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Movimiento circular uniforme

En física, el movimiento circular uniforme (M.C.U.) es el que describe un cuerpo que se mueve alrededor de un eje de giro con un radio y una velocidad angular (ω) constantes, trazando una circunferencia y con una aceleración centrípeta. En este movimiento la dirección varia en cada instante, un ejemplo de este movimiento es una rueda de automóvil que gira a una ω constante.

Movimiento circular uniforme de un satélite alrededor de la Tierra

Cinemática del MCU en mecánica clásica

Ángulo y velocidad angular

El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.

La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene   radianes.

La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:

 

Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.

Posición

 

Se considera un sistema de referencia en el plano x,y, con vectores unitarios en la dirección de estos ejes  . La posición de la partícula en función del ángulo de giro   y del radio r es en un sistema de referencia cartesiano x,y:

 

De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:

 

siendo:

 : es el vector de posición de la partícula.
 : es el radio de la trayectoria.

Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (ω):

 

 

El ángulo (φ), debe medirse en radianes:

 

donde s es la longitud del arco de circunferencia
Según esta definición:

1 vuelta = 360° = 2 π radianes

½ vuelta = 180° = π radianes
¼ de vuelta = 90° = π /2 radianes

Velocidad

La velocidad se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación tangencial:

 

La relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial es:

 

El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar   y comprobando que es nulo.

Aceleración

La aceleración, que para el movimiento circular uniforme es siempre normal, se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación:

 

de modo que

 

Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular, por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.

El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad   de la partícula, ya que, en virtud de la relación  , resulta

 

Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve con rapidez constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.

Movimiento circular y movimiento armónico

En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:

 

El momento angular puede calcularse como:

 

De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares.

Período y frecuencia

El período   representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:

 

La frecuencia   mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:

 

Por consiguiente, la frecuencia es la inversa del período:

 

Movimiento circular en mecánica relativista

Si bien la teoría especial de la relatividad permite que una partícula no cargada esté en movimiento circular uniforme, esto en general no resulta posible para una partícula cargada a la que no se le suministra energía adicional. Esto se debe a que una partícula cargada acelerada emite radicación electromagnética perdiendo energía en ese proceso. Eso es precisamente lo que sucede en un sincrotrón que es un tipo de acelerador de partículas (de hecho la radicación de sincrotón emitida por partículas aceleradas en un anillo puede usarse con fines médicos).

Además, en la mecánica relativista el cociente entre la fuerza centrípeta y la aceleración centrípeta, es diferente del cociente entre la fuerza tangencial y la aceleración tangencial. Esto introduce una diferencia fundamental con el caso newtoniano: la aceleración y la fuerza relativistas no son vectores necesariamente paralelos:

 

De la relación anterior, se deduce que la fuerza y la aceleración solo son paralelas en dos casos:

 

El primer caso se da cuando la aceleración y la velocidad son perpendiculares, cosa que sucede en el movimiento circular uniforme (o helicoidal uniforme). El segundo caso se da en un movimiento rectilíneo. En cualquier otro tipo de movimiento en general la fuerza y la aceleración no serán permanentemente paralelas.

Movimiento circular en mecánica cuántica

En mecánica cuántica si bien no puede hablarse de trayectoria con precisión pueden ser analizados los estados cuánticos estacionarios de unas partículas que deben moverse a lo largo de un anillo. Los estados estacionarios de una partícula en un anillo son el análogo cuántico del movimiento circular uniforme. Para una partícula moviéndose sobre un anillo con momento angular bien definido la función de onda viene dada por:

 

Puede observarse que la densidad de probabilidad es uniforme, al igual que sucede en el caso clásico.

Un hecho interesante es que las predicciones para una partícula cargada, en movimiento circular uniforme, es que esta no tiene porqué emitir fotones, de la misma manera que el electrón orbitante alrededor del núcleo atómico no emite energía, por ser el valor resultante de la aceleración vectorial nula, al ser la distribución simétrica respecto al núcleo atómico.

Véase también

Referencia

Bibliografía


Enlaces externos

  • Curso Interactivo de Física en Internet. Ángel Franco García.
  •   Datos: Q2736083

