En matemáticas, la notación flecha de Knuth es un método de notación para enteros muy grandes, introducido por Donald Knuth en 1976.[1] Está estrechamente relacionada con la función de Ackermann y especialmente a la sucesión de hiperoperaciones. La idea está basada en el hecho de que la multiplicación puede ser vista como una adición iterada y la potenciación como una multiplicacióniterada. Continuando de esta manera, se llega a la potenciación iterada (tetración) y al resto de la sucesión de hiperoperaciones, la cual es generalmente denotada usando la notación flecha de Knuth.
Introducción
Las operaciones aritméticas normales de adición, multiplicación, y potenciación es naturalmente extendida a una sucesión de hiperoperaciones como sigue.
La potenciación para un exponente natural se define como una multiplicación iterada, que Knuth denota por una sola flecha arriba:
Por ejemplo,
Para ampliar la secuencia de operaciones más allá de la potenciación, Knuth definió un operador "doble flecha" para denotar la potenciación iterada (tetración):
Por ejemplo,
Aquí y a continuación la evaluación se llevará a cabo de derecha a izquierda, así los operadores flecha de Knuth (como la potenciación) se definen como asociativos por derecha.
De acuerdo a esta definición,
etc.
Esto conduce ya a unos números bastante grandes, pero Knuth ampliado de la notación. Pasó a definir un operador "triple flecha" para tetración iterada (pentación):
seguido por un operador "cuádruple flecha" para definir la pentación iterada (hexación):
y así sucesivamente. La regla general es que un operador flecha se expande hacia una asociativa por derecha de la serie de ()operadores-flecha. Simbólicamente,
Ejemplos:
La notación se utiliza comúnmente para denotar con n flechas. De hecho, es a [n+2] b con hiperoperación. Por ejemplo, también puede ser escrito como 39 [4] 14, la "[4]" significa tetración, pero no igual a 39 [2] 14 = 39 × 14 = 546, del mismo modo, 77 [79] 77 en lugar de 77 [77] 77.
Notación
En expresiones como a , la notación de la potenciación es usualmente es por lo general escribir el exponente como superíndice de la base . Pero en muchos entornos — como en los lenguajes de programación y e-mails de texto plano — no son compatibles con composición tipográfica de superíndice. La gente ha adoptado la notación lineal para tales entornos; la flecha hacia arriba sugiere «elevado a» el exponente indicado. Si el juego de caracteres no contiene una flecha hacia arriba, el caret (^) se utiliza en su lugar.
La notación de superíndice no se presta bien a la generalización, lo que explica por qué Knuth eligió desarrollar la notación flecha en su lugar.
es una notación alternativa más corta para n flechas. Así .
Escribir la notación flecha en términos de potencias
Intentar escribir usando la familiar notación de superíndice da una torre de potencias.
Por ejemplo:
Si b es una variable (o es demasiado grande), la torre de potencias podría ser escrita utilizando puntos y una nota que indique la altura de la torre.
Continuando con esta notación, puede ser escrito con una pila de tales torres de potencias, cada uno describiendo el tamaño de la pila que está por encima de ella.
De nuevo, si b es una variable o es demasiado grande, la pila podría ser escrita utilizando puntos y una nota indicando su altura.
Por otra parte, podría escribirse usando varias columnas de dichas pilas de torres de potencias, cada columna describe el número de torres de potencias en la pila a su izquierda:
Referencias
Knuth, Donald E. (1976). «Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness». Science194 (4271): 1235-1242. PMID 17797067. doi:10.1126/science.194.4271.1235.
Datos:Q908427
Agosto 04, 2021
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En matematicas lanotacion flecha de Knuth es un metodo de notacion para enteros muy grandes introducido por Donald Knuth en 1976 1 Esta estrechamente relacionada con la funcion de Ackermann y especialmente a la sucesion de hiperoperaciones La idea esta basada en el hecho de que la multiplicacion puede ser vista como una adicion iterada y la potenciacion como una multiplicacion iterada Continuando de esta manera se llega a la potenciacion iterada tetracion y al resto de la sucesion de hiperoperaciones la cual es generalmente denotada usando la notacion flecha de Knuth Indice 1 Introduccion 2 Notacion 2 1 Escribir la notacion flecha en terminos de potencias 3 ReferenciasIntroduccion EditarLas operaciones aritmeticas normales de adicion multiplicacion y potenciacion es naturalmente extendida a una sucesion de hiperoperaciones como sigue La multiplicacion por un numero natural esta definida como una adicion iterada a b a a a b veces a displaystyle begin matrix a times b amp amp underbrace a a dots a amp amp b mbox veces a end matrix Por ejemplo 4 3 4 4 4 12 3 veces 4 displaystyle begin matrix 4 times 3 amp amp underbrace 4 4 4 amp amp 12 amp amp 3 mbox veces 4 end matrix La potenciacion para un exponente natural b displaystyle b se define como una multiplicacion iterada que Knuth denota por una sola flecha arriba a b a b a a a b veces a displaystyle begin matrix a uparrow b a b amp underbrace a times a times dots times a amp b mbox veces a end matrix Por ejemplo 4 3 4 3 4 4 4 64 3 veces 4 displaystyle begin matrix 4 uparrow 3 4 3 amp underbrace 4 times 4 times 4 amp amp 64 amp 3 mbox veces 4 end matrix Para ampliar la secuencia de