Proceso Δ² de Aitken

En análisis numérico, el método o proceso Δ² de Aitken es un método de aceleración de la convergencia. Lleva el nombre de Alexander Aitken, quien introdujo este método en 1926.^[1]​ Su forma primitiva era conocida por Kōwa Seki (finales del siglo XVII) y fue encontrado en la rectificación del círculo, es decir, el cálculo de ${\displaystyle \pi }$. Es muy útil para acelerar la convergencia de una sucesión que converge linealmente.

Cuando se aplica el método de Aitken a una sucesión obtenida mediante una iteración de punto fijo se conoce como método de Steffensen.

Definición

Dada una sucesión ${\displaystyle x={(x_{n})}_{n\in \mathbb {N} }}$ , se calcula la nueva sucesión ${\displaystyle {\hat {x}}={({\hat {x}}_{n})}_{n\in \mathbb {N} }}$  definida como

${\displaystyle {\hat {x}}_{n+2}=x_{n+2}-{\frac {(x_{n+2}-x_{n+1})^{2}}{x_{n+2}-2\,x_{n+1}+x_{n}}}}$ .

Si se emplea el operador Δ de las diferencias progresivas definido como

${\displaystyle \Delta x_{n}=x_{n+1}-x_{n}.}$ 

${\displaystyle \Delta ^{2}x_{n}=\Delta (\Delta x_{n})=x_{n+2}-2x_{n+1}+x_{n}}$ 

también puede escribirse como:

${\displaystyle {\hat {x}}_{n+2}=x_{n+2}-{\frac {(\Delta x_{n+1})^{2}}{\Delta ^{2}x_{n}}}}$ 

Propiedades

El proceso Δ² de Aitken es un método de aceleración de la convergencia, y en particular un caso de transformación no lineal de una sucesión.

${\displaystyle x}$  converge linealmente a ${\displaystyle \ell }$  si existe un número μ ∈ (0, 1) tal que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {|x_{n+1}-\ell |}{|x_{n}-\ell |}}=\mu .}$ 

El método de Aitken acelerará la sucesión ${\displaystyle x_{n}}$  si y solo si ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {{\hat {x}}_{n}-\ell }{x_{n}-\ell }}=0.}$ 

Aunque la nueva sucesión no converge en general de forma cuadrática, se puede demostrar que para un método de punto fijo, es decir, para una sucesión ${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})}$  para alguna función iterada ${\displaystyle f}$ , convergiendo hacia un punto fijo, la convergencia es cuadrática. En este caso, la técnica se conoce como método de Steffensen.

Ejemplos

Ejemplo 1 (Aceleración de una sucesión)

El valor de ${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.4142136}$  puede aproximarse mediante la sucesión ${\displaystyle a_{n}}$  con valor inicial ${\displaystyle a_{0}=1}$  definida de manera iterativa como:

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+{\frac {2}{a_{n}}}}{2}}.}$ 

n	x = valor iterado	y = valor calculado
0	1	1.4285714
1	1.5	1.4141414
2	1.4166667	1.4142136
3	1.4142157	--
4	1.4142136	--

Ejemplo 2 (Aceleración de una serie)

El valor de ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$  puede calcularse como una suma infinita:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\approx 0.785398}$ 

n	término	x = suma parcial	Ax
0	1	1	0.79166667
1	-0.33333333	0.66666667	0.78333333
2	0.2	0.86666667	0.78630952
3	-0.14285714	0.72380952	0.78492063
4	0.11111111	0.83492063	0.78567821
5	-9.0909091e-2	0.74401154	0.78522034
6	7.6923077e-2	0.82093462	0.78551795
7	-6.6666667e-2	0.75426795	--
8	5.8823529e-2	0.81309148	--

Notas

1. Alexander Aitken, "On Bernoulli's numerical solution of algebraic equations", Proceedings of the Royal Society of Edinburgh (1926) 46 pp. 289-305.

Referencias

• García Merayo, Félix (1995). «6. Aceleración y raíces complejas.». Lecciones prácticas de cálculo numérico. Madrid: Universidad pontificia Comillas. p. 78-81. ISBN 848784068X. Consultado el 13 de septiembre de 2009. 

•   Datos: Q492177