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Número e

La constante matemática es uno de los números irracionales y los números trascendentes más importantes.[1]​ Es aproximadamente 2,71828 [2]​y aparece en diversas ramas de las Matemáticas, al ser la base de los logaritmos naturales y formar parte de las ecuaciones del interés compuesto y otros muchos problemas.

Diez mil primeras cifras decimales del número en formato cartel

El número , conocido en ocasiones como número de Euler o constante de Napier, fue reconocido y utilizado por primera vez por el matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo en el cálculo matemático.

Juega un papel importante en el cálculo y en el análisis matemático, en la definición de la función más importante de la matemática,[3]​ la función exponencial, así como lo es de la geometría y el número del análisis complejo y del álgebra.

El número , al igual que el número y el número áureo (φ), es un número irracional, no expresable mediante una razón de dos números enteros; o bien, no puede ser representado por un numeral decimal exacto o un decimal periódico. Además, también como , es un número trascendente, es decir, que no puede ser raíz de ecuación algebraica alguna con coeficientes racionales.[4]​ El valor de truncado a sus primeras cifras decimales es el siguiente:

Lista de númerosNúmeros irracionales
γ-- ζ(3)235φα – e – πδτ
Binario 10.10110111111000010101…
Decimal 2.718281828459045235360…
Hexadecimal 2.B7E151628AED2A6B…
Fracción continua
Nótese que la fracción continua no es periódica.

Historia

 
Leonhard Euler popularizó el uso de la letra e para representar la constante; además fue el descubridor de numerosas propiedades referentes a ella.

A diferencia de  , la introducción del número   en la matemática es relativamente reciente, lo cual tiene sentido si se considera que este último tuvo un origen analítico y no geométrico, como el primero. En las palabras de Eli Maor:[5]

The story of   has been extensively told, no doubt because its history goes back to ancient times, but also because much of it can be grasped without a knowledge of advanced mathematics. Perhaps no book did better than Petr Beckmann's A History of Pi, a model of popular yet clear and precise exposition. The number e fared less well. Not only is it of more modern vintage, but its history is closely associated with the calculus, the subject that is traditionally regarded as the gate to "higher" mathematics.
La historia de   ha sido extensivamente contada, sin duda no solo porque su historia se trae desde tiempos antiguos, sino también porque mucho de él puede ser entendido sin un conocimiento avanzado de las matemáticas. Quizá ningún libro fue mejor que Historia de Pi de Petr Beckmann, un modelo de exposición popular pero también claro y preciso. Al número e no le fue tan bien. No solo es de una época más moderna, sino también que su historia está cercanamente asociada con el cálculo, el tema que es tradicionalmente visto como la puerta hacia matemáticas "más elevadas".

Las primeras referencias a la constante fueron publicadas en 1618 en la tabla en un apéndice de un trabajo sobre logaritmos de John Napier.[6]​ No obstante, esta tabla no contenía el valor de la constante, sino que era simplemente una lista de logaritmos naturales calculados a partir de esta. Se cree que la tabla fue escrita por William Oughtred. Unos años más tarde, en 1624,   se ve nuevamente involucrado en la literatura matemática, aunque no del todo. Ese año, Briggs dio una aproximación numérica a los logaritmos en base 10, pero no mencionó al número   explícitamente en su trabajo.

La siguiente aparición de   es algo dudosa. En 1647, Saint-Vincent calculó el área bajo la hipérbola rectangular. Si reconoció la conexión con los logaritmos es una cuestión abierta a debate, e incluso si lo hizo, no hubo razón para que tratara con   explícitamente. Quien sí comprendió la relación entre la hipérbola rectangular y el logaritmo fue Huygens allá por 1661, al estudiar el problema del área bajo la curva  . El número   es aquel valor de abscisa a tomar para que el área bajo esta curva a partir de 1 sea igual a 1. Esta es la propiedad que hace que   sea la base de los logaritmos naturales, y si bien no era comprendida del todo por los matemáticos de aquel entonces, de a poco iban acercándose a su comprensión.

Sin embargo, y tal vez inesperadamente, no es a través de los logaritmos que   es descubierto, sino del estudio del interés compuesto, problema abordado por Jacob Bernoulli en 1683. Si se invierte una Unidad Monetaria (que abreviaremos en lo sucesivo como UM) con un interés del 100% anual y se pagan los intereses una vez al año, se obtendrán 2 UM. Si se pagan los intereses 2 veces al año, dividiendo el interés entre 2, la cantidad obtenida es 1 UM multiplicado por 1,5 dos veces, es decir 1 UM x 1,502 = 2,25 UM. Si dividimos el año en 4 períodos (trimestres), al igual que la tasa de interés, se obtienen 1 UM x 1,254 = 2,4414… En caso de pagos mensuales el monto asciende a 1 UM x   = 2,61303…UM. Por tanto, cada vez que se aumenta la cantidad de períodos de pago en un factor de n (que tiende a crecer sin límite) y se reduce la tasa de interés en el período, en un factor de  , el total de unidades monetarias obtenidas estará dado por la siguiente expresión:

 

Bernoulli utilizó el teorema del binomio para mostrar que dicho límite se encontraba entre 2 y 3. Se puede considerar esta la primera aproximación encontrada para  . Incluso si aceptamos esta como una definición de  , sería la primera vez que un número se define como un proceso de límite. Con seguridad, Bernoulli no reconoció ninguna conexión entre su trabajo y los logaritmos. De aquí proviene la definición que se da de   en finanzas, que expresa que este número es el límite de una inversión de 1 UM con una tasa de interés al 100% anual compuesto en forma continua. En forma más general, una inversión que se inicia con un capital C y una tasa de interés anual R, proporcionará   UM con interés compuesto.

El primer uso conocido de la constante, representado por la letra b, fue en una carta de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens en 1690 y 1691. Leonhard Euler comenzó a utilizar la letra e para identificar la constante en 1727, y el primer uso de   en una publicación fue en Mechanica, de Euler, publicado en 1736. Mientras que en los años subsiguientes algunos investigadores usaron la letra c,   fue la más común, y finalmente se convirtió en la terminología usual. Euler realizó varios aportes en relación a   en los años siguientes, pero no fue hasta 1748 cuando publicó su Introductio in analysin infinitorum que dio un tratamiento definitivo a las ideas sobre  . Allí mostró que

 

y dio una aproximación para   de 18 cifras decimales, sin mostrar cómo la obtuvo. También dio su expresión como fracción continua reconociendo el patrón que sigue dicha expresión. Fue esta caracterización la que le sirvió de base para concluir que   es un número irracional, y la mayor parte de la comunidad acepta que Euler fue el primero en probar esta propiedad.

