axiomas de Peano 4 Version de Bush Obreanu 4 1 Definicion en teoria de conjuntos 5 Operaciones con los numeros naturales 6 Propiedades de los numeros naturales 6 1 Conceptos globales y de estructura 7 Uso de los numeros naturales 8 Sustraccion o resta con numeros naturales 8 1 Proposiciones 8 2 Observacion 9 Topologizacion de N 10 Principio de permanencia 11 Vease tambien 12 Referencias 13 Bibliografia 14 Enlaces externosConvenios de notacion EditarPuesto que los numeros naturales se utilizan para contar elementos el cero puede considerarse el numero que corresponde a la ausencia de los mismos dependiendo del area de la ciencia el conjunto de los numeros naturales puede presentarse entonces de dos maneras distintas Definicion sin el cero N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 displaystyle mathbb N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 cdots Definicion con el cero N 0 1 2 3 4 displaystyle mathbb N 0 1 2 3 4 cdots donde la ℕ de natural se suele escribir en negrita de pizarra Historicamente el uso del cero como numeral fue introducido en Europa en el siglo XII Esto no quiere decir que antes no se utilizara el numero cero como numeral ya que con la invencion del sistema de numeracion Hindi en la India se incluyo el numero cero como numeral y tambien se usaba en la numeracion maya Con el tiempo el sistema de numeracion Hindi tambien fue usado por los arabes de este hecho viene que pasara de llamarse sistema de numeracion Hindi a denominarse sistema de numeracion arabigo indico Con la conquista musulmana de la peninsula iberica en el siglo XII el sistema de numeracion arabigo indico empezo a usarse en Europa y paso a llamarse sistema de numeracion arabigo indico occidental o sistema de numeracion decimal el cual incluye el cero como numeral pero aun asi no se consideraba a este como un numero natural Sin embargo con el desarrollo de la teoria de conjuntos en el siglo XIX el cero se incluyo en las definiciones conjuntistas de los numeros naturales Esta convencion prevalece en dicha disciplina 5 y otras como la teoria de la computacion 6 En particular el estandar DIN 5473 adopta esta definicion 6 Sin embargo en la actualidad ambos convenios conviven 7 Para distinguir ambas definiciones a veces se introducen simbolos distintos Por ejemplo si no se incluye el cero en los naturales al conjunto de los numeros naturales sin el cero se lo llama conjunto de los enteros positivos y se lo denota como N 1 displaystyle mathbb N 1 N displaystyle mathbb N o N displaystyle mathbb N 8 Por el contrario cuando el 0 se considera un numero natural cosa que es conveniente por ejemplo en divisibilidad y teoria de numeros al conjunto de los naturales con el cero se lo llama conjunto de los numeros cardinales y se lo denota N 0 displaystyle mathbb N 0 Historia Editar Archivo Os d Ishango IRSNB JPG thumb upright El Hueso de Ishango actualmente exhibido en el Real Instituto Belga de Ciencias Naturales 9 se cree que fue usado hace mas de 20 000 anos para aritmetica natural Antes de que surgieran los numeros naturales para la representacion de cantidades las personas usaban otros metodos para contar utilizando para ello objetos como piedras palitos de madera nudos de cuerdas o simplemente los dedos ver sistema de numeracion unario Mas adelante comenzaron a aparecer los simbolos graficos como senales para contar por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos especificos sobre la arena vease hueso de Ishango Pero fue en Mesopotamia alrededor del ano 400 a C donde aparecen los primeros vestigios de los numeros que consistieron en grabados de senales en forma de cunas sobre pequenos tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado De aqui el nombre de escritura cuneiforme Este sistema de numeracion fue adoptado mas tarde aunque con simbolos graficos diferentes en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma En la Grecia antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto mientras que en la antigua Roma ademas de las letras se utilizaron algunos simbolos Quien coloco al conjunto de los numeros naturales sobre lo que comenzaba a ser una base solida fue Richard Dedekind en el siglo XIX Este los derivo de una serie de postulados lo que implicaba que la existencia del conjunto de numeros naturales se daba por cierta que despues preciso Peano dentro de una logica de segundo orden resultando asi los famosos cinco postulados que llevan su nombre Frege fue superior a