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Movimiento parabólico

Se denomina movimiento parabólico al movimiento realizado por cualquier objeto cuya trayectoria describe una parábola, el cual corresponde con la trayectoria ideal de un proyectil que se mueve en un medio que no ofrece resistencia al avance y que esté sujeto a un campo gravitatorio uniforme. El movimiento parabólico es un ejemplo de un movimiento realizado por un objeto en dos dimensiones o sobre un plano. Puede considerarse como la combinación de dos movimientos que son un movimiento horizontal uniforme y un movimiento vertical.

En realidad, cuando se habla de cuerpos que se mueven en un campo gravitatorio central (como el de la Tierra), el movimiento es elíptico. En la superficie de la Tierra, ese movimiento es tan parecido a una parábola que perfectamente podemos calcular su trayectoria usando la ecuación matemática de una parábola. La ecuación de una elipse es bastante más compleja. Al lanzar una piedra al aire, la piedra intenta realizar una elipse en uno de cuyos focos está el centro de la Tierra. Al realizar esta elipse inmediatamente choca con el suelo y la piedra se para, pero su trayectoria es en realidad un "trozo" de elipse. Es cierto que ese "trozo" de elipse es casi idéntico a un "trozo" de parábola. Por ello utilizamos la ecuación de una parábola y lo llamamos "tiro parabólico". Si nos alejamos de la superficie de la Tierra sí tendríamos que utilizar una elipse (como en el caso de los satélites artificiales).

El movimiento parabólico puede ser analizado como la composición de dos movimientos rectilíneos: un movimiento rectilíneo uniforme horizontal y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado vertical.

El tiro parabólico tiene las siguientes características:

  • Conociendo la velocidad de salida (inicial), el ángulo de inclinación inicial y la diferencia de alturas (entre salida y llegada) se conocerá toda la trayectoria.
  • Los ángulos de salida y llegada son iguales (siempre que la altura de salida y de llegada sean iguales).
  • La mayor distancia cubierta o alcance se logra con ángulos de salida de 45º.
  • Para lograr la mayor distancia fijado el ángulo el factor más importante es la velocidad.
  • Se puede analizar el movimiento en vertical independientemente del horizontal.
  • La componente horizontal se mantiene constante.

Tipos de movimiento parabólico

 
Movimiento semiparabólico.

Movimiento parabólico (completo)

El movimiento parabólico completo se puede considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme (MRU) y avance vertical, que es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) por la acción de la gravedad.

En condiciones ideales en que la resistencia al avance es nulo y el campo gravitatorio uniforme, lo anterior implica que: Si

  1. Un cuerpo que se deja caer libremente y otro que es lanzado horizontalmente desde la misma altura tardan lo mismo en llegar al suelo.
  2. La independencia de la masa en la caída libre y el lanzamiento vertical es igual de válida en los movimientos parabólicos.
  1. El tiempo que tarda en alcanzar su altura máxima es el mismo tiempo que tarda en recorrer la mitad de su distancia horizontal, es decir, el tiempo total necesario para alcanzar la distancia horizontal máxima es el doble del tiempo empleado en alcanzar su altura máxima.

Ecuaciones del movimiento parabólico

 

Hay dos ecuaciones que rigen el movimiento parabólico:

  1.  
  2.  

donde:

  es el módulo de la velocidad final.
 es el módulo de la velocidad inicial.
  es el ángulo de la velocidad inicial sobre la horizontal.
  es la aceleración de la gravedad.
  son dos versores (vectores unitarios) en el plano.

La velocidad final se compone de dos partes:

  que se denomina como la velocidad horizontal del movimiento.
En lo sucesivo  

  que se denomina como la velocidad vertical del movimiento.

En lo sucesivo  

Se puede expresar la velocidad final de este modo:

  : [ecu. 1]

Será la que se utilice, en los casos en los que no deba tenerse en cuenta el ángulo de la velocidad inicial.

Ecuación de la aceleración

La única aceleración que interviene en este movimiento es la constante de la gravedad, que corresponde a la ecuación:

 

que es vertical y hacia abajo.

Ecuación de la velocidad

La velocidad de un cuerpo que sigue una trayectoria parabólica se puede obtener integrando la siguiente ecuación:

 

La integración es muy sencilla por tratarse de una ecuación diferencial de primer orden y el resultado final es:

 

Esta ecuación determina la velocidad del móvil en función del tiempo, la componente horizontal no varía, mientras que la componente vertical sí depende del tiempo y de la aceleración de la gravedad.

