Número irracional

En matemáticas, un número irracional es un valor que no puede ser expresado como una fracción ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$, donde ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$ y ${\displaystyle n\neq 0}$.^[1]​ Es cualquier número real que no es racional, y su expresión decimal no es ni exacta ni periódica.^[1]​

La constante matemática ${\displaystyle \pi }$, expresada en su forma decimal.

Diez mil primeras cifras decimales del número ${\displaystyle {\text{e}}}$.

Un decimal infinito (es decir, con infinitas cifras) aperiódico, como √7 = 2,64575131106459059050161... no puede representar un número racional. A tales números se les nombra "números irracionales". Esta denominación significa la imposibilidad de representar dicho número como razón de dos números enteros.^[2]​ El número pi (${\displaystyle \pi }$), número e y el número áureo (${\displaystyle \phi }$) son otros ejemplos de números irracionales.^[1]​

Historia

Dado que en la práctica de medir la longitud de un segmento de recta solo puede producir como resultado un número fraccionario, en un inicio, los griegos identificaron los números con las longitudes de los segmentos de recta.^[3]​ Al identificar del modo mencionado, surge la necesidad de considerar una clase de números más amplia que la de los números fraccionarios. Se atribuye a Hípaso de Metaponto perteneciente a un grupo de matemáticos pitagóricos de la existencia de segmentos de recta inconmensurables con respecto a un segmento que se toma como unidad en un sistema de medición. Pues, existen segmentos de recta cuya longitud medida en este sistema no es un número fraccionario.^[3]​

Por ejemplo, en un cuadrado, la diagonal de este es inconmensurable con respecto a sus lados. Este hecho ocasionó una convulsión en el mundo científico antiguo. Provocó una ruptura entre la geometría y la aritmética de aquella época, ya que esta última, por entonces, se sustentaba en la teoría de la proporcionalidad, la cual solo se aplica a magnitudes conmensurables.

Intentaron salvar el obstáculo distinguiendo entre el concepto de número y el de longitud de un segmento de recta, y tomaron estos últimos como elementos básicos para sus cálculos. De tal modo, a los segmentos inconmensurables con respecto a la unidad tomada como patrón de medida les asignaron un nuevo tipo de magnitud: los números irracionales, los cuales por largo tiempo no se reconocieron como verdaderos números.^[3]​

Notación

No existe una notación universal para indicarlos, como ${\displaystyle \mathbb {I} }$ , que sea generalmente aceptada. Las razones son que el conjunto de Números Irracionales no constituye alguna estructura algebraica, como sí lo son los naturales (${\displaystyle \mathbb {N} }$ ), los enteros (${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ), los racionales (${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ), los reales (${\displaystyle \mathbb {R} }$ ) y los complejos (${\displaystyle \mathbb {C} }$ ), por un lado, y que la ${\displaystyle \mathbb {I} }$  es tan apropiada para designar al conjunto de números irracionales como al conjunto de números imaginarios, lo cual puede crear confusión. Fuera de ello,

${\displaystyle \mathbb {I} :=\mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} =\{x\in \mathbb {R} |x\notin \mathbb {Q} \}}$ 

Clasificación

Los números irracionales son los elementos de la recta real que cubren los vacíos que dejan los números racionales, ya que muchas sucesiones de racionales tienen como límite un número que no es un número racional.

Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicas. Puede definirse al número irracional como una fracción decimal no periódica infinita.^[4]​ En general, toda expresión en números decimales es solo una aproximación en números racionales al número irracional referido, y se dice con toda propiedad que el número √2 es aproximadamente igual a 1,4142135 en 7 decimales, o bien es igual a 1,4142135… donde los tres puntos hacen referencia a los decimales que faltan. Debido a ello, los números irracionales más conocidos son identificados mediante símbolos:

1. ${\displaystyle \pi }$  (Número "pi" 3,14159...): razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
2. e (Número "e" 2,7182...): ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$ 
3. ${\displaystyle \Phi }$  (Número "áureo" 1,6180...): ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ 
4. las soluciones reales de x² - 3 = 0; de x⁵ -7 = 0; de x³ = 11; 3^x = 5; sen 7º, etc^[4]​

Los números irracionales se clasifican en dos tipos:

1. Número algebraico: Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o anidados en algunos casos;^{[n. 1]}​ si "x" representa ese número, al eliminar radicales del segundo miembro mediante operaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. Todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos. Por ejemplo, el número áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica ${\displaystyle \scriptstyle x^{2}-x-1=0}$ , por lo que es un número irracional algebraico.
2. Número trascendente: No pueden representarse mediante un número finito de radicales libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes (trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, etc.) También surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido, respectivamente, como los dos siguientes:

${\displaystyle \ 0,193650278443757}$ ...

${\displaystyle \ 0,101001000100001}$ ...

Los llamados números trascendentes tienen especial relevancia ya que no pueden ser solución de ninguna ecuación algebraica. Los números pi y e son irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales.

Los números irracionales no son numerables, es decir, no pueden ponerse en biyección con el conjunto de los números naturales. Por extensión, los números reales tampoco son numerables ya que incluyen el conjunto de los irracionales.