La pasión que guió a mucha gente a calcular más y más cifras decimales de   nunca pareció replicarse de la misma manera para  . Sin embargo, algunos se embarcaron en la tarea de calcular su expansión decimal y el primero en contribuir con esto fue William Shanks en 1854. Vale la pena destacar que Shanks fue un entusiasta aún mayor del cálculo de los decimales de  . James Whitbread Lee Glaisher mostró que los primeros 137 lugares de Shanks para el cálculo de   eran correctos, pero encontró un error que, tras ser corregido por el propio Shanks, arrojó cifras decimales de e hasta el lugar 205. De hecho, se necesita alrededor de 120 términos de 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … para obtener 200 decimales.

Expansiones decimales aún mayores siguieron con los trabajos de Boorman en 1884, quien calculó 346 lugares y halló que su cómputo coincidía con el de Shanks hasta el lugar 187, pero luego divergían. En 1887 Adams estimó el logaritmo de   en base 10 con 272 cifras exactas.

En 1873, Charles Hermite (1822-1905) logró demostrar que   es trascendente. A dicho logro llegó usando un polinomio, conseguido con ayuda de fracciones continuas empleadas, anteriormente, por Lambert. David Hilbert (también Karl Weierstrass y otros), propuso posteriormente variantes y modificaciones de las primeras demostraciones.[7]

Definición

 
El área entre el eje x y la gráfica y = 1/x, entre x = 1 y x = e es 1.

La definición más común de   es como el valor límite de la sucesión  .[8]​ En símbolos,

 

A veces se toma también como punto de partida, resultado de aplicar el teorema del binomio, la serie siguiente:

 

que se expande como

 

Otra definición habitual[9]​ dada a través del cálculo integral es como solución de la ecuación

 

es decir que se define   como el número para el que

 

Propiedades matemáticas y aplicaciones

Análisis matemático

Función exponencial

 

Para cualquier  , la sucesión   converge. Podemos denotar dicho límite con  :

 

Se llama función exponencial a la función real cuya variable independiente recorre el conjunto   de los números reales, y se define como

 

El rasgo más relevante de la función exponencial es que su función derivada (que existe en todo punto) coincide con la propia función, es decir,

 

Además, es la única función no idénticamente nula (a menos de multiplicación por constantes) con esta propiedad. Esto hace de la exponencial la función más importante del análisis matemático, y en particular para las ecuaciones diferenciales.

El desarrollo en serie de la función   se realiza mediante la fórmula de Maclaurin. Puesto que

 
 

la fórmula de Maclaurin se escribe de la siguiente manera:

 

Suponiendo x=1, se obtiene el valor aproximado del número

 

Donde ≈ se entiende como un valor aproximado.[10]

Problema de Steiner

 
El máximo global de   ocurre en  .

Este problema plantea encontrar el máximo absoluto de la función

 

Este máximo se da precisamente en  .[11]

Asimismo,   es el mínimo absoluto de la función

 

definida para  . Más en general, la función

 

alcanza su máximo global en   para  ; y el mínimo global se encuentra en   para  .

La tetración infinita

  o  

converge si y solo si  , por un teorema de Leonhard Euler.[12][13]

Números complejos

 
Representación geométrica de la fórmula de Euler

El número   presenta en la fórmula de Euler un papel importante relacionado con los números complejos:

 

El caso especial con   es conocido como identidad de Euler o fórmula mística de Euler

 

de lo que se deduce que:

 

Además, utilizando las leyes de la exponenciación, se obtiene:

 

que es la fórmula de De Moivre.

Esta fórmula llegó como una revelación a Benjamin Peirce, profesor de Harvard, quien la expuso ante sus alumnos, y manifestó su reconocimiento ante la maravillosa conexión de los cinco números más famosos de toda la matemática.[14]

Probabilidad y estadística

El número e también aparece en aplicaciones a la teoría de probabilidades. Un ejemplo es el problema de los desarreglos, descubierto en parte por Jacob Bernoulli junto con Pierre Raymond de Montmort, también conocido como el problema de los sombreros:[15]​ los n invitados a una fiesta dejan a la entrada sus sombreros con el mayordomo, quien los coloca luego en n compartimentos, cada uno con el nombre de uno de los invitados. Pero el mayordomo no conoce la identidad de los invitados, y entonces coloca los sombreros en los compartimentos al azar. El problema de De Montmort es encontrar la probabilidad de que ninguno de los sombreros sea colocado en el compartimento correcto. La respuesta es:

 

A medida que el número n de invitados tiende a infinito, P(n) se aproxima a 1/e. Más aún, el número de maneras en que se pueden colocar los sombreros en los compartimentos de forma que ninguno corresponda a su dueño es n!/e redondeado al entero más cercano, para cada positivo n.[16]​ El resultado anterior puede reformularse de la siguiente manera: sea   la probabilidad de que una función aleatoria del conjunto 1, 2, ..., n en sí mismo tenga al menos un punto fijo. Entonces

 

Otra aparición de   en la probabilidad es en el siguiente problema: se tiene una secuencia infinita de variables aleatorias X1, X2…, con distribución uniforme en [0,1]. Sea V el menor entero n tal que la suma de las primeras n observaciones es mayor que 1:

 

Luego,  .[17]​ Este resultado permite estimar el valor de la constante por medio de simulaciones aleatorias.[18]

Sin embargo, el papel más relevante que juega el número   en esta rama de la matemática viene dado a través de la función de densidad de probabilidad para la distribución normal con media μ y desviación estándar σ, que depende de la integral gaussiana:[19]

 

El rol de esta distribución es central en la teoría y la práctica.

Teoría de Números

Las siguientes dos relaciones son corolarios directos del teorema de los números primos[20]

 

donde   es n-esimo primo y   es el primorial del n-esimo primo.

 

donde   la función contadora de primos.

Geometría

 
Espiral equiangular de ángulo α

Al igual que  ,   puede interpretarse como un cociente entre cantidades ligadas a cierta curva del plano. Consideremos una curva con la propiedad de que cualquier semirrecta que nace en el origen corta a esta formando un ángulo de   radianes (existen instrumentos que permiten trazar curvas con esta característica).[21][22]​ Si tomamos dos puntos cualesquiera de la curva   con una separación angular de 1 radián, y   entonces se tiene

 

Esta construcción puede parecer forzada por el hecho de requerir medir un radián, sin embargo, esto puede conseguirse muy fácilmente si permitimos la operación de deslizar una circunferencia sobre una recta (operación más que usual dentro del conjunto de curvas mecánicas). La curva con la propiedad anteriormente señalada es un caso especial de espiral logarítmica o equiangular, y puede probarse fácilmente que a partir de su condición de «equiangularidad», su ecuación en coordenadas polares   viene dada por

 

Más generalmente, si la curva es cortada formando un ángulo  , entonces su expresión en coordenadas polares es

 

Otra manifestación relevante de e en la geometría se da con la catenaria. La catenaria es la curva cuya forma es adoptada por una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la gravedad. Queda determinada por la posición de sus extremos y su longitud.