operaciones mas alla de la potenciacion Knuth definio un operador doble flecha para denotar la potenciacion iterada tetracion a b b a a a a a a a b veces a b veces a displaystyle begin matrix a uparrow uparrow b amp b a amp underbrace a a a amp amp underbrace a uparrow a uparrow dots uparrow a amp amp b mbox veces a amp amp b mbox veces a end matrix Por ejemplo 4 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 256 1 34078079 10 154 3 veces 4 3 veces 4 displaystyle begin matrix 4 uparrow uparrow 3 amp 3 4 amp underbrace 4 4 4 amp amp underbrace 4 uparrow 4 uparrow 4 amp amp 4 256 amp approx amp 1 34078079 times 10 154 amp amp amp 3 mbox veces 4 amp amp 3 mbox veces 4 end matrix Aqui y a continuacion la evaluacion se llevara a cabo de derecha a izquierda asi los operadores flecha de Knuth como la potenciacion se definen como asociativos por derecha De acuerdo a esta definicion 3 2 3 3 27 displaystyle 3 uparrow uparrow 2 3 3 27 3 3 3 3 3 3 27 7625597484987 7 6 10 12 displaystyle 3 uparrow uparrow 3 3 3 3 3 27 7625597484987 approx 7 6 times 10 12 3 4 3 3 3 3 3 3 27 3 7625597484987 1 2580740420492718971 10 3638334640024 displaystyle 3 uparrow uparrow 4 3 3 3 3 3 3 27 3 7625597484987 approx 1 2580740420492718971 times 10 3638334640024 3 5 3 3 3 3 3 3 3 3 27 3 3 7625597484987 displaystyle 3 uparrow uparrow 5 3 3 3 3 3 3 3 3 27 3 3 7625597484987 etc Esto conduce ya a unos numeros bastante grandes pero Knuth ampliado de la notacion Paso a definir un operador triple flecha para tetracion iterada pentacion seguido por un operador cuadruple flecha para definir la pentacion iterada hexacion y asi sucesivamente La regla general es que un n displaystyle n operador flecha se expande hacia una asociativa por derecha de la serie de n 1 displaystyle n 1 operadores flecha Simbolicamente Ejemplos 3 2 3 3 3 3 3 3 27 7 625 597 484 987 displaystyle 3 uparrow uparrow uparrow 2 3 uparrow uparrow 3 3 3 3 3 27 7 625 597 484 987 La notacion a n b displaystyle a uparrow n b se utiliza comunmente para denotar a b displaystyle a uparrow uparrow dots uparrow b con n flechas De hecho a n b displaystyle a uparrow n b es a n 2 b con hiperoperacion Por ejemplo 39 14 displaystyle 39 uparrow uparrow 14 tambien puede ser escrito como 39 4 14 la 4 significa tetracion pero no igual a 39 2 14 39 14 546 del mismo modo 77 77 77 displaystyle 77 uparrow 77 77 77 79 77 en lugar de 77 77 77 Notacion EditarEn expresiones como a a b displaystyle a b la notacion de la potenciacion es usualmente es por lo general escribir el exponente b displaystyle b como superindice de la base a displaystyle a Pero en muchos entornos como en los lenguajes de programacion y e mails de texto plano no son compatibles con composicion tipografica de superindice La gente ha adoptado la notacion lineal a b displaystyle a uparrow b para tales entornos la flecha hacia arriba sugiere elevado a el exponente indicado Si el juego de caracteres no contiene una flecha hacia arriba el caret se utiliza en su lugar La notacion de superindice a b displaystyle a b no se presta bien a la generalizacion lo que explica por que Knuth eligio desarrollar la notacion flecha a b displaystyle a uparrow b en su lugar a n b displaystyle a uparrow n b es una notacion alternativa mas corta para n flechas Asi a 4 b a b displaystyle a uparrow 4 b a uparrow uparrow uparrow uparrow b Escribir la notacion flecha en terminos de potencias Editar Intentar escribir a b displaystyle a uparrow uparrow b usando la familiar notacion de superindice da una torre de potencias Por ejemplo a 4 a a a a a a a a displaystyle a uparrow uparrow 4 a uparrow a uparrow a uparrow a a a a a Si b es una variable o es demasiado grande la torre de potencias podria ser escrita utilizando puntos y una nota que indique la altura de la torre a b a a a b displaystyle a uparrow uparrow b underbrace a a a b Continuando con esta notacion a b displaystyle a uparrow uparrow uparrow b puede ser escrito con una pila de tales torres de potencias cada uno describiendo el tamano de la pila que esta por encima de ella a 4 a a a a a a a a a a a a a a displaystyle a uparrow uparrow uparrow 4 a uparrow uparrow a uparrow uparrow a uparrow uparrow a underbrace a a a underbrace a a a underbrace a a a a De nuevo si b es una variable o es demasiado grande la pila podria ser escrita utilizando puntos y una nota indicando su altura a b a a a a a a a b displaystyle a uparrow uparrow uparrow b left underbrace a a a underbrace a a a underbrace vdots a right b Por otra parte a b displaystyle a uparrow uparrow uparrow uparrow b podria escribirse usando varias columnas de dichas pilas de torres de potencias cada columna describe el numero de torres de potencias en la pila a su izquierda a 4 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a displaystyle a uparrow uparrow uparrow uparrow 4 a uparrow uparrow uparrow a uparrow uparrow uparrow a uparrow uparrow uparrow a left left left underbrace a a a underbrace a a a underbrace vdots a right underbrace a a a underbrace a a a underbrace vdots a right underbrace a a a underbrace a a a underbrace vdots a right a Referencias Editar Knuth Donald E 1976 Mathematics and Computer Science Coping with Finiteness Science 194 4271 1235 1242 PMID 17797067 doi 10 1126 science 194 4271 1235 Datos Q908427Obtenido de https es wikipedia org w index php title Notacion flecha de Knuth amp oldid 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