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Notación posicional

La notación posicional es un sistema de numeración en el cual cada dígito posee un valor que depende de su posición relativa, la cual está determinada por la base, que es el número de dígitos necesarios para escribir cualquier número. Un ejemplo de numeración posicional es el habitualmente usado sistema decimal (base 10), necesitándose diez dígitos diferentes, los cuales deberán estar constituidos de un símbolo (grafema), cuyo valor en orden creciente es: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Para los números escritos en sistemas de bases menores, se usan solo los dígitos de menor valor; para los escritos con bases mayores que 10, se utilizan letras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, ...

Historia

El primer sistema de numeración posicional está documentado a comienzos del II milenio a. C. y fue utilizado por los eruditos de Babilonia. Posteriormente, a finales del I milenio a. C., lo emplearon los matemáticos chinos. Los sacerdotes astrónomos de la civilización maya lo usaron entre los siglos IV y IX de nuestra era: un sistema vigesimal con un dígito de valor cero, aunque con algunas peculiaridades que lo privaron de posibilidad operatoria.[1]

La civilización india es la cuna de la notación posicional que usamos, aunque fueron los árabes los que impulsaron la gran innovación, utilizando la notación numérica indostánica: un sistema decimal con un dígito de valor nulo: el cero. Leonardo de Pisa (Fibonacci) introdujo en Occidente este sistema en el siglo XI.

Por cuestiones técnicas, en informática se optó por un sistema numérico en base dos, utilizándose solo dos dígitos: 0 y 1, pero empleando la notación posicional por su gran simplicidad operativa.

Características

Utilizando la notación posicional, el mismo dígito 5 toma diferente valor en los números 5, 50 y 500. Esto es una consecuencia de la descomposición de números en múltiplos de factores bn, donde b es la base y n cualquier número entero.

De forma más intuitiva, se descomponen en unidades de distintos órdenes, de tal forma que b unidades de cualquier orden equivalen a una de un orden inmediatamente superior. El orden que sirve de guía es la unidad propiamente dicha (b0)

Por convenio, los dígitos en esta notación se escriben de izquierda a derecha (incluso en idiomas que normalmente escriben de derecha a izquierda), empezando por los órdenes superiores y acabando en la unidad como tal, marcando la carencia de unidades con un 0 (cero). Así, en sistema decimal:

 

Si existen órdenes menores que la unidad, se escribe una coma (, ') o un punto en determinados idiomas (.) para separarlos de las unidades, y se continúa escribiendo de mayor a menor, acabando con las unidades de menor orden.

 

Los números negativos se marcan con un signo menos delante:

 

Si es necesario especificar la base, se escribe como subíndice entre paréntesis (lógicamente, en base decimal):

 

Los números periódicos (que poseen un grupo de cifras que se repite) tienen infinitos órdenes cada vez más pequeños cuyos múltiplos siguen un patrón. Este grupo de cifras (llamado período) se puede escribir una vez y marcar con un arco en la parte superior, o indicando con puntos suspensivos que el número continúa:

 

de forma menos rigurosa:

 

En la práctica se suele usar esta última solución o directamente redondear o truncar el número.

Tabla de conversión entre bases numéricas

Binario

Base 3

Base 4

Base 5

Base 6

Base 7

Oct

Base 9

Dec

Base 11

Base 12

Base 13

Base 14

Base 15

Hex

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

10

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

11

10

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

100

11

10

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

101

12

11

10

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

110

20

12

11

10

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

111

21

13

12

11

10

7

7

7

7

7

7

7

7

7

1000

22

20

13

12

11

10

8

8

8

8

8

8

8

8

1001

100

21

14

13

12

11

10

9

9

9

9

9

9

9

1010

101

22

20

14

13

12

11

10

A

A

A

A

A

A

1011

102

23

21

15

14

13

12

11

10

B

B

B

B

B

1100

110

30

22

20

15

14

13

12

11

10

C

C

C

C

1101

111

31

23

21

16

15

14

13

12

11

10

D

D

D

1110

112

32

24

22

20

16

15

14

13

12

11

10

E

E

1111

120

33

30

23

21

17

16

15

14

13

12

11

10

F

10000

121

100

31

24

22

20

17

16

15

14

13

12

11

10

Algoritmos para cambio de base

Estos algoritmos se basan en la descomposición en factores de bn arriba mencionada. Por comodidad, todos los cálculos se hacen en base decimal, pero los cálculos funcionarían igual en cualquier otra base.