Irracionalidad y trascendencia

El número real   es irracional,[23]​ lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros, como demostró Euler en 1737. En su demostración, Euler se valió de la representación de e como fracción continua, que al ser infinita, no puede corresponder a un número racional. Sin embargo, la demostración más conocida fue dada por Fourier, y se basa en el desarrollo en serie del número. J. H. Lambert probó en 1768 que   es irracional si   es un racional positivo.

También es un trascendente, es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros (ver Teorema de Lindemann–Weierstrass). Fue el primer número trascendente que fue probado como tal, sin haber sido construido específicamente para tal propósito (comparar con el número de Liouville). La demostración de esto fue dada por Charles Hermite en 1873.[24]​ Se cree que e además es un número normal.

Fórmulas que contienen al número e

A continuación, se exhiben varias fórmulas que involucran de diversas formas a  :

 [25]
 
 
 
 

la cual se obtiene de la identidad  

 
 

Identidad de Euler o fórmula mística de Euler

 

Fórmula de Stirling:

 

Fórmula de Gosper:

 

Representaciones de e

El número   puede ser representado como un número real en varias formas: como serie infinita, como producto infinito, como fracción continua o como límite de una sucesión.

Como límite

La principal de estas representaciones, particularmente en los cursos básicos de cálculo, es la propia definición de  , es decir, el límite:

 

En 1975, el suizo Felix A. Keller obtuvo el límite simétrico:[26][27]

 

De la fórmula de Stirling se obtiene

  y
 .[28]

Se mostró también que

 

donde   es enésimo primo y   es el primorial del enésimo primo.

 

donde   la función contadora de primos.

Como serie o suma infinita

 
 
 
 
  donde   es el  -esimo número de Bell.

Algunos ejemplos de esta última caracterización:

 
 
 
 
 
 

Como producto infinito

El número   puede expresarse también mediante productos infinitos «del tipo Wallis» de diversas formas,[29]​ incluyendo el producto de Pippenger[30][31]

 

el producto de Catalán

 

y el producto de Guillera[32][33]

 

donde el n-ésimo factor es la n-ésima raíz del producto

 

como también el producto infinito

 

Como fracción continua

El desarrollo decimal de e no muestra regularidad alguna. Sin embargo, con las fracciones continuas, que pueden ser normalizadas (con los numeradores todos iguales a 1) o no, obtenemos, en fracción continua normalizada:

 

lo que se escribe  , propiedad descubierta por Leonhard Euler[34]​ (A003417 en OEIS). En fracción continua no normalizada se tiene

 

En ambos casos, e presenta regularidades no fortuitas.

Dígitos conocidos

El número de dígitos conocidos de e ha aumentado enormemente durante las últimas décadas. Esto es debido tanto al aumento del desempeño de las computadoras como también a la mejora de los algoritmos utilizados.[35][36]​ En 1949, J. von Neumann y su grupo utilizaron el ENIAC para obtener 2010 decimales. D. Shanks y J.W. Wrench hallaron hasta 100.265 en 1961 con la fórmula de Euler con un IBM 7090. Se emplearon 2,5 horas. Ya para 1994, R. Nemiroff y J. Bonnell habían llegado a 10.000.000 de decimales.

En las últimas décadas, los ordenadores fueron capaces de obtener números que poseen una inmensa cantidad de decimales. Así, por ejemplo, en el año 2000, utilizando el programa de cálculo PiFast33 en un ordenador Pentium III 800, se obtuvieron 12 884 901 000 cifras decimales, para lo que se necesitaron 167 horas.

Número de dígitos decimales conocidos de  
Fecha Cantidad de cifras Realizador del cálculo
1690 1 Jacob Bernoulli
1714 13 Roger Cotes[37]
1748 23 Leonhard Euler[38]
1853 137 William Shanks[39]
1871 205 William Shanks[40]
1884 346 J. Marcus Boorman[41]
1949 2,010 John von Neumann (on the ENIAC)
1961 100,265 Daniel Shanks and John Wrench[42]
1978 116,000 Steve Wozniak on the Apple II[43]
1994 10 000 000 Robert Nemiroff y Jerry Bonnell[44]
Mayo de 1997 18 199 978 Patrick Demichel
Agosto de 1997 20 000 000 Birger Seifert
Septiembre de 1997 50 000 817 Patrick Demichel
Febrero de 1999 200 000 579 Sebastián Wedeniwski
Octubre de 1999 869 894 101 Sebastián Wedeniwski
21 de noviembre de 1999 1 250 000 000 Xavier Gourdon
10 de julio de 2000 2 147 483 648 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
16 de julio de 2000 3 221 225 472 Colin Martin y Xavier Gourdon
2 de agosto de 2000 6 442 450 944 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
16 de agosto de 2000 12 884 901 000 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
21 de agosto de 2003 25 100 000 000 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
18 de septiembre de 2003 50 100 000 000 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
27 de abril de 2007 100 000 000 000 Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo
6 de mayo de 2009 200 000 000 000 Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo
21 de febrero de 2010 500 000 000 000 Alexander J. Yee[45]
5 de julio de 2010 1 000 000 000 000 Shigeru Kondo y Alexander J. Yee
24 de junio de 2015 1 400 000 000 000 Matthew Hebert[46]

En la época computacional del cálculo de e las cifras se han disparado, no solo debido a la potencia de cálculo que estas máquinas son capaces de generar, sino también por el prestigio que conlleva para el constructor de la máquina cuando su marca aparece en la lista de los récords.

Primeras cien cifras decimales

Las cien primeras cifras de   son:

                   

Cuestiones abiertas sobre

  • No se sabe si   es simplemente normal en base 10 (o alguna otra base). Esto es, que cada uno de los diez dígitos del sistema decimal tenga la misma probabilidad de aparición en una expansión decimal.
  • No se sabe si   es trascendente
  • No se sabe si   y   son irracionales. Se sabe que no son raíces de polinomios de grado inferior a nueve y con coeficientes enteros del orden 109.[47][48]

Véase también

Referencias

  • El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en español bajo la licencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0.
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  9. Esta forma de definir la función logaritmo natural, el número e, la función exponencial, etc. puede encontrarse en Cálculo Infinitesimal 2.ª edición, cap. 17 (p. 465) de Michael Spivak, Reverté o en Calculus 2.ª edición, cap. 6 (p. 277) de Tom Apostol, Reverté.
  10. V. S. Shipachev. Op. cit.
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Bibliografía

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Enlaces externos

  • Descubriendo el número e: el número e como límite de una determinada sucesión.
  •   Wikimedia Commons alberga una galería multimedia sobre Número e.
  • Las primeras diez mil cifras decimales del número e
  • Un millón de cifras del número e.
  • Fórmula para el cálculo de límites de sucesiones del tipo 1 elevado a infinito
  • Programa para el cálculo de e y de otro gran número de constantes (en inglés)
  •   Approximations – Wolfram MathWorld
  • http://www.numberworld.org/misc_runs/e-500b.html


