Métrica de Reissner-Nordström

La métrica de Reissner-Nordström es una solución exacta con simetría esférica de las ecuaciones de Einstein que describe el campo gravitatorio y electromagnético de un cuerpo masivo con carga neta diferente de cero. Puede considerarse como una generalización de la métrica de Schwarzschild.

Forma de la métrica

En coordenadas casi-esféricas o coordenadas de Schwarzschild la métrica tiene la forma:

(1)${\displaystyle g=-c^{2}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}+{\frac {Ge^{2}}{c^{4}r^{2}}}\right)dt\otimes dt+\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}+{\frac {Ge^{2}}{c^{4}r^{2}}}\right)^{-1}dr\otimes dr+r^{2}\left(d\theta \otimes d\theta +\sin ^{2}\theta \ d\phi \otimes d\phi \right)}$ 

Donde se han usado para la carga eléctrica unidades gausianas, y donde hemos restaurado la velocidad de la luz c y la constante de la gravitación G. Usualmente la métrica se escribe usando unidades naturales (c = 1, G = 1).

Propiedades del espacio-tiempo de Reissner-Nordström

Contenido material

El espacio-tiempo de Reissner-Nordström es en muchos aspectos similar al espacio-tiempo dado por la métrica de Schwarzschild. Sin embargo, a diferencia de esa otra última solución el tensor de energía-impulso asociado a dicha métrica no se anula idénticamente, revelando que dicho espacio-tiempo está "inundado" por un campo electromagnético estático con simetría esférica.

Geodésicas

Si ${\displaystyle \gamma (\tau )=(t(\tau ),r(\tau ),\theta (\tau ),\phi (\tau ))\;}$  es la expresión de una curva en términos de un parámetro afin (como por ejemplo el tiempo propio), entonces esa curva será geodésica si se cumple que:

${\displaystyle {\begin{cases}{\ddot {t}}+{\frac {2\mu (r-\epsilon )}{r[r^{2}-\mu (2r-\epsilon )]}}{\dot {t}}{\dot {r}}=0\\{\ddot {r}}+c^{2}{\frac {\mu (r-\epsilon )[r^{2}-\mu (2r-\epsilon )]}{r^{5}}}{\dot {t}}^{2}-{\frac {\mu (r-\epsilon )}{r(r^{2}-\mu (2r-\epsilon )}}{\dot {r}}^{2}-{\frac {r^{2}-\mu (2r-\epsilon )}{r}}\left[{\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}\sin ^{2}\theta \right]=0\\{\ddot {\theta }}+{\frac {2{\dot {r}}}{r}}{\dot {\theta }}-\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}=0\\{\ddot {\phi }}+{\frac {2{\dot {r}}}{r}}{\dot {\phi }}+{\frac {2}{\tan \theta }}{\dot {\phi }}{\dot {\theta }}=0\end{cases}}}$ 

donde:

• ${\displaystyle \mu :={\frac {GM}{c^{2}}},\qquad \epsilon :={\frac {e^{2}}{Mc^{2}}}}$ 

Grupo de isometría

La solución de Reissner-Nordström, presenta las mismas simetrías que la solución de Schwarzshild, es decir, el espacio tiempo es invariante respecto a traslaciones temporales t → t + h y además presenta simetría esférica. Por tanto su grupo de isometría maximal resulta ser isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {R} \times SO(3)}$ .

Regiones del espacio-tiempo de Reissner-Nordström

El número de regiones y la tipología del espacio-tiempo descrito por la métrica de Reissner-Nordström depende del cociente entre la masa y la carga eléctrica.

Caso 1

El primer caso viene caracterizado por la situación de un cuerpo de cierta masa con una carga eléctrica neta muy pequeña en relación a su masa. Concretamente este caso se presenta cuando:

${\displaystyle M>{\frac {|e|}{2c{\sqrt {\pi \epsilon _{0}}}}}}$ 

En este caso la solución maximal con simetría esférica consta de tres tipos de regiones:

• Región I o región exterior de la solución asintóticamente plana, caracterizada por R > R₊;, que a grandes distancias se parece al campo gravitatorio creado por un astro de simetría esférica con carga eléctrica.
• Región II o región intermedia la solución de Reissner-Nordström, caracterizada por R₊ > R > R_-.
• Región III o región de agujero negro de la solución de Reissner-Nordström, caracterizada por, R_- > R, que en su interior alberga una singularidad espaciotemporal.

Caso 2

Caso 3

•   Datos: Q540664