Ecuación de la posición

 









Partiendo de la ecuación que establece la velocidad del móvil con la relación al tiempo y de la definición de velocidad, la posición puede ser encontrada integrando de la siguiente ecuación diferencial:

 

La integración es muy sencilla por tratarse de una ecuación diferencial de primer orden y el resultado final es:

 

La trayectoria del movimiento parabólico está formada por la combinación de dos movimientos, uno horizontal de velocidad constante, y otro vertical uniformemente acelerado; la conjugación de los dos da como resultado una parábola.

Movimiento parabólico con rozamiento

Cuando consideramos el rozamiento la trayectoria es casi una parábola pero no exactamente. El estudio de la trayectoria en ese caso es considerado por la balística.

Generalizaciones relativistas

En teoría de la relatividad para que un móvil ejecute una trayectoria parabólica se requiere un campo de fuerzas no uniforme o una fuerza dependiente del tiempo. Sin embargo, es interesante estudiar un análogo aproximado que sería el de un móvil sometido a una fuerza constante que no sea paralela a la velocidad, esto ocasiona un movimiento cuasiparabólico. Este es, por ejemplo, con gran aproximación el movimiento que ejecuta un electrón u otra partícula cargada frente a una placa plana cargada uniformemente (condensador plano). La ecuación de movimiento relativista para el movimiento bajo una fuerza constante, alineada con la dirección X es:

 

Donde w es una constante que, para valores pequeños de la velocidad comparados con la velocidad de la luz, es aproximadamente igual a la aceleración (para velocidades cercanas a la de la luz la aceleración es mucho más pequeña que el cociente entre la fuerza y la masa). De la segunda de estas ecuaciones se obtiene que:

 

Siendo   una constante de integración que debe determinarse a partir de las condiciones de contorno. De la segunda ecuación diferencial se obtiene:

 

Integrando esta última ecuación se tiene:

 

Véase también

Bibliografía

  • Koetsier, Teun (1994), «§8.3 Kinematics», en Grattan-Guiness, Ivor, ed., Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences 2, Routledge, pp. 994-1001, ISBN 0-415-09239-6 .
  • Moon, Francis C. (2007). The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux, Kinematics of Machines from the Renaissance to the 20th Century. Springer. ISBN 978-1-4020-5598-0. 
  • Eduard Study (1913) D.H. Delphenich translator, "Foundations and goals of analytical kinematics".
  • «Analytical Ballistic Trajectories with Approximately Linear Drag». International Journal of Computer Games Technology (Hindawi Publishing Corporation) 2014: 1-13. 2014. doi:10.1155/2014/463489. 
  •   Datos: Q10281355
  •   Multimedia: Parabolic trajectories