  •   Datos: Q82435
  •   Multimedia: E (mathematical constant)

número, este, artículo, trata, sobre, constante, matemática, para, código, aditivos, alimentarios, véase, número, constante, matemática, displaystyle, text, números, irracionales, números, trascendentes, más, importantes, aproximadamente, 71828, aparece, diver. Este articulo trata sobre la constante matematica Para el codigo de aditivos alimentarios vease Numero E La constante matematica e displaystyle text e es uno de los numeros irracionales y los numeros trascendentes mas importantes 1 Es aproximadamente 2 71828 2 y aparece en diversas ramas de las Matematicas al ser la base de los logaritmos naturales y formar parte de las ecuaciones del interes compuesto y otros muchos problemas Diez mil primeras cifras decimales del numero e displaystyle text e en formato cartel El numero e displaystyle text e conocido en ocasiones como numero de Euler o constante de Napier fue reconocido y utilizado por primera vez por el matematico escoces John Napier quien introdujo el concepto de logaritmo en el calculo matematico Juega un papel importante en el calculo y en el analisis matematico en la definicion de la funcion mas importante de la matematica 3 la funcion exponencial asi como p displaystyle pi lo es de la geometria y el numero i displaystyle i del analisis complejo y del algebra El numero e displaystyle text e al igual que el numero p displaystyle pi y el numero aureo f es un numero irracional no expresable mediante una razon de dos numeros enteros o bien no puede ser representado por un numeral decimal exacto o un decimal periodico Ademas tambien como p displaystyle pi es un numero trascendente es decir que no puede ser raiz de ecuacion algebraica alguna con coeficientes racionales 4 El valor de e displaystyle text e truncado a sus primeras cifras decimales es el siguiente e 2 718 281 828 459 045 235 360 displaystyle text e 2 718 281 828 459 045 235 360 Lista de numeros Numeros irracionalesg z 3 2 3 5 f a e p d tBinario 10 10110111111000010101 Decimal 2 718281828459045235360 Hexadecimal 2 B7E151628AED2A6B Fraccion continua 1 2 1 1 6 1 10 1 14 1 18 displaystyle 1 cfrac 2 1 cfrac 1 6 cfrac 1 10 cfrac 1 14 cfrac 1 18 ddots Notese que la fraccion continua no es periodica Indice 1 Historia 2 Definicion 3 Propiedades matematicas y aplicaciones 3 1 Analisis matematico 3 1 1 Funcion exponencial 3 1 2 Problema de Steiner 3 2 Numeros complejos 3 3 Probabilidad y estadistica 3 4 Teoria de Numeros 3 5 Geometria 3 6 Irracionalidad y trascendencia 3 7 Formulas que contienen al numero e 4 Representaciones de e 4 1 Como limite 4 2 Como serie o suma infinita 4 3 Como producto infinito 4 4 Como fraccion continua 4 5 Digitos conocidos 4 6 Primeras cien cifras decimales 5 Cuestiones abiertas sobre e displaystyle text e 6 Vease tambien 7 Referencias 8 Bibliografia 9 Enlaces externosHistoria Editar Leonhard Euler popularizo el uso de la letra e para representar la constante ademas fue el descubridor de numerosas propiedades referentes a ella A diferencia de p displaystyle pi la introduccion del numero e displaystyle text e en la matematica es relativamente reciente lo cual tiene sentido si se considera que este ultimo tuvo un origen analitico y no geometrico como el primero En las palabras de Eli Maor 5 The story of p displaystyle pi has been extensively told no doubt because its history goes back to ancient times but also because much of it can be grasped without a knowledge of advanced mathematics Perhaps no book did better than Petr Beckmann s A History of Pi a model of popular yet clear and precise exposition The number e fared less well Not only is it of more modern vintage but its history is closely associated with the calculus the subject that is traditionally regarded as the gate to higher mathematics La historia de p displaystyle pi ha sido extensivamente contada sin duda no solo porque su historia se trae desde tiempos antiguos sino tambien porque mucho de el puede ser entendido sin un conocimiento avanzado de las matematicas Quiza ningun libro fue mejor que Historia de Pi de Petr Beckmann un modelo de exposicion popular pero tambien claro y preciso Al numero e no le fue tan bien No solo es de una epoca mas moderna sino tambien que su historia esta cercanamente asociada con el calculo el tema que es tradicionalmente visto como la puerta hacia matematicas mas elevadas Las primeras referencias a la constante fueron publicadas en 1618 en la tabla en un apendice de un trabajo sobre logaritmos de John Napier 6 No obstante esta tabla no contenia el valor de la constante sino que era simplemente una lista de logaritmos naturales calculados a partir de esta Se cree que la tabla fue escrita por William Oughtred Unos anos mas tarde en 1624 e displaystyle text e se ve nuevamente involucrado en la literatura matematica aunque no del todo Ese ano Briggs dio una aproximacion numerica a los logaritmos en base 10 pero no menciono al numero e displaystyle text e explicitamente en su trabajo La siguiente aparicion de e displaystyle text e es algo dudosa En 1647 Saint Vincent calculo el area bajo la hiperbola rectangular Si reconocio la conexion con los logaritmos es una cuestion abierta a debate e incluso si lo hizo no hubo razon para que tratara con e displaystyle text e explicitamente Quien si comprendio la relacion entre la hiperbola rectangular y el logaritmo fue Huygens alla por 1661 al estudiar el problema del area bajo la curva y x 1 displaystyle yx 1 El numero e displaystyle text e es aquel valor de abscisa a tomar para que el area bajo esta curva a partir de 1 sea igual a 1 Esta es la propiedad que hace que e displaystyle text e sea la base de los logaritmos naturales y si bien no era comprendida del todo por los matematicos de aquel entonces de a poco iban acercandose a su comprension Sin embargo y tal vez inesperadamente no es a traves de los logaritmos que e displaystyle text e es descubierto sino del estudio del interes compuesto problema abordado por Jacob Bernoulli en 1683 Si se invierte una Unidad Monetaria que abreviaremos en lo sucesivo como UM con un interes del 100 anual y se pagan los intereses una vez al ano se obtendran 2 UM Si se pagan los intereses 2 veces al ano dividiendo el interes entre 