ambos demostrando la existencia del sistema de numeros naturales partiendo de principios mas fuertes Lamentablemente la teoria de Frege perdio por asi decirlo su credibilidad y hubo que buscar un nuevo metodo Fue Zermelo quien demostro la existencia del conjunto de los naturales dentro de su teoria de conjuntos y principalmente mediante el uso del axioma de infinitud que con una modificacion de este hecha por Adolf Fraenkel permite construir el conjunto de numeros naturales como ordinales segun von Neumann Algunas caracteristicas de los numeros naturales son Todo numero mayor que 1 o mayor que 0 en caso de considerar el 0 como natural va despues de otro numero natural Entre dos numeros naturales siempre hay un numero finito de naturales interpretacion de conjunto no denso Dado un numero natural cualquiera siempre existe otro natural mayor que este interpretacion de conjunto infinito Entre el numero natural a displaystyle a y su sucesor a 1 displaystyle a 1 no existe ningun numero natural Construcciones axiomaticas EditarHistoricamente se han realizado propuestas para axiomatizar la nocion habitual de numeros naturales de entre las que destacan las de Peano y la construccion a partir de la teoria de conjuntos Axiomas de Peano Editar Articulo principal Axiomas de Peano Si n es un numero natural entonces el sucesor de n tambien es un numero natural El 1 no es el sucesor de ningun numero natural Si hay dos numeros naturales n y m con el mismo sucesor entonces n y m son el mismo numero natural Version de Bush Obreanu EditarEl sistema de Peano ha sido simplificado 10 Definicion en teoria de conjuntos Editar En teoria de conjuntos se define al conjunto de los numeros naturales como el minimo conjunto que es inductivo La idea es que se pueda contar haciendo una biyeccion desde un numero natural hasta el conjunto de objetos que se quiere contar Es decir para dar la definicion de numero 2 se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga precisamente dos elementos Esta definicion fue proporcionada por Bertrand Russell y mas tarde simplificada por Von Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera el conjunto que contiene solo a 1 y a 0 Formalmente un conjunto x se dice que es un numero natural si cumple Para cada y x y x La relacion x a b x x a b es un orden total estricto en x Todo subconjunto no vacio de x tiene elementos minimo y maximo en el orden xSe intenta pues definir un conjunto de numeros naturales donde cada elemento respete las convenciones anteriores Primero se busca un conjunto que sea el representante del 0 lo cual es facil ya que sabemos que no contiene elementos Luego se definen los siguientes elementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de sucesor Se define segun Halmos entonces que el conjunto vacio es un numero natural que se denota por 0 y que cada numero natural n tiene un sucesor denotado como n Estas ideas quedan formalizadas mediante las siguientes expresiones 0 n n n De esta manera cada elemento de algun numero natural es un numero natural a saber un antecesor de el Por ejemplo Por definicion 0 lo cual refuerza el hecho de que 0 no tiene antecesores 1 es el sucesor de 0 entonces 1 0 0 0 2 es el sucesor de 1 pero 1 es 0 entonces 2 1 0 1 0 1 y en general3 0 1 2 4 0 1 2 3 5 0 1 2 3 4 Esto permite establecer una relacion de orden entre los elementos del conjunto a pesar de que un conjunto es por naturaleza un agregado de elementos desordenados Se define esta relacion mediante la expresion a b a bes decir que un numero a es menor o igual que b si y solo si b contiene a todos los elementos de a Tambien se puede usar otra definicion mas inmediata a partir del hecho de que cada numero natural consta de sus antecesores Asi a lt b si y solo si a b Esa es la construccion formal de los naturales que garantiza su existencia como conjunto a la luz del desarrollo axiomatico Zermelo Fraenkel El postulado de los conjuntos infinitos asegura la validez de la tecnica de demostracion conocida como induccion matematica Un teorema demuestra que cualquier conjunto que sea inductivo contiene a todos los numeros naturales es decir que si A es un conjunto inductivo entonces ℕ A Esto significa que en efecto ℕ es el minimo conjunto inductivo Se define la suma por induccion mediante a 0 a a b a b Lo que convierte a los numeros naturales ℕ en un monoide conmutativo con elemento neutro 0 el llamado Monoide Libre con un generador Este monoide satisface la propiedad cancelativa