Notación multi-índice

La notación multi-índice es un tipo de abreviación usado en cálculo de varias variables y análisis funcional para escribir abreviadamente ciertas expresiones matemáticas. Esencialmente, un multi-índice ${\displaystyle \alpha \,}$ es una n-tupla de números enteros, cuya medida ${\displaystyle |\alpha |\,}$ viene dada por:

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n},\qquad |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\dots +\alpha _{n}}$

Se define ${\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\alpha _{2}!\dots \alpha _{n}!}$

Derivación

Los multi-índices son frecuentemente usados para resumir derivadas parciales de una función de n variables:

${\displaystyle D^{\alpha }f\equiv {\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}\,.}$ 

Polinomios

Los multi-índices pueden usarse para abreviar de manera sencilla la escritura de un monomio del anillo de polinomios ${\displaystyle K[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]}$ . La expresión ${\displaystyle X^{\alpha }}$ , escrita mediante multi-índice ${\displaystyle \alpha }$ , representa el monomio de n variables dado por

${\displaystyle X^{\alpha }\equiv X_{1}^{\alpha _{1}}X_{2}^{\alpha _{2}}\dots X_{n}^{\alpha _{n}}}$ .

•   Datos: Q6045524