2 la cantidad obtenida es 1 UM multiplicado por 1 5 dos veces es decir 1 UM x 1 502 2 25 UM Si dividimos el ano en 4 periodos trimestres al igual que la tasa de interes se obtienen 1 UM x 1 254 2 4414 En caso de pagos mensuales el monto asciende a 1 UM x 1 1 12 12 displaystyle 1 textstyle 1 over 12 12 2 61303 UM Por tanto cada vez que se aumenta la cantidad de periodos de pago en un factor de n que tiende a crecer sin limite y se reduce la tasa de interes en el periodo en un factor de 1 n displaystyle textstyle 1 over n el total de unidades monetarias obtenidas estara dado por la siguiente expresion lim n 1 1 n n displaystyle lim n to infty left 1 1 over n right n Bernoulli utilizo el teorema del binomio para mostrar que dicho limite se encontraba entre 2 y 3 Se puede considerar esta la primera aproximacion encontrada para e displaystyle text e Incluso si aceptamos esta como una definicion de e displaystyle text e seria la primera vez que un numero se define como un proceso de limite Con seguridad Bernoulli no reconocio ninguna conexion entre su trabajo y los logaritmos De aqui proviene la definicion que se da de e displaystyle text e en finanzas que expresa que este numero es el limite de una inversion de 1 UM con una tasa de interes al 100 anual compuesto en forma continua En forma mas general una inversion que se inicia con un capital C y una tasa de interes anual R proporcionara C e R displaystyle Ce R UM con interes compuesto El primer uso conocido de la constante representado por la letra b fue en una carta de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens en 1690 y 1691 Leonhard Euler comenzo a utilizar la letra e para identificar la constante en 1727 y el primer uso de e displaystyle text e en una publicacion fue en Mechanica de Euler publicado en 1736 Mientras que en los anos subsiguientes algunos investigadores usaron la letra c e displaystyle text e fue la mas comun y finalmente se convirtio en la terminologia usual Euler realizo varios aportes en relacion a e displaystyle text e en los anos siguientes pero no fue hasta 1748 cuando publico su Introductio in analysin infinitorum que dio un tratamiento definitivo a las ideas sobre e displaystyle text e Alli mostro que e 1 1 1 1 1 2 1 1 2 3 displaystyle text e 1 frac 1 1 frac 1 1 cdot 2 frac 1 1 cdot 2 cdot 3 cdots y dio una aproximacion para e displaystyle text e de 18 cifras decimales sin mostrar como la obtuvo Tambien dio su expresion como fraccion continua reconociendo el patron que sigue dicha expresion Fue esta caracterizacion la que le sirvio de base para concluir que e displaystyle text e es un numero irracional y la mayor parte de la comunidad acepta que Euler fue el primero en probar esta propiedad La pasion que guio a mucha gente a calcular mas y mas cifras decimales de p displaystyle pi nunca parecio replicarse de la misma manera para e displaystyle text e Sin embargo algunos se embarcaron en la tarea de calcular su expansion decimal y el primero en contribuir con esto fue William Shanks en 1854 Vale la pena destacar que Shanks fue un entusiasta aun mayor del calculo de los decimales de p displaystyle pi James Whitbread Lee Glaisher mostro que los primeros 137 lugares de Shanks para el calculo de e displaystyle text e eran correctos pero encontro un error que tras ser corregido por el propio Shanks arrojo cifras decimales de e hasta el lugar 205 De hecho se necesita alrededor de 120 terminos de 1 1 1 1 2 1 3 para obtener 200 decimales Expansiones decimales aun mayores siguieron con los trabajos de Boorman en 1884 quien calculo 346 lugares y hallo que su computo coincidia con el de Shanks hasta el lugar 187 pero luego divergian En 1887 Adams estimo el logaritmo de e displaystyle text e en base 10 con 272 cifras exactas En 1873 Charles Hermite 1822 1905 logro demostrar que e displaystyle text e es trascendente A dicho logro llego usando un polinomio conseguido con ayuda de fracciones continuas empleadas anteriormente por Lambert David Hilbert tambien Karl Weierstrass y otros propuso posteriormente variantes y modificaciones de las primeras demostraciones 7 Definicion Editar El area entre el eje x y la grafica y 1 x entre x 1 y x e es 1 La definicion mas comun de e displaystyle text e es como el valor limite de la sucesion 1 1 n n displaystyle 1 tfrac 1 n n 8 En simbolos e lim n 1 1 n n displaystyle text e lim n to infty left 1 1 over n right n A veces se toma tambien como punto de partida resultado de aplicar el teorema del binomio la serie siguiente e n 0 1 n displaystyle text e sum n 0 infty frac 1 n que se expande como e 1 0 1 1 1 2 1 3 displaystyle text e frac 1 0 frac 1 1 frac 1 2 frac 1 3 cdots Otra definicion habitual 9 dada a traves del calculo integral es como solucion de la ecuacion 1 x d t t 1 displaystyle int 1 x frac dt t 1 es decir que se define e displaystyle text e como el numero para el que 1 e d t t 1 displaystyle int 1 e frac dt t 1 Propiedades matematicas y aplicaciones EditarAnalisis matematico Editar Funcion exponencial Editar Articulo principal Funcion exponencial Para cualquier x R displaystyle x in mathbb R la sucesion 1 x n n displaystyle left 1 tfrac x n right n converge Podemos denotar dicho limite con e x displaystyle text e x e x lim n 1 x n n displaystyle text e x lim n to infty left 1 x over n right n Se llama funcion exponencial a la funcion real cuya variable independiente recorre el conjunto R displaystyle mathbb R de los numeros reales y se define como f R R x e x displaystyle begin aligned f colon mathbb R amp to mathbb R x amp mapsto text e x end aligned El rasgo mas relevante de la funcion exponencial es que su funcion derivada que existe en todo punto coincide con la propia funcion es decir d d x e x e x displaystyle frac d dx e x e x Ademas es la unica funcion no identicamente nula a menos de multiplicacion por constantes con esta propiedad Esto hace de la exponencial la funcion mas importante del analisis matematico y en particular para las ecuaciones diferenciales El desarrollo en serie de la funcion f x e x displaystyle f x text e x se realiza mediante la formula de Maclaurin Puesto que f x f x f x f n 1 x e x displaystyle f x f x f x f n 1 x text e x f 0 f 0 f 0 f n 1 0 1 displaystyle f 0 f 0 f 0 f n 1 0 1 la formula de