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Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

En física, el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), también conocido como movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV), es aquel en el que un móvil se desplaza sobre una trayectoria recta estando sometido a una aceleración constante.

Un ejemplo de este tipo de movimiento es el de caída libre vertical, en el cual la aceleración que interviene, y considerada constante, es la que corresponde a la gravedad.

Desde el punto de vista de la dinámica, también puede definirse como el movimiento que realiza una partícula que partiendo del reposo es acelerada por una fuerza constante.

El Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA) es un caso particular del movimiento uniformemente acelerado (MUA).

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en mecánica newtoniana

En mecánica clásica el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) presenta dos características fundamentales:

  1. La trayectoria es rectilínea
  2. La aceleración sobre la partícula es constante
A partir de la segunda Ley de Newton se puede expresar:
 
Dado que la masa es una constante, si la fuerza resultante aplicada es constante resultará que la aceleración también será constante.

Por lo tanto, esto determina que:

  1. La velocidad varía linealmente respecto del tiempo.
  2. La posición varía según una relación cuadrática respecto del tiempo.

Las figuras muestran las relaciones de la aceleración, la velocidad y el desplazamiento respecto del tiempo, aceleración (constante, recta horizontal), velocidad (recta con pendiente) y del desplazamiento (parábola).

     

La aceleración a constante, en el ejemplo:

 
     

podemos ver la gráfica de la función de la aceleración respecto al tiempo, se ve claramente que son rectas horizontales.

La velocidad v para un instante t dado es:

 

Para una misma velocidad inicial con distintas aceleraciones tenemos un haz de rectas de distinta pendiente:

     

con una misma aceleración y distintas velocidades iniciales tenemos rectas paralelas como las de los gráficos:

     

Finalmente la posición en función del tiempo se expresa por:

 

donde   es la posición inicial.

La función posición respecto al tiempo, con una aceleración constante y distinta de cero, es una parábola, la velocidad inicial y la posición inicial son fijos, para distintas aceleraciones se tendrá distintas parábolas, que pasan por el mismo punto de la posición inicial y en ese punto presentan la misma pendiente.

     

Con una misma aceleración y con la misma posición inicial, pero con distintas velocidades iniciales las gráficas son de esta forma:

     

Las gráficas en el caso de una misma aceleración y misma velocidad inicial, pero con distintas posiciones iniciales, serían de esta forma:

     

Además de las relaciones básicas anteriores, existe una ecuación que relaciona entre sí el desplazamiento y la rapidez del móvil. Ésta se obtiene despejando el tiempo de (2a) y sustituyendo el resultado en (3):

 

Deducción de la velocidad en función del tiempo

Se parte de la definición de aceleración

 

y se integra esta ecuación diferencial lineal de primer orden

 

se resuelve la integral para a constante:

 

donde   es la velocidad del móvil en el instante inicial  .

En el caso de que el instante inicial sea  , será

 

Deducción de la posición en función del tiempo.

A partir de la definición de velocidad

 

integrando:

 

en la que se sustituye el valor obtenido anteriormente para  

 

resolviendo la integral, y teniendo en cuenta que   y   son constantes:

 

donde   la posición del móvil en el instante  .

En el caso de que en el tiempo inicial sea   la ecuación sería:

 

Ecuación no temporal del movimiento

Se trata de relacionar la posición, la velocidad y la aceleración, sin que aparezca el tiempo.

Se parte de la definición de aceleración, multiplicando y dividiendo por   se puede eliminar el tiempo

 

se separan las variables y se prepara la integración teniendo en cuenta que  

 

y se integra

 

resultando

 

y ordenando

 

A un resultado similar se puede llegar partiendo de estas expresiones

 

operando los términos:

 

La velocidad alcanzada por un móvil, partiendo del reposo, a aceleración constante, es igual a la raíz cuadrada de dos veces la aceleración por el espacio recorrido. Téngase en cuenta que en esta relación no interviene el tiempo.

Movimiento acelerado en mecánica relativista

 
Movimiento relativista bajo fuerza constante: aceleración (azul), velocidad (verde) y desplazamiento (rojo).

En mecánica relativista no existe un equivalente exacto del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, ya que la aceleración depende de la velocidad y mantener una aceleración constante requeriría una fuerza progresivamente creciente. Lo más cercano que se tiene es el movimiento de una partícula bajo una fuerza constante, que comparte muchas de las características del MUA de la mecánica clásica.