De base hexadecimal a base decimal

Simplemente multiplíquese cada dígito por la potencia dependiente, y después se evalúe el resultado como en una cuenta normal, en base decimal.

 

(recuérdese que B(16) = 11(10); E(16) = 14(10))

De base decimal a base hexadecimal

Divídase el número por su base hasta que ya no sea posible. Leyendo el primer cociente y los restos en orden inverso, se puede leer el número en la base foránea.

 
 

Para decimales, son necesarios algoritmos más complejos.

Ventajas de la notación posicional

Mediante la notación posicional decimal se puede escribir cualquier valor numérico entero con solo diez dígitos diferentes (tantos como indica la base), por muy grande o pequeño que sea, aunque es imprescindible un dígito de valor nulo, el cero, para poder operar fácilmente.

Referencias

  1. Ifrah, Geoges (1998): Historia universal de las cifras. Espasa Calpe S.A. IVÁN 84-239-9730-8 (pp. 740 y 781)
  •   Datos: Q1747853
  •   Multimedia: Positional numeral systems

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La notacion posicional es un sistema de numeracion en el cual cada digito posee un valor que depende de su posicion relativa la cual esta determinada por la base que es el numero de digitos necesarios para escribir cualquier numero Un ejemplo de numeracion posicional es el habitualmente usado sistema decimal base 10 necesitandose diez digitos diferentes los cuales deberan estar constituidos de un simbolo grafema cuyo valor en orden creciente es 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Para los numeros escritos en sistemas de bases menores se usan solo los digitos de menor valor para los escritos con bases mayores que 10 se utilizan letras 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D Indice 1 Historia 2 Caracteristicas 3 Algoritmos para cambio de base 3 1 De base hexadecimal a base decimal 3 2 De base decimal a base hexadecimal 4 Ventajas de la notacion posicional 5 ReferenciasHistoria EditarEl primer sistema de numeracion posicional esta documentado a comienzos del II milenio a C y fue utilizado por los eruditos de Babilonia Posteriormente a finales del I milenio a C lo emplearon los matematicos chinos Los sacerdotes astronomos de la civilizacion maya lo usaron entre los siglos IV y IX de nuestra era un sistema vigesimal con un digito de valor cero aunque con algunas peculiaridades que lo privaron de posibilidad operatoria 1 La civilizacion india es la cuna de la notacion posicional que usamos aunque fueron los arabes los que impulsaron la gran innovacion utilizando la notacion numerica indostanica un sistema decimal con un digito de valor nulo el cero Leonardo de Pisa Fibonacci introdujo en Occidente este sistema en el siglo XI Por cuestiones tecnicas en informatica se opto por un sistema numerico en base dos utilizandose solo dos digitos 0 y 1 pero empleando la notacion posicional por su gran simplicidad operativa Vease tambien sistema sexagesimalCaracteristicas EditarUtilizando la notacion posicional el mismo digito 5 toma diferente valor en los numeros 5 50 y 500 Esto es una consecuencia de la descomposicion de numeros en multiplos de factores bn donde b es la base y n cualquier numero entero De forma mas intuitiva se descomponen en unidades de distintos ordenes de tal forma que b unidades de cualquier orden equivalen a una de un orden inmediatamente superior El orden que sirve de guia es la unidad propiamente dicha b0 Por convenio los digitos en esta notacion se escriben de izquierda a derecha incluso en idiomas que normalmente escriben de derecha a izquierda empezando por los ordenes superiores y acabando en la unidad como tal marcando la carencia de unidades con un 0 cero Asi en sistema decimal 505 5 10 2 0 10 1 5 10 0 displaystyle 505 5 cdot 10 2 0 cdot 10 1 5 cdot 10 0 Si existen ordenes menores que la unidad se escribe una coma o un punto en determinados