Maclaurin se escribe de la siguiente manera e x k 0 n f k 0 k x k R k x 1 x 1 x 2 2 x 3 3 x n n O x n 1 displaystyle text e x sum k 0 n frac f k 0 k x k R k x 1 frac x 1 frac x 2 2 frac x 3 3 frac x n n O x n 1 Suponiendo x 1 se obtiene el valor aproximado del numero e 1 1 1 1 2 1 3 1 n displaystyle text e approx 1 frac 1 1 frac 1 2 frac 1 3 frac 1 n Donde se entiende como un valor aproximado 10 Problema de Steiner Editar El maximo global de x x displaystyle sqrt x x ocurre en x e displaystyle x text e Este problema plantea encontrar el maximo absoluto de la funcion f x x 1 x displaystyle f x x 1 x Este maximo se da precisamente en e displaystyle text e 11 Asimismo 1 e displaystyle 1 text e es el minimo absoluto de la funcion f x x x displaystyle f x x x definida para x gt 0 displaystyle x gt 0 Mas en general la funcion f x x x n displaystyle f x x x n alcanza su maximo global en 1 e displaystyle 1 text e para n lt 0 displaystyle n lt 0 y el minimo global se encuentra en e 1 n displaystyle text e 1 n para n gt 0 displaystyle n gt 0 La tetracion infinita x x x displaystyle x x x cdot cdot cdot o x displaystyle infty x converge si y solo si e e x e 1 e displaystyle text e text e leq x leq text e 1 text e por un teorema de Leonhard Euler 12 13 Numeros complejos Editar Representacion geometrica de la formula de Euler El numero e displaystyle text e presenta en la formula de Euler un papel importante relacionado con los numeros complejos e i x cos x i sin x displaystyle text e ix cos x i sin x El caso especial con x p displaystyle x pi es conocido como identidad de Euler o formula mistica de Euler e i p 1 0 displaystyle text e i pi 1 0 de lo que se deduce que log e 1 i p displaystyle log e 1 i pi Ademas utilizando las leyes de la exponenciacion se obtiene cos x i sin x n e i x n e i n x cos n x i sin n x displaystyle cos x i sin x n left text e ix right n text e inx cos nx i sin nx que es la formula de De Moivre Esta formula llego como una revelacion a Benjamin Peirce profesor de Harvard quien la expuso ante sus alumnos y manifesto su reconocimiento ante la maravillosa conexion de los cinco numeros mas famosos de toda la matematica 14 Probabilidad y estadistica Editar El numero e tambien aparece en aplicaciones a la teoria de probabilidades Un ejemplo es el problema de los desarreglos descubierto en parte por Jacob Bernoulli junto con Pierre Raymond de Montmort tambien conocido como el problema de los sombreros 15 los n invitados a una fiesta dejan a la entrada sus sombreros con el mayordomo quien los coloca luego en n compartimentos cada uno con el nombre de uno de los invitados Pero el mayordomo no conoce la identidad de los invitados y entonces coloca los sombreros en los compartimentos al azar El problema de De Montmort es encontrar la probabilidad de que ninguno de los sombreros sea colocado en el compartimento correcto La respuesta es P n 1 1 1 1 2 1 3 1 n n k 0 n 1 k k displaystyle P n 1 frac 1 1 frac 1 2 frac 1 3 cdots frac 1 n n sum k 0 n frac 1 k k A medida que el numero n de invitados tiende a infinito P n se aproxima a 1 e Mas aun el numero de maneras en que se pueden colocar los sombreros en los compartimentos de forma que ninguno corresponda a su dueno es n e redondeado al entero mas cercano para cada positivo n 16 El resultado anterior puede reformularse de la siguiente manera sea P n displaystyle P n la probabilidad de que una funcion aleatoria del conjunto 1 2 n en si mismo tenga al menos un punto fijo Entonces lim n P n 1 1 e 0 6321205588 displaystyle lim n to infty P n 1 frac 1 e 0 6321205588 Otra aparicion de e displaystyle text e en la probabilidad es en el siguiente problema se tiene una secuencia infinita de variables aleatorias X1 X2 con distribucion uniforme en 0 1 Sea V el menor entero n tal que la suma de las primeras n observaciones es mayor que 1 N min n X 1 X 2 X n gt 1 displaystyle N min left n mid X 1 X 2 cdots X n gt 1 right Luego E N e displaystyle E N text e 17 Este resultado permite estimar el valor de la constante por medio de simulaciones aleatorias 18 Sin embargo el papel mas relevante que juega el numero e displaystyle text e en esta rama de la matematica viene dado a traves de la funcion de densidad de probabilidad para la distribucion normal con media m y desviacion estandar s que depende de la integral gaussiana 19 ϕ x 1 s 2 p e x m 2 2 s 2 displaystyle phi x 1 over sigma sqrt 2 pi text e x mu 2 2 sigma 2 El rol de esta distribucion es central en la teoria y la practica Teoria de Numeros Editar Las siguientes dos relaciones son corolarios directos del teorema de los numeros primos 20 e lim n p n p n displaystyle text e lim n to infty sqrt p n p n donde p n displaystyle p n es n esimo primo y p n displaystyle p n es el primorial del n esimo primo e lim n n p n n displaystyle text e lim n to infty n pi n n donde p n displaystyle pi n la funcion contadora de primos Geometria Editar Espiral equiangular de angulo a Al igual que p displaystyle pi e displaystyle text e puede interpretarse como un cociente entre cantidades ligadas a cierta curva del plano Consideremos una curva con la propiedad de que cualquier semirrecta que nace en el origen corta a esta formando un angulo de p 4 displaystyle pi 4 radianes existen instrumentos que permiten trazar curvas con esta caracteristica 21 22 Si tomamos dos puntos cualesquiera de la curva P 1 P 2 displaystyle P 1 P 2 con una separacion angular de 1 radian y r i dist P i O r 1 lt r 2 displaystyle r i operatorname dist P i O r 1 lt r 2 entonces se tiene r 2 r 1 e displaystyle frac r 2 r 1 text e Esta construccion puede parecer forzada por el hecho de requerir medir un radian sin embargo esto puede conseguirse muy facilmente si permitimos la operacion de deslizar una circunferencia sobre una recta operacion mas que usual dentro del conjunto de curvas mecanicas La curva con la propiedad anteriormente senalada es un caso especial de espiral logaritmica o equiangular y puede probarse facilmente que a partir de su condicion de equiangularidad su ecuacion en coordenadas polares r 8 displaystyle r theta viene dada por r 8 A e 8 8 R A gt 0 displaystyle r theta Ae theta qquad theta in mathbb R A gt 0 Mas generalmente si la curva es cortada formando un angulo 0 lt a p 2 displaystyle 0 lt