Propiedades

• Sean las expresiones ${\displaystyle k+l\kappa =m+n\kappa }$  donde ${\displaystyle k,l,m,n\in Q;\kappa \in R-Q=Q^{c}}$ , implica que ${\displaystyle k=m,l=n}$  ^[5]​
• La suma y la diferencia de un número racional y de un número irracional es un número irracional:${\displaystyle a\in Q,b\in Q^{c}\implies a\pm b\in Q^{c}}$ 
• El inverso aditivo de un número irracional es un número irracional: ${\displaystyle a\in Q^{c}\implies -a\in Q^{c}}$ 
• El producto de un racional diferente de cero por un irracional es un número irracional:${\displaystyle a\in Q,b\in Q^{c}\implies a\cdot b\in Q^{c}}$ 
• El cociente entre un racional no nulo y un irracional, es un número irracional:${\displaystyle a\in Q;b\in Q^{c}\implies a\cdot b^{-1}={\frac {a}{b}}\in Q^{c}}$ 
• El inverso de un número irracional es número irracional:${\displaystyle a\in Q^{c}\implies a^{-1}\in Q^{c}}$ 
• Sea un binomio, formado por un racional más un radical de segundo orden, o la suma de dos radicales de segundo orden, que es irracional. Entonces su conjugado es irracional.
• Los valores de logaritmos vulgares o naturales y los valores de las razones trigonométricas, la inmensa mayoría no numerable, son irracionales.
• El número de Gelfond (2^√2) es un número irracional trascendente^[6]​
• La raíz cuadrada de un número natural no cuadrado perfecto es un número irracional; también lo es la raíz enésima de un natural p que no es potencia enésima perfecta.
• Entre dos racionales distintos, existe por lo menos, un número irracional^[7]​
• Las razones trigonométricas de un ángulo son irracionales, excepcionalmente, una de ellas en el caso de que dos de los lados del triángulo rectángulo sean racionales.^[7]​
• La medida de Lebesgue de cualquier intervalo cerrado del tipo ${\displaystyle \scriptstyle [a,b]\cap \mathbb {I} \subset \mathbb {R} }$  es igual a la medida b-a. Eso implica que si existiera un procedimiento para seleccionar al azar un número de dicho intervalo, con probabilidad 1 el número obtenido sería irracional.
• Cualquier número irracional que está en un intervalo abierto de números reales es punto de acumulación de los números reales de tal intervalo, como de los números irracionales del mismo. Por ejemplo: √5 es punto de acumulación de los números reales del intervalo K = <1;4>, como también de los números irracionales de K.^[8]​
• El conjunto de los números irracionales es equivalente (tienen el mismo cardinal) al conjunto de los números reales.^[9]​

Véase también

• Número normal

Clasificación de los números Complejos ${\displaystyle :\;\mathbb {C} }$  Reales ${\displaystyle :\;\mathbb {R} }$  Racionales ${\displaystyle :\;\mathbb {Q} }$  Enteros ${\displaystyle :\;\mathbb {Z} }$  Naturales ${\displaystyle :\;\mathbb {N} }$  Cero: 0 Enteros negativos Fraccionarios Irracionales Imaginarios

Notas

1. Se supone que las raíces de una ecuación algebraica de quinto grado son números algebraicos, pero no siempre es posible representar por radicales: Galois y Abel.

Referencias

1. Arias Cabezas, José María; Maza Sáez, Ildefonso (2008). «Aritmética y Álgebra». En Carmona Rodríguez, Manuel; Díaz Fernández, Francisco Javier, eds. Matemáticas 1. Madrid: Grupo Editorial Bruño, Sociedad Limitada. p. 14. ISBN 9788421659854.  |fechaacceso= requiere |url= (ayuda)
2. Trejo, 1973
3. Rodriquez Macías, 1988, p. 2
4. Kalnin, 1988
5. Burton W. Jones, Teoría de los números, Editorial F. Trillas, México 1969
6. González y Mancill, 1962
7. Courant y John, 1996
8. Horvath, 1969
9. Kuratowski, 1966

Bibliografía

• Trejo, César A. (1973). El concepto de número (2ª edición). Washington. D.C.: Ediciones de OEA. 
• Rodríguez Macías, Raúl (1988). Cálculo diferencial e integral. La Habana: Editorial Pueblo y Educación. 
• Kalnin, R.A. (1988). Álgebra y funciones elementales. Moscú: Editorial Mir. 
• Courant, Richard; John, Fritz (1996). Introducción al cálculo y al análisis matemático 1. Limusa. ISBN 9681806409. 
• González, M.O.; Mancill, J.D. (1962). Álgebra elemental moderna 1. Buenos Aires: Kapeluz. 
• Horvath, Juan (1969). Introducción a la topología general. Washington D.C.: Programa Regional de Desarrollo Científico Tecnológico, Departamentos de Asuntos Científicos, Secretaría General de la OEA. 
• Kuratowski, Kazimierz (1966). Introducción a la Teoría de Conjuntos y a la Topología. Vicens-Vives. 

Enlaces externos

•   Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre número irracional.
• Números Irracionales Más información sobre números irracionales

•   Datos: Q607728
•   Multimedia: Irrational numbers