La ecuación de movimiento relativista para el movimiento bajo una fuerza constante partiendo del reposo es:

(4) 

Donde w es una constante que, para valores pequeños de la velocidad comparados con la velocidad de la luz, es aproximadamente igual a la aceleración (para velocidades cercanas a la de la luz la aceleración es mucho más pequeña que el cociente entre la fuerza y la masa). De hecho la aceleración bajo una fuerza constante viene dada en el caso relativista por:

 

La integral de (4) es sencilla [1]​ y viene dada por:

(5) 

E integrando esta última ecuación, suponiendo que inicialmente la partícula ocupaba la posición x = 0, se llega a:

(6) 

En este caso el tiempo propio de la partícula acelerada se puede calcular en función del tiempo coordenado t mediante la expresión:

(7) 

Todas estas expresiones pueden generalizarse fácilmente al caso de un movimiento uniformemente acelerado, cuya trayectoria es más complicada que la parábola, tal como sucede en el caso clásico cuando el movimiento se da sobre un plano.

Observadores de Rindler

El tratamiento de los observadores uniformemente acelerados en el espacio-tiempo de Minkowski se realiza habitualmente usando las llamadas coordenadas de Rindler para dicho espacio, un observador acelerado queda representado por un sistema de referencia asociado a unas coordenadas de Rindler. Partiendo de las coordenadas cartesianas la métrica de dicho espacio-tiempo:

 

Considérese ahora la región conocida como cuña de Rindler, dada por el conjunto de puntos que verifican:

 

Y defínase sobre ella un cambio de coordenadas dado por las transformaciones siguientes:

 

Donde:

 , es un parámetro relacionado con la aceleración del observador.[2]
 , son las coordenadas temporal y espaciales medidas por dicho observador.

Usando estas coordenadas, la cuña de Rindler del espacio de Minkowski tiene una métrica, expresada en las nuevas coordenadas, dada por la expresión:

 

Puede que estas coordenadas representen a un observador acelerado según el eje X, cuya cuadriaceleración obtenida como derivada covariante de la cuadrivelocidad está relacionada con el valor de la coordenada x:

 

Horizonte de Rindler

Es interesante notar que un observador uniformemente acelerado tiene horizonte de sucesos, es decir existe una superficie espacial (que coincide con la frontera de la cuña de Rindler):

 

tal que la luz del otro lado jamás alcanzaría al observador acelerado. Este horizonte de sucesos es del mismo tipo que el horizonte que ve un obsevador situado fuera de un agujero negro; es decir, los eventos al otro lado del horizonte de sucesos no pueden ser vistos por estos observadores.

El ejemplo de las coordenadas de Rindler muestra que la ocurrencia de un horizonte de sucesos no está asociada al propio espacio-tiempo sino a ciertos observadores. Las coordenadas de Rindler constituyen una cartografía del espacio-tiempo plano de Minkowski. En dicho espacio un observador inercial no ve ningún horizonte de sucesos pero sí lo ve un observador acelerado.

Movimiento acelerado en mecánica cuántica

Movimiento bajo fuerza constante en mecánica cuántica

En mecánica cuántica no se puede hablar de trayectorias ya que la posición de la partícula no puede determinarse con precisión arbitraria, por lo que sólo existen análogos cuánticos imperfectos del movimiento rectilíneo clásico. El equivalente cuántico más simple de movimiento uniformemente acelerado es el de una partícula cuántica (no relativista y sin espín) en un campo de fuerzas conservativo en el que la energía potencial es una función lineal de la coordenada.

 

La solución general de esta ecuación puede escribirse como transformada de Fourier del conjunto de soluciones de la ecuación estacionaria:

 

Donde   la amplitud es una función de la energía que debe escogerse para satisfacer las condiciones iniciales y la función   en el integrando debe ser solución de la ecuación de Schrödinger estacionaria:

 

Donde:

  es la constante de Planck racionalizada.
  es la masa de la partícula.
  es la fuerza que se ejerce sobre la partícula.
  es la energía de un estado estacionario del hamiltoniano cuántico.

Haciendo el cambio de variable:

 

Entonces la ecuación (*) equivale a la ecuación:

 

Que es la ecuación de Airy, por lo que la solución general de la ecuación de Schrödinger queda en términos de funciones Airy:

 

Por consideraciones físicas B = 0, ya que en caso contrario la anterior función no sería acotada.