alpha leq pi 2 entonces su expresion en coordenadas polares es r 8 A e cot a 8 displaystyle r theta Ae cot alpha cdot theta Otra manifestacion relevante de e en la geometria se da con la catenaria La catenaria es la curva cuya forma es adoptada por una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida unicamente a la fuerza de la gravedad Queda determinada por la posicion de sus extremos y su longitud Irracionalidad y trascendencia Editar Articulo principal Demostracion de que e es irracional El numero real e displaystyle text e es irracional 23 lo que significa que no puede expresarse como fraccion de dos numeros enteros como demostro Euler en 1737 En su demostracion Euler se valio de la representacion de e como fraccion continua que al ser infinita no puede corresponder a un numero racional Sin embargo la demostracion mas conocida fue dada por Fourier y se basa en el desarrollo en serie del numero J H Lambert probo en 1768 que e p q displaystyle text e p q es irracional si p q displaystyle tfrac p q es un racional positivo Tambien es un trascendente es decir que no es la raiz de ningun polinomio de coeficientes enteros ver Teorema de Lindemann Weierstrass Fue el primer numero trascendente que fue probado como tal sin haber sido construido especificamente para tal proposito comparar con el numero de Liouville La demostracion de esto fue dada por Charles Hermite en 1873 24 Se cree que e ademas es un numero normal Formulas que contienen al numero e Editar A continuacion se exhiben varias formulas que involucran de diversas formas a e displaystyle text e 1 e k 0 1 2 k 2 k displaystyle frac 1 text e sum k 0 infty frac 1 2k 2k 25 e k 0 4 k 3 2 2 k 1 2 k 1 displaystyle sqrt text e sum k 0 infty frac 4k 3 2 2k 1 2k 1 e 1 e 1 2 1 6 1 10 1 14 1 18 displaystyle frac text e 1 e 1 2 cfrac 1 6 cfrac 1 10 cfrac 1 14 cfrac 1 18 ddots e 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 9 1 1 1 1 displaystyle sqrt text e 1 cfrac 1 1 cfrac 1 1 cfrac 1 1 cfrac 1 5 cfrac 1 1 cfrac 1 1 cfrac 1 9 cfrac 1 1 cfrac 1 1 ddots 2 e 1 e 1 2 e 1 3 e 1 4 e 1 5 e 1 6 e 1 7 e 1 8 displaystyle 2 frac text e 1 text e 1 2 cdot frac text e 1 3 text e 1 4 cdot frac text e 1 5 text e 1 6 cdot frac text e 1 7 text e 1 8 cdots la cual se obtiene de la identidad ln 2 1 1 2 1 3 1 4 displaystyle ln 2 1 frac 1 2 frac 1 3 frac 1 4 cdots e 1 e 2 k 1 1 1 k 2 p 2 displaystyle text e frac 1 text e 2 prod k 1 infty left 1 frac 1 k 2 pi 2 right e 1 e 2 k 1 1 4 2 k 1 2 p 2 displaystyle text e frac 1 text e 2 prod k 1 infty left 1 frac 4 2k 1 2 pi 2 right Identidad de Euler o formula mistica de Euler e i p 1 0 displaystyle text e i pi 1 0 Formula de Stirling n 2 p n n e n displaystyle n approx sqrt 2 pi n left frac n text e right n Formula de Gosper p 2 12 e 3 k 1 1 k 2 cos 9 k p k 2 p 2 9 displaystyle frac pi 2 12 text e 3 sum k 1 infty frac 1 k 2 cos left frac 9 k pi sqrt k 2 pi 2 9 right Representaciones de e EditarEl numero e displaystyle text e puede ser representado como un numero real en varias formas como serie infinita como producto infinito como fraccion continua o como limite de una sucesion Como limite Editar La principal de estas representaciones particularmente en los cursos basicos de calculo es la propia definicion de e displaystyle text e es decir el limite e lim n 1 1 n n displaystyle text e lim n to infty left 1 frac 1 n right n En 1975 el suizo Felix A Keller obtuvo el limite simetrico 26 27 e lim n n 1 n 1 n n n n n 1 n 1 displaystyle text e lim n to infty left frac n 1 n 1 n n frac n n n 1 n 1 right De la formula de Stirling se obtiene e lim n n 2 p n n 1 n displaystyle text e lim n to infty n cdot left frac sqrt 2 pi n n right 1 n ye lim n n n n displaystyle text e lim n to infty frac n sqrt n n 28 Se mostro tambien que e lim n p n p n displaystyle text e lim n to infty sqrt p n p n donde p n displaystyle p n es enesimo primo y p n displaystyle p n es el primorial del enesimo primo e lim n n p n n displaystyle text e lim n to infty n pi n n donde p n displaystyle pi n la funcion contadora de primos Como serie o suma infinita Editar e 1 2 k 0 k 1 k displaystyle text e frac 1 2 sum k 0 infty frac k 1 k e 2 k 0 k 1 2 k 1 displaystyle text e 2 sum k 0 infty frac k 1 2k 1 e k 0 3 4 k 2 2 k 1 displaystyle text e sum k 0 infty frac 3 4k 2 2k 1 e k 0 3 k 2 1 3 k displaystyle text e sum k 0 infty frac 3k 2 1 3k e k 1 k n B n k displaystyle text e sum k 1 infty frac k n B n k donde B n displaystyle B n es el n displaystyle n esimo numero de Bell Algunos ejemplos de esta ultima caracterizacion e k 1 k 2 2 k displaystyle text e sum k 1 infty frac k 2 2 k e k 1 k 3 5 k displaystyle text e sum k 1 infty frac k 3 5 k e k 1 k 4 15 k displaystyle text e sum k 1 infty frac k 4 15 k e k 1 k 5 52 k displaystyle text e sum k 1 infty frac k 5 52 k e k 1 k 6 203 k displaystyle text e sum k 1 infty frac k 6 203 k e k 1 k 7 877 k displaystyle text e sum k 1 infty frac k 7 877 k dd Como producto infinito Editar El numero e displaystyle text e puede expresarse tambien mediante productos infinitos del tipo Wallis de diversas formas 29 incluyendo el producto de Pippenger 30 31 e 2 2 1 1 2 2 3 4 3 1 4 4 5 6 5 6 7 8 7 1 8 8 9 10 9 10 11 12 11 12 13 14 13 14 15 16 15 1 16 displaystyle text e 2 left frac 2 1 right 1 2 left frac 2 3 frac 4 3 right 1 4 left frac 4 5 frac 6 5 frac 6 7 frac 8 7 right 1 8 left frac 8 9 frac 10 9 frac 10 11 frac 12 11 frac 12 13 frac 14 13 frac 14 15 frac 16 15 right 1 16 cdots el producto de Catalan e 2 1 1 1 4 1 3 1 2 6 8 5 7 1 4 10 12 14 16 9 11 13 15 1 8 displaystyle text e left frac 2 1 right 1 1 left frac 4 1 cdot 3 right 1 2 left frac 6 cdot 8 5 cdot 7 right 1 4 left frac 10 cdot 12 cdot 14 cdot 16 9 cdot 11 cdot 13 cdot 15 right 1 8 cdots y el producto de Guillera 32 33 e 2 1 1 1 2 2 1 3 1 2 2 3 4 1 3 3 1 3 2 4 4 4 1 3 6 5 1 4 displaystyle text e left frac 2 1 right 1 1 left frac 2 2 1 cdot 3 right 1 2 left frac 2 3 cdot 4 1 cdot 3 3 right 1 3 left frac 2 4 cdot 4 4 1 cdot 3 6 cdot 5 right 1 4 cdots donde el n esimo factor es la n esima raiz del producto k 0 n k 1 1 k 1 n k displaystyle prod k 0 n k 1 1 k 1 n choose k como tambien el producto infinito e 2 2 ln 2 1 2 2 ln 2 1 2 ln 2 1 3 displaystyle text e frac 2 cdot 2 ln 2 1 2 cdots 2 ln 2 1 cdot 2 ln 2 1 3 cdots