En geometría, el número de osculación es el máximo número de esferas de radio 1 que pueden tocar simultáneamente a la esfera unitaria en un espacio euclídeo n-dimensional. El problema del número de osculación pretende obtener el número de esferas como una función de n (dimensión del espacio).
Números de Osculación conocidos
El número de osculación en dimensión 1 es 2.
El número de osculación en dimensión 2 es 6.
En dimensión 1, el número de osculación es, de modo obvio, 2:
En dimensión 2, es sencillo ver y probar que el número de osculación es 6.
En dimensión 3 la respuesta ya no es tan sencilla. Podemos disponer fácilmente 12 esferas de modo que cada una esté en contacto con la central, pero queda mucho espacio libre entre unas y otras, de modo que no es obvio que no haya forma de colocar la esfera número 13. Este fue un tema de controversia entre los matemáticos Isaac Newton y David Gregory. Newton pensaba que el límite era 12 y Gregory que era 13. La cuestión no se resolvió hasta 1874: Newton tenía razón.[1]
En dimensión 4, durante un tiempo se ignoró si la solución era 24 o 25. En 2003, Oleg Musin probó que la solución correcta era 24.[2]
En dimensión n, con n > 4, se desconoce la respuesta excepto para n = 8 (240), y n = 24 (196560).[3][4]
Algunos límites conocidos
La tabla siguiente lista algunos de los límites conocidos de los números de osculación en varias dimensiones. Las dimensiones en las que se conocen los números de osculación están listadas en negrita.
Dimensión
Límite Mínimo
Límite Máximo
1
2
2
6
3
12
4
24
5
40
45
6
72
78
7
126
135
8
240
9
306
366
10
500
567
11
582
915
12
840
1,416
13
1,130
2,233
14
1,582
3,492
15
2,564
5,431
16
4,320
8,313
17
5,346
12,215
18
7,398
17,877
19
10,688
25,901
20
17,400
37,974
21
27,720
56,852
22
49,896
86,537
23
93,150
128,096
24
196,560
Referencias
Conway, John H.; Neil J.A. Sloane (1999). Sphere Packings, Lattices and Groups (3rd ed. edición). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN0-387-98585-9.La referencia utiliza el parámetro obsoleto |coautores= (ayuda)
Pfender, Florian; Ziegler, Günter M. (September 2004), «Kissing numbers, sphere packings, and some unexpected proofs», Notices of the American Mathematical Society: 873-883..
Levenshtein, V. I. Boundaries for packings in n-dimensional Euclidean space. (Russian) Dokl. Akad. Nauk SSSR 245 (1979), no. 6, 1299—1303
Odlyzko, A. M., Sloane, N. J. A. New bounds on the number of unit spheres that can touch a unit sphere in n dimensions. J. Combin. Theory Ser. A 26 (1979), no. 2, 210—214
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