movimiento, parabólico, denomina, movimiento, parabólico, movimiento, realizado, cualquier, objeto, cuya, trayectoria, describe, parábola, cual, corresponde, trayectoria, ideal, proyectil, mueve, medio, ofrece, resistencia, avance, esté, sujeto, campo, gravita. Se denomina movimiento parabolico al movimiento realizado por cualquier objeto cuya trayectoria describe una parabola el cual corresponde con la trayectoria ideal de un proyectil que se mueve en un medio que no ofrece resistencia al avance y que este sujeto a un campo gravitatorio uniforme El movimiento parabolico es un ejemplo de un movimiento realizado por un objeto en dos dimensiones o sobre un plano Puede considerarse como la combinacion de dos movimientos que son un movimiento horizontal uniforme y un movimiento vertical En realidad cuando se habla de cuerpos que se mueven en un campo gravitatorio central como el de la Tierra el movimiento es eliptico En la superficie de la Tierra ese movimiento es tan parecido a una parabola que perfectamente podemos calcular su trayectoria usando la ecuacion matematica de una parabola La ecuacion de una elipse es bastante mas compleja Al lanzar una piedra al aire la piedra intenta realizar una elipse en uno de cuyos focos esta el centro de la Tierra Al realizar esta elipse inmediatamente choca con el suelo y la piedra se para pero su trayectoria es en realidad un trozo de elipse Es cierto que ese trozo de elipse es casi identico a un trozo de parabola Por ello utilizamos la ecuacion de una parabola y lo llamamos tiro parabolico Si nos alejamos de la superficie de la Tierra si tendriamos que utilizar una elipse como en el caso de los satelites artificiales El movimiento parabolico puede ser analizado como la composicion de dos movimientos rectilineos un movimiento rectilineo uniforme horizontal y un movimiento rectilineo uniformemente acelerado vertical El tiro parabolico tiene las siguientes caracteristicas Conociendo la velocidad de salida inicial el angulo de inclinacion inicial y la diferencia de alturas entre salida y llegada se conocera toda la trayectoria Los angulos de salida y llegada son iguales siempre que la altura de salida y de llegada sean iguales La mayor distancia cubierta o alcance se logra con angulos de salida de 45º Para lograr la mayor distancia fijado el angulo el factor mas importante es la velocidad Se puede analizar el movimiento en vertical independientemente del horizontal La componente horizontal se mantiene constante Indice 1 Tipos de movimiento parabolico 1 1 Movimiento parabolico completo 2 Ecuaciones del movimiento parabolico 2 1 Ecuacion de la aceleracion 2 2 Ecuacion de la velocidad 2 3 Ecuacion de la posicion 3 Movimiento parabolico con rozamiento 4 Generalizaciones relativistas 5 Vease tambien 6 BibliografiaTipos de movimiento parabolico Editar Movimiento semiparabolico Movimiento parabolico completo Editar El movimiento parabolico completo se puede considerar como la composicion de un avance horizontal rectilineo uniforme MRU y avance vertical que es un movimiento rectilineo uniformemente acelerado MRUA por la accion de la gravedad En condiciones ideales en que la resistencia al avance es nulo y el campo gravitatorio uniforme lo anterior implica que Si Un cuerpo que se deja caer libremente y otro que es lanzado horizontalmente desde la misma altura tardan lo mismo en llegar al suelo La independencia de la masa en la caida libre y el lanzamiento vertical es igual de valida en los movimientos parabolicos El tiempo que tarda en alcanzar su altura maxima es el mismo tiempo que tarda en recorrer la mitad de su distancia horizontal es decir el tiempo total necesario para alcanzar la distancia horizontal maxima es el doble del tiempo empleado en alcanzar su altura maxima Ecuaciones del movimiento parabolico Editar Hay dos ecuaciones que rigen el movimiento parabolico v v 0 cos ϕ i v 0 sin ϕ j displaystyle mathbf v v 0 cos phi mathbf i v 0 sin phi mathbf j a g j displaystyle mathbf a g mathbf j donde v displaystyle v es el modulo de la velocidad final v 0 displaystyle v 0 es el modulo de la velocidad inicial ϕ displaystyle phi es el angulo de la velocidad inicial sobre la horizontal g displaystyle g es la aceleracion de la gravedad i j displaystyle mathbf i mathbf j son dos versores vectores unitarios en el plano La velocidad final se compone de dos partes v 0 cos ϕ displaystyle v 0 cos phi que se denomina como la velocidad horizontal del movimiento En lo sucesivo v x displaystyle v x dd v 0 sin ϕ displaystyle v 0 sin phi que se denomina como la velocidad vertical del movimiento En lo sucesivo v y displaystyle v y dd Se puede expresar la velocidad final de este modo v v x v y displaystyle mathbf v v x v y ecu 1 Sera la que se utilice en los casos en los que no deba tenerse en cuenta el angulo de la velocidad inicial Ecuacion de la aceleracion Editar La unica aceleracion que interviene en este movimiento es