idiomas para separarlos de las unidades y se continua escribiendo de mayor a menor acabando con las unidades de menor orden 542 1 5 10 2 4 10 1 2 10 0 1 10 1 displaystyle 542 1 5 cdot 10 2 4 cdot 10 1 2 cdot 10 0 1 cdot 10 1 Los numeros negativos se marcan con un signo menos delante 542 1 5 10 2 4 10 1 2 10 0 1 10 1 displaystyle 542 1 5 cdot 10 2 4 cdot 10 1 2 cdot 10 0 1 cdot 10 1 Si es necesario especificar la base se escribe como subindice entre parentesis logicamente en base decimal 10 5 5 10 displaystyle 10 5 5 10 Los numeros periodicos que poseen un grupo de cifras que se repite tienen infinitos ordenes cada vez mas pequenos cuyos multiplos siguen un patron Este grupo de cifras llamado periodo se puede escribir una vez y marcar con un arco en la parte superior o indicando con puntos suspensivos que el numero continua 5 0 3 5 10 0 0 10 1 2 i gt 3 10 i displaystyle 5 0 widehat 3 5 cdot 10 0 0 cdot 10 1 sum 2 geqslant i gt infty 3 cdot 10 i de forma menos rigurosa 5 0333 5 10 0 0 10 1 3 10 2 3 10 3 3 10 4 displaystyle 5 0333 5 cdot 10 0 0 cdot 10 1 3 cdot 10 2 3 cdot 10 3 3 cdot 10 4 En la practica se suele usar esta ultima solucion o directamente redondear o truncar el numero Tabla de conversion entre bases numericasBinario Base 3 Base 4 Base 5 Base 6 Base 7 Oct Base 9 Dec Base 11 Base 12 Base 13 Base 14 Base 15 Hex 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 11 10 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 100 11 10 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 101 12 11 10 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 110 20 12 11 10 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 111 21 13 12 11 10 7 7 7 7 7 7 7 7 7 1000 22 20 13 12 11 10 8 8 8 8 8 8 8 8 1001 100 21 14 13 12 11 10 9 9 9 9 9 9 9 1010 101 22 20 14 13 12 11 10 A A A A A A 1011 102 23 21 15 14 13 12 11 10 B B B B B 1100 110 30 22 20 15 14 13 12 11 10 C C C C 1101 111 31 23 21 16 15 14 13 12 11 10 D D D 1110 112 32 24 22 20 16 15 14 13 12 11 10 E E 1111 120 33 30 23 21 17 16 15 14 13 12 11 10 F 10000 121 100 31 24 22 20 17 16 15 14 13 12 11 10Algoritmos para cambio de base EditarEstos algoritmos se basan en la descomposicion en factores de bn arriba mencionada Por comodidad todos los calculos se hacen en base decimal pero los calculos funcionarian igual en cualquier otra base De base hexadecimal a base decimal Editar Simplemente multipliquese cada digito por la potencia dependiente y despues se evalue el resultado como en una cuenta normal en base decimal 5B2 E 16 5 16 2 11 16 1 2 16 0 14 16 1 10 1280 176 2 0 875 10 1458 875 10 displaystyle mbox 5B2 E 16 5 cdot 16 2 11 cdot 16 1 2 cdot 16 0 14 cdot 16 1 10 1280 176 2 0 875 10 1458 875 10 recuerdese que B 16 11 10 E 16 14 10 De base decimal a base hexadecimal Editar Dividase el numero por su base hasta que ya no sea posible Leyendo el primer cociente y los restos en orden inverso se puede leer el numero en la base foranea 1458 16 2 91 16 11 5 displaystyle begin matrix 1458 amp underline 16 amp quad color Red 2 amp 91 amp underline 16 amp color Red 11 amp color Red 5 end matrix 5 11 2 5B2 16 displaystyle 5 11 2 rightarrow mbox 5B2 16 Para decimales son necesarios algoritmos mas complejos Ventajas de la notacion posicional EditarMediante la notacion posicional decimal se puede escribir cualquier valor numerico entero con solo diez digitos diferentes tantos como indica la base por muy grande o pequeno que sea aunque es imprescindible un digito de valor nulo el cero para poder operar facilmente Referencias Editar Ifrah Geoges 1998 Historia universal de las cifras Espasa Calpe S A IVAN 84 239 9730 8 pp 740 y 781 Datos Q1747853 Multimedia Positional numeral systemsObtenido de https es wikipedia org w index php title Notacion posicional amp oldid 137154173, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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