 

Nótese que la ecuación anterior tiene solución para cualquier valor de E y por tanto los estados energéticos posibles de una partícula tienen un espectro continuo (a diferencia de lo que pasa para otros sistemas cuánticos con niveles de energía discretos).

Efecto Unruh

En 1975, Stephen Hawking conjeturó que cerca del horizonte de sucesos de un agujero negro debía aparecer una producción de partículas cuyo espectro de energías correspondería con la de un cuerpo negro cuya temperatura fuera inversamente proporcional a la masa del agujero. En un análisis de observadores acelerados, Paul Davies probó que el mismo argumento de Hawking era aplicable a estos observadores (observadores de Rindler).[3]

En 1976, Bill Unruh basándose en los trabajos de Hawking y Davies, predijo que un observador uniformemente acelerado observaría radiación de tipo Hawking donde un observador inercial no observaría nada. En otras palabras el efecto Unruh afirma que el vacío es percibido como más caliente por un observador acelerado.[4]​ La temperatura efectiva observada es proporcional a la aceleración y viene dada por:

 

Donde:

 , constante de Boltzmann.
 , constante de Planck racionalizada.
 , velocidad de la luz.
 , temperatura absoluta del vacío, medida por el observador acelerado.
 , aceleración del observador uniformemente acelerado.

De hecho el estado cuántico que percibe el observador acelerado es un estado de equilibrio térmico diferente del que percibe un observador inercial. Ese hecho hace de la aceleración una propiedad absoluta: un observador acelerado moviéndose en el espacio abierto puede medir su aceleración midiendo la temperatura del fondo térmico que le rodea. Esto es similar al caso relativista clásico, en donde un observador acelerado que observa una carga eléctrica en reposo respecto a él puede medir la radiación emitida por esta carga y calcular su propia aceleración absoluta.

Véase también

Referencias

  1. La web de Física. «¿Se puede viajar a la velocidad de la luz, o a una mayor?». Consultado el 28 de noviembre de 2017. 
  2. What a Rindler Observer Sees in a Minkowski Vacuum
  3. Detección experimental de la radiación Unruh