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En fisica el movimiento circular uniforme M C U es el que describe un cuerpo que se mueve alrededor de un eje de giro con un radio y una velocidad angular w constantes trazando una circunferencia y con una aceleracion centripeta En este movimiento la direccion varia en cada instante un ejemplo de este movimiento es una rueda de automovil que gira a una w constante Movimiento circular uniforme de un satelite alrededor de la Tierra Indice 1 Cinematica del MCU en mecanica clasica 1 1 Angulo y velocidad angular 1 2 Posicion 1 3 Velocidad 1 4 Aceleracion 1 5 Movimiento circular y movimiento armonico 2 Periodo y frecuencia 3 Movimiento circular en mecanica relativista 4 Movimiento circular en mecanica cuantica 5 Vease tambien 6 Referencia 6 1 Bibliografia 6 2 Enlaces externosCinematica del MCU en mecanica clasica EditarAngulo y velocidad angular Editar El angulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional llamada radian Un radian es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia y la circunferencia completa tiene 2 p displaystyle 2 pi radianes La velocidad angular es la variacion del desplazamiento angular por unidad de tiempo w d f d t displaystyle omega frac mathrm d varphi mathrm d t Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido velocidad y aceleracion segun el modelo fisico cinematico Posicion Editar Se considera un sistema de referencia en el plano x y con vectores unitarios en la direccion de estos ejes O i j displaystyle text O mathbf i mathbf j La posicion de la particula en funcion del angulo de giro f displaystyle varphi y del radio r es en un sistema de referencia cartesiano x y x r cos f y r sin f displaystyle begin 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mediante derivacion tangencial v d r d t r w sin w t i r w cos w t j displaystyle mathbf v frac mathrm d mathbf r mathrm d t r omega sin omega t mathbf i r omega cos omega t mathbf j La relacion entre la velocidad angular y la velocidad tangencial es v v r w sin w t 2 r w cos w t 2 w r displaystyle v mathbf v sqrt r omega sin omega t 2 r omega cos omega t 2 omega r El vector velocidad es tangente a la trayectoria lo que puede comprobarse facilmente efectuando el producto escalar r v displaystyle mathbf r cdot mathbf v y comprobando que es nulo Aceleracion Editar La aceleracion que para el movimiento circular uniforme es siempre normal se obtiene a partir del vector velocidad con la derivacion a d v d t r w 2 cos w t i r w 2 sin w t j displaystyle mathbf a frac mathrm d mathbf v mathrm d t r omega 2 cos omega t mathbf i r omega 2 sin omega t mathbf j de modo que a w 2 r displaystyle mathbf a omega 2 mathbf r Asi pues el vector aceleracion tiene direccion opuesta al vector de posicion normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleracion normal o centripeta El modulo de la aceleracion es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro aunque lo podemos expresar tambien en funcion de la celeridad v displaystyle v de la particula ya que en virtud de la relacion v w r displaystyle v omega r resulta a a w 2 r v 2 r displaystyle a mathbf a omega 2 r frac v 2 r Esta aceleracion es la unica que experimenta la particula cuando se mueve con rapidez constante en una trayectoria circular por lo que la particula debera ser atraida hacia el centro mediante una fuerza centripeta que la aparte de una trayectoria rectilinea como corresponderia por la ley de inercia Movimiento circular y movimiento armonico Editar En dos dimensiones la composicion de dos movimientos armonicos de la misma frecuencia y amplitud convenientemente desfasados dan lugar a un movimiento circular uniforme Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones x t R 0 sin w t p 2 y t R 0 sin w t displaystyle x t R 0 sin omega t pi 2 qquad y t R 0 sin omega t El momento angular puede calcularse como L x p y y p x m x v y y v x m w R 2 displaystyle L xp y yp x m xv y yv x m omega R 2 De hecho las orbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composicion de dos movimientos armonicos segun dos direcciones mutuamente perpendiculares Periodo y frecuencia EditarEl periodo T displaystyle T representa el tiempo necesario para que el movil complete una vuelta y viene dado por T 2 p w displaystyle T frac 2 pi omega La frecuencia f displaystyle f mide el numero de revoluciones o vueltas completadas por el movil en la unidad de tiempo y viene dada por f w 2 p displaystyle f frac omega 2 pi Por consiguiente la frecuencia es la inversa del periodo f 1 T displaystyle f frac 1 T Movimiento circular en mecanica relativista EditarSi bien la teoria especial de la relatividad permite que una particula no cargada este en movimiento circular uniforme esto en general no resulta posible para una particula cargada a la que no se le suministra energia adicional Esto se debe a que una particula cargada acelerada emite radicacion electromagnetica perdiendo energia en ese proceso Eso es precisamente lo que sucede en un sincrotron que es un tipo de acelerador de particulas de hecho la radicacion de sincroton emitida por particulas aceleradas en un anillo puede usarse con fines medicos Ademas en la mecanica relativista el cociente entre la fuerza centripeta y la aceleracion centripeta es diferente del cociente entre la fuerza tangencial y la aceleracion tangencial Esto introduce una diferencia fundamental con el caso newtoniano la aceleracion y la fuerza relativistas no son vectores necesariamente paralelos F d d t m v 1 v 2 c 2 m v 1 v 2 c 2 3 2 v c 2 a m a 1 v 2 c 2 displaystyle mathbf F frac mathrm d mathrm d t left frac m mathbf v sqrt 1 frac v 2 c 2 right frac m mathbf v 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circular uniforme Para una particula moviendose sobre un anillo con momento angular bien definido la funcion de onda viene dada por PS f 1 2 p e i L z ℏ f displaystyle Psi varphi frac 1 sqrt 2 pi e i frac L z hbar varphi Puede observarse que la densidad de probabilidad es uniforme al igual que sucede en el caso clasico Un hecho interesante es que las predicciones para una particula cargada en movimiento circular uniforme es que esta no tiene porque emitir fotones de la misma manera que el electron orbitante alrededor del nucleo atomico no emite energia por ser el valor resultante de la aceleracion vectorial nula al ser la distribucion simetrica respecto al nucleo atomico Vease tambien EditarMovimiento armonico simple Movimiento circular Cinematica AceleracionReferencia EditarBibliografia Editar Ortega Manuel R 1989 2006 Lecciones de Fisica 4 volumenes Monytex ISBN 84 404 4290 4 ISBN 84 398 9218 7 ISBN 84 398 9219 5 ISBN 84 604 4445 7 Resnick Robert amp Halliday David 2004 Fisica 4ª 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