y por lo tanto puede incluirse en un grupo matematico El menor grupo que contiene a los naturales es el de los numeros enteros De manera analoga la multiplicacion se define mediante las expresiones a 0 0 a b a b aEsto convierte ℕ esto es ℕ con esta nueva operacion en un monoide conmutativo Otra forma de construccion de ℕ es la siguiente Sea ℱ la clase de todos los conjuntos y definiremos una relacion binaria R ser equipotente de la siguiente manera Dados A y B ℱ se dice que A R B Existe una aplicacion biyectiva de A sobre B es decir existe f A B biyectiva Claramente se puede demostrar que esta relacion verifica las propiedades reflexiva simetrica y transitiva luego es una relacion de equivalencia al conjunto cociente ℱ R A A ℱ los llamaremos cardinales y a los cardinales finitos se les llamara numeros naturales Las operaciones de suma y producto de cardinales se definen como el cardinal de la union y el producto cartesiano de los conjuntos representantes y verifica todas las propiedades para que ℕ sea un semianillo conmutativo y unitario Operaciones con los numeros naturales EditarLas operaciones matematicas que se definen en el conjunto de los numeros naturales son la suma y la multiplicacion La suma y la multiplicacion de numeros naturales son operaciones conmutativas y asociativas es decir El orden de los numeros no altera el resultado propiedad conmutativa a b b a y a b b a Para sumar o multiplicar tres o mas numeros naturales no hace falta agrupar los numeros de una manera especifica ya que a b c a b c propiedad asociativa Esto es lo que da sentido a expresiones como a b c Al construir la operacion de multiplicacion de numeros naturales se puede observar claramente que la adicion o suma y la multiplicacion son operaciones compatibles pues la multiplicacion seria una adicion de cantidades iguales y gracias a esta compatibilidad se puede desarrollar la propiedad distributiva que se expresa de la forma a b c a b a c Aparte estas dos operaciones cumplen con las propiedades de Clausura de ambas operaciones para todos los numeros naturales a y b ya que a b y a b son siempre numeros naturales Existencia de elementos neutros para ambas operaciones es decir para cada numero a a 0 a y a 1 a No existencia de divisores de cero para la operacion de multiplicacion si a y b son numeros naturales tales que a b 0 entonces a 0 o b 0 Propiedades de los numeros naturales EditarLos numeros naturales estan totalmente ordenados La relacion de orden se puede redefinir asi a b si y solo si existe otro numero natural c que cumple a c b Este orden es compatible con todas las operaciones aritmeticas puesto que si a b y c son numeros naturales y a b entonces se cumple a c b c a c b cUna propiedad importante del conjunto de los numeros naturales es que es un conjunto bien ordenado Para cualquier elemento a de A existe b en A tal que a lt bEn los numeros naturales existe el algoritmo de la division Dados dos numeros naturales a y b si b 0 podemos encontrar otros dos numeros naturales q y r denominados cociente y resto respectivamente tales que a b q r y r lt bLos numeros q y r estan univocamente determinados por a y b Otras propiedades mas complejas de los numeros naturales como la distribucion de los numeros primos por ejemplo son estudiadas por la teoria de numeros Relacion de ordenLa relacion sucesor le da una estructura de orden 11 Conceptos globales y de estructura Editar Algebraicamente el conjunto ℕ 0 1 2 n es un semigrupo aditivo asociativo con elemento neutro 0 y semigrupo multiplicativo asociativo con elemento neutro 1 12 Topologicamente ℕ tiene la topologia cofinita 13 El cardinal de ℕ es menor que el cardinal de ℝ 14 Uso de los numeros naturales EditarLos numeros naturales son usados para dos propositos fundamentalmente para describir la posicion de un elemento en una secuencia ordenada como se generaliza con el concepto de numero ordinal y para especificar el tamano de un conjunto infinito que a su vez se generaliza en el concepto de numero cardinal En el mundo de lo finito ambos conceptos son coincidentes los ordinales infinitos son iguales a N asi como los cardinales infinitos Cuando nos movemos mas alla de lo infinito ambos conceptos son diferentes Otro uso de gran importancia desde el punto de vista matematico es en la construccion de los numeros enteros para lo cual en N N se establece una relacion de equivalencia para dos pares ordenados de N N a b c d a d b c Sustraccion o resta con numeros