Bibliografía

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  •   Datos: Q29575504

movimiento, rectilíneo, uniformemente, acelerado, física, movimiento, rectilíneo, uniformemente, acelerado, mrua, también, conocido, como, movimiento, rectilíneo, uniformemente, variado, mruv, aquel, móvil, desplaza, sobre, trayectoria, recta, estando, sometid. En fisica el movimiento rectilineo uniformemente acelerado MRUA tambien conocido como movimiento rectilineo uniformemente variado MRUV es aquel en el que un movil se desplaza sobre una trayectoria recta estando sometido a una aceleracion constante Un ejemplo de este tipo de movimiento es el de caida libre vertical en el cual la aceleracion que interviene y considerada constante es la que corresponde a la gravedad Desde el punto de vista de la dinamica tambien puede definirse como el movimiento que realiza una particula que partiendo del reposo es acelerada por una fuerza constante El Movimiento Rectilineo Uniformemente Acelerado MRUA es un caso particular del movimiento uniformemente acelerado MUA Indice 1 Movimiento rectilineo uniformemente acelerado en mecanica newtoniana 1 1 Deduccion de la velocidad en funcion del tiempo 1 2 Deduccion de la posicion en funcion del tiempo 1 3 Ecuacion no temporal del movimiento 2 Movimiento acelerado en mecanica relativista 2 1 Observadores de Rindler 2 2 Horizonte de Rindler 3 Movimiento acelerado en mecanica cuantica 3 1 Movimiento bajo fuerza constante en mecanica cuantica 3 2 Efecto Unruh 4 Vease tambien 5 Referencias 5 1 BibliografiaMovimiento rectilineo uniformemente acelerado en mecanica newtoniana EditarEn mecanica clasica el movimiento rectilineo uniformemente acelerado MRUA presenta dos caracteristicas fundamentales La trayectoria es rectilinea La aceleracion sobre la particula es constanteA partir de la segunda Ley de Newton se puede expresar F m a displaystyle mathbf F m mathbf a Dado que la masa es una constante si la fuerza resultante aplicada es constante resultara que la aceleracion tambien sera constante dd dd Por lo tanto esto determina que La velocidad varia linealmente respecto del tiempo La posicion varia segun una relacion cuadratica respecto del tiempo Las figuras muestran las relaciones de la aceleracion la velocidad y el desplazamiento respecto del tiempo aceleracion constante recta horizontal velocidad recta con pendiente y del desplazamiento parabola La aceleracion a constante en el ejemplo a a 0 displaystyle a a 0 podemos ver la grafica de la funcion de la aceleracion respecto al tiempo se ve claramente que son rectas horizontales La velocidad v para un instante t dado es v t a t v 0 displaystyle v t at v 0 Para una misma velocidad inicial con distintas aceleraciones tenemos un haz de rectas de distinta pendiente con una misma aceleracion y distintas velocidades iniciales tenemos rectas paralelas como las de los graficos Finalmente la posicion en funcion del tiempo se expresa por e t 1 2 a t 2 v 0 t e 0 displaystyle e t frac 1 2 at 2 v 0 t e 0 donde e 0 displaystyle e 0 es la posicion inicial La funcion posicion respecto al tiempo con una aceleracion constante y distinta de cero es una parabola la velocidad inicial y la posicion inicial son fijos para distintas aceleraciones se tendra distintas parabolas que pasan por el mismo punto de la posicion inicial y en ese punto presentan la misma pendiente Con una misma aceleracion y con la misma posicion inicial pero con distintas velocidades iniciales las graficas son de esta forma Las graficas en el caso de una misma aceleracion y misma velocidad inicial pero con distintas posiciones iniciales serian de esta forma Ademas de las relaciones basicas anteriores existe una ecuacion que relaciona entre si el desplazamiento y la rapidez del movil Esta se obtiene despejando el tiempo de 2a y sustituyendo el resultado en 3 v 2 2 a e e 0 v 0 2 displaystyle v 2 2a e e 0 v 0 2 Deduccion de la velocidad en funcion del tiempo Editar Se parte de la definicion de aceleracion d v d t a displaystyle cfrac dv dt a y se integra esta ecuacion diferencial lineal de primer orden v 0 v d v t 0 t a d t displaystyle int v 0 v dv int t 0 t a dt se resuelve la integral para a constante v a t t 0 v 0 displaystyle v a t t 0 v 0 donde v 0 displaystyle v 0 es la velocidad del movil en el instante inicial t 0 displaystyle t 0 En el caso de que