la constante de la gravedad que corresponde a la ecuacion a g j displaystyle mathbf a g mathbf j que es vertical y hacia abajo Ecuacion de la velocidad Editar La velocidad de un cuerpo que sigue una trayectoria parabolica se puede obtener integrando la siguiente ecuacion a d v d t g j v 0 v 0 x i v 0 y j displaystyle begin cases mathbf a cfrac d mathbf v dt g mathbf j mathbf v 0 v 0x mathbf i v 0y mathbf j end cases La integracion es muy sencilla por tratarse de una ecuacion diferencial de primer orden y el resultado final es v t v 0 x i v 0 y g t j displaystyle mathbf v t v 0x mathbf i v 0y gt mathbf j Esta ecuacion determina la velocidad del movil en funcion del tiempo la componente horizontal no varia mientras que la componente vertical si depende del tiempo y de la aceleracion de la gravedad Ecuacion de la posicion Editar Partiendo de la ecuacion que establece la velocidad del movil con la relacion al tiempo y de la definicion de velocidad la posicion puede ser encontrada integrando de la siguiente ecuacion diferencial v d r d t v 0 x i v 0 y g t j r 0 x 0 i y 0 j displaystyle begin cases mathbf v cfrac d mathbf r dt v 0x mathbf i v 0y gt mathbf j mathbf r 0 x 0 mathbf i y 0 mathbf j end cases La integracion es muy sencilla por tratarse de una ecuacion diferencial de primer orden y el resultado final es r t v 0 x t x 0 i 1 2 g t 2 v 0 y t y 0 j displaystyle mathbf r t v 0x t x 0 mathbf i left frac 1 2 g t 2 v 0y t y 0 right mathbf j La trayectoria del movimiento parabolico esta formada por la combinacion de dos movimientos uno horizontal de velocidad constante y otro vertical uniformemente acelerado la conjugacion de los dos da como resultado una parabola Movimiento parabolico con rozamiento EditarArticulo principal Trayectoria balistica Cuando consideramos el rozamiento la trayectoria es casi una parabola pero no exactamente El estudio de la trayectoria en ese caso es considerado por la balistica Generalizaciones relativistas EditarEn teoria de la relatividad para que un movil ejecute una trayectoria parabolica se requiere un campo de fuerzas no uniforme o una fuerza dependiente del tiempo Sin embargo es interesante estudiar un analogo aproximado que seria el de un movil sometido a una fuerza constante que no sea paralela a la velocidad esto ocasiona un movimiento cuasiparabolico Este es por ejemplo con gran aproximacion el movimiento que ejecuta un electron u otra particula cargada frente a una placa plana cargada uniformemente condensador plano La ecuacion de movimiento relativista para el movimiento bajo una fuerza constante alineada con la direccion X es d d t v x 1 v x 2 v y 2 c 2 F m 0 w d d t v y 1 v x 2 v y 2 c 2 0 v x 0 V 0 x v y 0 V 0 y displaystyle begin cases cfrac d dt left cfrac v x sqrt 1 v x 2 v y 2 c 2 right cfrac F m 0 w cfrac d dt left cfrac v y sqrt 1 v x 2 v y 2 c 2 right 0 v x 0 V 0 x v y 0 V 0 y end cases Donde w es una constante que para valores pequenos de la velocidad comparados con la velocidad de la luz es aproximadamente igual a la aceleracion para velocidades cercanas a la de la luz la aceleracion es mucho mas pequena que el cociente entre la fuerza y la masa De la segunda de estas ecuaciones se obtiene que v y 1 v x 2 v y 2 c 2 b y v y t b y c 2 v x 2 t c 2 b y 2 displaystyle frac v y sqrt 1 v x 2 v y 2 c 2 beta y quad Rightarrow quad v y t beta y sqrt frac c 2 v x 2 t c 2 beta y 2 Siendo b y displaystyle beta y una constante de integracion que debe determinarse a partir de las condiciones de contorno De la segunda ecuacion diferencial se obtiene v x 1 v x 2 v y 2 c 2 w t b x v x t w t b x 1 w t b x 2 b y 2 c 2 displaystyle frac v x sqrt 1 v x 2 v y 2 c 2 wt beta x quad Rightarrow quad v x t frac wt beta x sqrt 1 cfrac wt beta x 2 beta y 2 c 2 Integrando esta ultima ecuacion se tiene x t x 0 c 2 w 1 b x 2 b y 2 c 2 1 w t b x 2 b y 2 c 2 displaystyle x t x 0 frac c 2 w left sqrt 1 frac beta x 2 beta y 2 c 2 sqrt 1 frac wt beta x 2 beta y 2 c 2 right Vease tambien EditarTrayectoria balistica Velocidad relativa Cinematica Caida libreBibliografia EditarKoetsier Teun 1994 8 3 Kinematics en Grattan Guiness Ivor ed Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences 2 Routledge pp 994 1001 ISBN 0 415 09239 6 Moon Francis C 2007 The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux Kinematics of Machines from the Renaissance to the 20th Century Springer ISBN 978 1 4020 5598 0 Eduard Study 1913 D H Delphenich translator Foundations and goals of analytical kinematics Analytical Ballistic Trajectories with Approximately Linear Drag International Journal of Computer Games Technology Hindawi Publishing Corporation 2014 1 13 2014 doi 10 1155 2014 463489 Datos Q10281355 Multimedia Parabolic trajectoriesObtenido de https es wikipedia org w index php title Movimiento parabolico amp oldid 136816978, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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