naturales EditarAsumase que ℕ 0 1 2 3 y sea H m n m n ℕ m n sea g una aplicacion de H en ℕ tal que g m n m n d m d n donde m n estan en H y d esta en ℕ A la aplicacion g de H sobre ℕ se llama sustraccion o resta en ℕ La diferencia d m n solo es posible en el caso que m n Proposiciones Editar Si m n p entonces m p n Si m n p entonces m r n r p Para cualquier m ℕ m m 0 como m 0 m 0 hace el papel de elemento neutro por la derecha La resta no es conmutativa ni asociativa Si se da m n p existe una infinidad de numeros naturales m y n tal que m n p de modo tal que en ℕ ℕ la relacion m n m n m n n m define una relacion de equivalencia punto de partida para la construccion del ℤ de los numeros enteros 15 Observacion Editar Una operacion en A definen algunos matematicos como una aplicacion de A A en A Si se acepta esto la sustraccion no es una operacion en el conjunto de los naturales 16 Si se define una aplicacion en H parte propia de A A en A tal aplicacion se llama operacion parcialmente definida en A Admitido lo anterior la sustraccion es una operacion parcialmente definida en los numeros naturales 17 Topologizacion de N EditarEn el conjunto ℕ de los naturales cabe la topologia discreta y la cofinita tambien alguna topologia de orden 18 Principio de permanencia EditarEs un teorema vinculado al sistema de los numeros naturales y sus ampliaciones aplicativas Esta proposicion expresa que las propiedades de calculo usuales para los numeros naturales tambien son legitimas para los numeros estructurados mediante operaciones inversas Como ejemplo segun el principio de permanencia las propiedades de la potenciacion siguen validas aun en el caso de numeros con exponentes fraccionarios ab 5 a5b5 ab 2 3 a2 3 b2 3 entre otras leyes de la potenciacion 19 Vease tambien Editar Wikcionario tiene definiciones y otra informacion sobre numero natural Numero entero Numero primo Numero primo pitagorico Numero par Numero impar Numero triangular Numero perfecto Numero abundante Numero defectivo Numero capicua Sucesion matematicaClasificacion de los numeros Complejos C displaystyle mathbb C Reales R displaystyle mathbb R Racionales Q displaystyle mathbb Q Enteros Z displaystyle mathbb Z Naturales N displaystyle mathbb N Cero 0Enteros negativosFraccionariosIrracionalesImaginariosReferencias Editar Por ejemplo los elementos del intervalo abierto lt 0 1 gt no se pueden contar a b Arias Cabezas Jose Maria Maza Saez Ildefonso 2008 Aritmetica y Algebra En Carmona Rodriguez Manuel Diaz Fernandez Francisco Javier eds Matematicas 1 Madrid Grupo Editorial Bruno Sociedad Limitada p 13 ISBN 9788421659854 fechaacceso requiere url ayuda Veanse textos como Jech 2006 2 Ordinal Numbers Set Theory en ingles Springer ISBN 978 3 540 44085 7 fechaacceso requiere url ayuda a b Tsipkin A G Manual de Matematicas Edirorial Mir Moscu 1985 traduccion de T I Shopovalova Veanse textos como Jech 2006 ISBN 978 3 540 44085 7 Falta el titulo ayuda Devlin 1993 ISBN 0 387 94094 4 Falta el titulo ayuda o Kunen 1992 ISBN 0 444 86839 9 Falta el titulo ayuda a b Vease Welschenbach 2005 p 4 Vease Weisstein Eric W Natural Numbers MathWorld en ingles Consultado el 14 de agosto de 2011 Cominos 2006 ISBN 9781852339029 Falta el titulo ayuda p 27 en ingles https web archive org web 20160304051733 https www naturalsciences be expo old ishango en ishango introduction html Archivado desde el original el 4 de marzo de 2016 Falta el titulo ayuda Tal como se presenta en la discusion de este articulo Consultar en discusion de articulo Rojas Algebra I Munkres Topologia 2 ª edicion Haaser Analisis real Concepto de numero 1970 Trejo Cesar publicacion de la OEA Universidad Nacional de Buenos Aires Ayres Algebra mooderna compendio Schaumm Carranza Algebra Studium Lima 1973 Munkres Topologia ISBN 978 84 205 3180 9 Diccionarios RIODUERO Matematica ISBN 84 220 0832 7Bibliografia EditarHernandez Hernandez Fernando 1998 Teoria de conjuntos Mexico D F Sociedad Matematica Mexicana ISBN 970 32 1392 8 Hurtado F 2 de 1997 Atlas de matematicas 1 edicion Idea Books S A p 12 ISBN 978 84 8236 049 2 Welschenbach Michael 2005 Cryptography in C and C en ingles Apress ISBN 9781590595022 Enlaces externos Editar Wikcionario tiene definiciones y otra informacion sobre ℕ Datos Q21199 Multimedia Natural numbersObtenido de https es wikipedia org w index php title Numero natural amp oldid 138544652, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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