el instante inicial sea t 0 0 displaystyle t 0 0 sera v a t v 0 displaystyle v at v 0 Deduccion de la posicion en funcion del tiempo Editar A partir de la definicion de velocidad d e d t v displaystyle cfrac de dt v integrando e 0 e d e t 0 t v d t displaystyle int e 0 e de int t 0 t v dt en la que se sustituye el valor obtenido anteriormente para v v t displaystyle v v t e 0 e d e t 0 t a t t 0 v 0 d t displaystyle int e 0 e de int t 0 t a t t 0 v 0 dt resolviendo la integral y teniendo en cuenta que a displaystyle a y v 0 displaystyle v 0 son constantes e 1 2 a t t 0 2 v 0 t t 0 e 0 displaystyle e frac 1 2 a t t 0 2 v 0 t t 0 e 0 donde e 0 displaystyle e 0 la posicion del movil en el instante t 0 displaystyle t 0 En el caso de que en el tiempo inicial sea t 0 0 displaystyle t 0 0 la ecuacion seria e 1 2 a t 2 v 0 t e 0 displaystyle e frac 1 2 at 2 v 0 t e 0 Ecuacion no temporal del movimiento Editar Se trata de relacionar la posicion la velocidad y la aceleracion sin que aparezca el tiempo Se parte de la definicion de aceleracion multiplicando y dividiendo por d e displaystyle de se puede eliminar el tiempo a d v d t d v d t d e d e d e d t d v d e v d v d e displaystyle a frac dv dt frac dv dt frac de de frac de dt frac dv de v frac dv de se separan las variables y se prepara la integracion teniendo en cuenta que a cte displaystyle a text cte v 0 v v d v e 0 e a d e a e 0 e d e displaystyle int v 0 v vdv int e 0 e ade a int e 0 e de y se integra 1 2 v 2 v 0 v a e e 0 e displaystyle left frac 1 2 v 2 right v 0 v left a e right e 0 e resultando 1 2 v 2 v 0 2 a e e 0 displaystyle frac 1 2 v 2 v 0 2 a e e 0 y ordenando v 2 v 0 2 2 a e e 0 displaystyle v 2 v 0 2 2a e e 0 A un resultado similar se puede llegar partiendo de estas expresiones e 1 2 a t 2 v a t t v a e 1 2 a v a 2 e 1 2 a v 2 a 2 displaystyle left begin array l e cfrac 1 2 at 2 v at quad Rightarrow quad t cfrac v a end array right quad Rightarrow quad e cfrac 1 2 a left cfrac v a right 2 quad Rightarrow quad e cfrac 1 2 a cfrac v 2 a 2 operando los terminos e v 2 2 a v 2 2 a e v 2 a e displaystyle e cfrac v 2 2a quad Rightarrow quad v 2 2ae quad Rightarrow quad v sqrt 2ae La velocidad alcanzada por un movil partiendo del reposo a aceleracion constante es igual a la raiz cuadrada de dos veces la aceleracion por el espacio recorrido Tengase en cuenta que en esta relacion no interviene el tiempo Movimiento acelerado en mecanica relativista Editar Movimiento relativista bajo fuerza constante aceleracion azul velocidad verde y desplazamiento rojo En mecanica relativista no existe un equivalente exacto del movimiento rectilineo uniformemente acelerado ya que la aceleracion depende de la velocidad y mantener una aceleracion constante requeriria una fuerza progresivamente creciente Lo mas cercano que se tiene es el movimiento de una particula bajo una fuerza constante que comparte muchas de las caracteristicas del MUA de la mecanica clasica La ecuacion de movimiento relativista para el movimiento bajo una fuerza constante partiendo del reposo es 4 d d t v 1 v 2 c 2 F m 0 w v 0 0 displaystyle begin cases cfrac d dt left cfrac v sqrt 1 v 2 c 2 right cfrac F m 0 w v 0 0 end cases Donde w es una constante que para valores pequenos de la velocidad comparados con la velocidad de la luz es aproximadamente igual a la aceleracion para velocidades cercanas a la de la luz la aceleracion es mucho mas pequena que el cociente entre la fuerza y la masa De hecho la aceleracion bajo una fuerza constante viene dada en el caso relativista por a t w 1 w 2 t 2 c 2 3 2 displaystyle a t frac w left 1 frac w 2 t 2 c 2 right frac 3 2 La integral de 4 es sencilla 1 y viene dada por 5 v 1 v 2 c 2 w t v t w t 1 w 2 t 2 c 2 displaystyle frac v sqrt 1 v 2 c 2 wt qquad Rightarrow qquad v t frac wt sqrt 1 frac w 2 t 2 c 2 E integrando esta ultima ecuacion suponiendo que inicialmente la particula ocupaba la posicion x 0 se llega a 6 x t c 2 w 1 w 2 t 2 c 2 1 displaystyle x t frac c 2 w left sqrt 1 frac w 2 t 2 c 2 1 right En este caso el tiempo propio de la particula acelerada se puede calcular en funcion del tiempo coordenado t mediante la expresion 7 t c w ln w t c 1 w 2 t 2 c 2 displaystyle tau frac c w ln left frac wt c sqrt 1 frac w 2 t 2 c 2 right Todas estas expresiones pueden generalizarse facilmente al caso de un movimiento uniformemente