Como fraccion continua Editar El desarrollo decimal de e no muestra regularidad alguna Sin embargo con las fracciones continuas que pueden ser normalizadas con los numeradores todos iguales a 1 o no obtenemos en fraccion continua normalizada e 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 6 1 1 displaystyle text e 2 cfrac 1 1 cfrac 1 mathbf 2 cfrac 1 1 cfrac 1 1 cfrac 1 mathbf 4 cfrac 1 1 cfrac 1 1 cfrac 1 mathbf 6 cfrac 1 1 cdots lo que se escribe e 2 1 2 1 1 4 1 1 6 1 1 8 1 1 2n 1 1 displaystyle text e 2 1 textbf 2 1 1 textbf 4 1 1 textbf 6 1 1 textbf 8 1 1 ldots textbf 2n 1 1 ldots propiedad descubierta por Leonhard Euler 34 A003417 en OEIS En fraccion continua no normalizada se tiene e 2 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 displaystyle text e 2 frac 2 2 cfrac 3 3 cfrac 4 4 cfrac 5 5 cfrac 6 6 cfrac 7 7 cdots En ambos casos e presenta regularidades no fortuitas Digitos conocidos Editar El numero de digitos conocidos de e ha aumentado enormemente durante las ultimas decadas Esto es debido tanto al aumento del desempeno de las computadoras como tambien a la mejora de los algoritmos utilizados 35 36 En 1949 J von Neumann y su grupo utilizaron el ENIAC para obtener 2010 decimales D Shanks y J W Wrench hallaron hasta 100 265 en 1961 con la formula de Euler con un IBM 7090 Se emplearon 2 5 horas Ya para 1994 R Nemiroff y J Bonnell habian llegado a 10 000 000 de decimales En las ultimas decadas los ordenadores fueron capaces de obtener numeros que poseen una inmensa cantidad de decimales Asi por ejemplo en el ano 2000 utilizando el programa de calculo PiFast33 en un ordenador Pentium III 800 se obtuvieron 12 884 901 000 cifras decimales para lo que se necesitaron 167 horas Numero de digitos decimales conocidos de e displaystyle text e Fecha Cantidad de cifras Realizador del calculo1690 1 Jacob Bernoulli1714 13 Roger Cotes 37 1748 23 Leonhard Euler 38 1853 137 William Shanks 39 1871 205 William Shanks 40 1884 346 J Marcus Boorman 41 1949 2 010 John von Neumann on the ENIAC 1961 100 265 Daniel Shanks and John Wrench 42 1978 116 000 Steve Wozniak on the Apple II 43 1994 10 000 000 Robert Nemiroff y Jerry Bonnell 44 Mayo de 1997 18 199 978 Patrick DemichelAgosto de 1997 20 000 000 Birger SeifertSeptiembre de 1997 50 000 817 Patrick DemichelFebrero de 1999 200 000 579 Sebastian WedeniwskiOctubre de 1999 869 894 101 Sebastian Wedeniwski21 de noviembre de 1999 1 250 000 000 Xavier Gourdon10 de julio de 2000 2 147 483 648 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon16 de julio de 2000 3 221 225 472 Colin Martin y Xavier Gourdon2 de agosto de 2000 6 442 450 944 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon16 de agosto de 2000 12 884 901 000 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon21 de agosto de 2003 25 100 000 000 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon18 de septiembre de 2003 50 100 000 000 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon27 de abril de 2007 100 000 000 000 Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo6 de mayo de 2009 200 000 000 000 Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo21 de febrero de 2010 500 000 000 000 Alexander J Yee 45 5 de julio de 2010 1 000 000 000 000 Shigeru Kondo y Alexander J Yee24 de junio de 2015 1 400 000 000 000 Matthew Hebert 46 En la epoca computacional del calculo de e las cifras se han disparado no solo debido a la potencia de calculo que estas maquinas son capaces de generar sino tambien por el prestigio que conlleva para el constructor de la maquina cuando su marca aparece en la lista de los records Primeras cien cifras decimales Editar Las cien primeras cifras de e displaystyle text e son e 2 7182818284 displaystyle text e approx 2 7182818284 5904523536 displaystyle 5904523536 0287471352 displaystyle 0287471352 6624977572 displaystyle 6624977572 4709369995 displaystyle 4709369995 9574966967 displaystyle 9574966967 6277240766 displaystyle 6277240766 3035354759 displaystyle 3035354759 4571382178 displaystyle 4571382178 5251664274 displaystyle 5251664274 Cuestiones abiertas sobre e displaystyle text e EditarNo se sabe si e displaystyle text e es simplemente normal en base 10 o alguna otra base Esto es que cada uno de los diez digitos del sistema decimal tenga la misma probabilidad de aparicion en una expansion decimal No se sabe si e e displaystyle text e e es trascendente No se sabe si p e displaystyle pi e y p e displaystyle pi cdot e son irracionales Se sabe que no son raices de polinomios de grado inferior a nueve y con coeficientes enteros del orden 109 47 48 Vease tambien EditarDemostracion de la irracionalidad de e Funcion exponencial Lista de constantes matematicas Logaritmo Logaritmo de una matriz Numero irracional Numero p Numero trascendenteReferencias EditarEl contenido de este articulo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal publicada en espanol bajo la licencia Creative Commons Compartir Igual 3 0 Eves Howard Whitley 1969 An Introduction to the History of Mathematics Holt Rinehart amp Winston p 464 Garcia William Fernando Estrada Espiral 9 Editorial Norma ISBN 9789580481980 Consultado el 11 de octubre de 2019 Semenovich Piskunov 1979 Lima 1991 Maor Eli 12 de octubre de 2011 Recognition e The Story of a Number The Story of a Number Princeton University Press p 12 ISBN 9781400832347 O Connor John J Robertson Edmund F 2001 The number e en ingles MacTutor History of Mathematics archive Universidad 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decimales del numero e Un millon de cifras del numero e Formula para el calculo de limites de sucesiones del tipo 1 elevado a infinito Programa para el calculo de e y de otro gran numero de constantes en ingles e displaystyle text e Approximations Wolfram MathWorld http www numberworld org misc runs e 500b html The On line Encyclopedia of Integer Sequences Datos Q82435 Multimedia E mathematical constant Obtenido de https es wikipedia org w index php title Numero e amp oldid 136000099, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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, española, descargar, gratis, descargar gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, imagen, música, canción, película, libro, juego, juegos