acelerado cuya trayectoria es mas complicada que la parabola tal como sucede en el caso clasico cuando el movimiento se da sobre un plano Observadores de Rindler Editar El tratamiento de los observadores uniformemente acelerados en el espacio tiempo de Minkowski se realiza habitualmente usando las llamadas coordenadas de Rindler para dicho espacio un observador acelerado queda representado por un sistema de referencia asociado a unas coordenadas de Rindler Partiendo de las coordenadas cartesianas la metrica de dicho espacio tiempo d s 2 c 2 d T 2 d X 2 d Y 2 d Z 2 T X Y Z R 4 displaystyle ds 2 c 2 dT 2 dX 2 dY 2 dZ 2 qquad T X Y Z in mathbb R 4 Considerese ahora la region conocida como cuna de Rindler dada por el conjunto de puntos que verifican R R i n d T X Y Z R 4 0 lt X lt X lt T lt X displaystyle mathcal R Rind T X Y Z in mathbb R 4 0 lt X lt infty X lt T lt X Y definase sobre ella un cambio de coordenadas dado por las transformaciones siguientes t c a arctanh c T X x c 2 a ln a c 2 X 2 c 2 T 2 y Y z Z T c a e a x c 2 sinh a t c X c 2 a e a x c 2 cosh a t c Y y Z z displaystyle begin cases t cfrac c alpha operatorname arctanh left cfrac cT X right x cfrac c 2 alpha ln left cfrac alpha c 2 sqrt X 2 c 2 T 2 right y Y z Z T cfrac c alpha e alpha x c 2 sinh left cfrac alpha t c right X cfrac c 2 alpha e alpha x c 2 cosh left cfrac alpha t c right Y y Z z end cases Donde a displaystyle alpha es un parametro relacionado con la aceleracion del observador 2 t x y z displaystyle t x y z son las coordenadas temporal y espaciales medidas por dicho observador Usando estas coordenadas la cuna de Rindler del espacio de Minkowski tiene una metrica expresada en las nuevas coordenadas dada por la expresion d s 2 e 2 a x c 2 d t 2 d x 2 d y 2 d z 2 t x y z R 4 displaystyle ds 2 e frac 2 alpha x c 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 qquad t x y z in times mathbb R 4 Puede que estas coordenadas representen a un observador acelerado segun el eje X cuya cuadriaceleracion obtenida como derivada covariante de la cuadrivelocidad esta relacionada con el valor de la coordenada x e 0 e 0 a e a x c 2 e 1 a a 0 a 1 a 2 a 3 0 a e a x c 2 0 0 displaystyle nabla mathbf e 0 mathbf e 0 alpha e frac alpha x c 2 mathbf e 1 qquad mathbf a a 0 a 1 a 2 a 3 left 0 alpha e frac alpha x c 2 0 0 right Horizonte de Rindler Editar Es interesante notar que un observador uniformemente acelerado tiene horizonte de sucesos es decir existe una superficie espacial que coincide con la frontera de la cuna de Rindler H R i n d T X Y Z X 2 c 2 T 2 0 t x y z x displaystyle H Rind T X Y Z X 2 c 2 T 2 0 t x y z x infty tal que la luz del otro lado jamas alcanzaria al observador acelerado Este horizonte de sucesos es del mismo tipo que el horizonte que ve un obsevador situado fuera de un agujero negro es decir los eventos al otro lado del horizonte de sucesos no pueden ser vistos por estos observadores El ejemplo de las coordenadas de Rindler muestra que la ocurrencia de un horizonte de sucesos no esta asociada al propio espacio tiempo sino a ciertos observadores Las coordenadas de Rindler constituyen una cartografia del espacio tiempo plano de Minkowski En dicho espacio un observador inercial no ve ningun horizonte de sucesos pero si lo ve un observador acelerado Movimiento acelerado en mecanica cuantica EditarMovimiento bajo fuerza constante en mecanica cuantica Editar En mecanica cuantica no se puede hablar de trayectorias ya que la posicion de la particula no puede determinarse con precision arbitraria por lo que solo existen analogos cuanticos imperfectos del movimiento rectilineo clasico El equivalente cuantico mas simple de movimiento uniformemente acelerado es el de una particula cuantica no relativista y sin espin en un campo de fuerzas conservativo en el que la energia potencial es una funcion lineal de la coordenada ℏ 2 2 m 2 PS x 2 x F ps x t i PS x t t displaystyle frac hbar 2 2m frac partial 2 Psi partial x 2 xF psi x t i frac partial Psi x t partial t La solucion general de esta ecuacion puede escribirse como transformada de Fourier del conjunto de soluciones de la ecuacion estacionaria PS x t m ℏ 2 F 2 1 3 A E ps x E e i E t ℏ d E displaystyle Psi x t left frac m hbar 2 F 2 right 1 3 int infty infty A E hat psi x E e iEt hbar dE Donde A E displaystyle scriptstyle A E la amplitud es una funcion de la energia que debe escogerse para satisfacer las condiciones iniciales y la funcion ps x E displaystyle scriptstyle hat psi x E en el integrando debe ser solucion de la ecuacion de Schrodinger estacionaria ℏ 2 2 m 2 ps E x 2 x F ps E x E ps E x ps E x ps x E displaystyle frac hbar 2 2m frac partial 2 psi E partial x 2 xF psi E x E psi E x qquad psi E x hat psi x E Donde ℏ displaystyle hbar es la constante de Planck racionalizada m displaystyle m es la masa de la particula F displaystyle F es la fuerza que se ejerce sobre la particula E displaystyle E es la energia de un estado estacionario del hamiltoniano cuantico Haciendo el cambio de variable x 2 m ℏ 2 F 1 3 E x F displaystyle bar x left frac 2m hbar 2 F right 1 3 E xF Entonces la ecuacion equivale a la ecuacion d 2 ps E x d x 2 x ps E x 0 displaystyle frac d 2 psi E bar x d bar x 2 bar x psi E bar x 0 Que es la ecuacion de Airy por lo que la solucion general de la ecuacion de Schrodinger queda en terminos de funciones Airy ps E x A A i x B B i x displaystyle psi E x A mathrm Ai bar x B mathrm Bi bar x Por consideraciones fisicas B 0 ya que en caso contrario la anterior funcion no seria acotada ps E x A A i 2 m ℏ 2 F 1 3 F x E displaystyle psi E x A mathrm Ai left left frac 2m hbar 2 F right 1 3 Fx E right Notese que la ecuacion anterior tiene solucion para cualquier valor de E y por tanto los estados energeticos posibles de una particula tienen un espectro continuo a diferencia de lo que pasa para otros sistemas cuanticos con niveles de energia discretos Efecto Unruh Editar Articulo principal Efecto Unruh En 1975 Stephen Hawking conjeturo que cerca del horizonte de sucesos de un agujero negro debia aparecer una produccion de particulas cuyo espectro de energias corresponderia con la de un cuerpo negro cuya temperatura fuera inversamente proporcional a la masa del agujero En un analisis de observadores acelerados Paul Davies probo que el mismo argumento de Hawking era aplicable a estos observadores observadores de Rindler 3 En 1976 Bill Unruh basandose en los trabajos de Hawking y Davies predijo que un observador uniformemente acelerado observaria radiacion de tipo Hawking donde un observador inercial no observaria nada En otras palabras el efecto Unruh afirma que el vacio es percibido como mas caliente por un observador acelerado 4 La temperatura efectiva observada es proporcional a la aceleracion y viene dada por k T ℏ a 2 p c displaystyle kT frac hbar a 2 pi c Donde k displaystyle k constante de Boltzmann ℏ displaystyle hbar constante de Planck racionalizada c displaystyle c velocidad de la luz T displaystyle T temperatura absoluta del vacio medida por el observador acelerado a displaystyle a aceleracion del observador uniformemente acelerado De hecho el estado cuantico que percibe el observador acelerado es un estado de equilibrio termico diferente del que percibe un observador inercial Ese hecho hace de la aceleracion una propiedad absoluta un observador acelerado moviendose en el espacio abierto puede medir su aceleracion midiendo la temperatura del fondo termico que le rodea Esto es similar al caso relativista clasico en donde un observador acelerado que observa una carga electrica en reposo respecto a el puede medir la radiacion emitida por esta carga y calcular su propia aceleracion absoluta Vease tambien EditarMovimiento uniformemente acelerado Cinematica Movimiento rectilineo Movimiento rectilineo uniforme Caida libre Movimiento circularReferencias Editar La web de Fisica Se puede viajar a la velocidad de la luz o a una mayor Consultado el 28 de noviembre de 2017 What a Rindler Observer Sees in a Minkowski Vacuum Scalar production in Schwarzschild and Rindler metrics Deteccion experimental de la radiacion Unruh Bibliografia Editar Gonzalez Jose T 1991 Lecciones de Fisica 4 volumenes Monytex ISBN 84 404 4290 4 ISBN 84 398 9218 7 ISBN 84 398 9219 5 ISBN 84 604 4445 7 Resnick Robert amp Halliday David 2004 Fisica 4ª CECSA Mexico ISBN 970 24 0257 3 Gonzalez Ignacio A 1995 Fisica para la ciencia y la tecnologia 2 volumenes Barcelona Ed Reverte ISBN 84 291 4382 3 Datos Q29575504 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Movimiento rectilineo uniformemente acelerado amp oldid 142156382, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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