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Movimiento vibratorio armónico simple

En el campo de la física, el movimiento vibratorio armónico simple (m.v.a.s.) o solamente movimiento armónico simple (M.A.S.), es un movimiento periódico de vaivén en el que un cuerpo oscila de un lado a otro de su posición de equilibrio y en intervalos de tiempo iguales. Algunos ejemplos de este movimiento son el movimiento de un péndulo simple o el movimiento de una partícula oscilante sujeta a un resorte que se ha comprimido.

Movimiento armónico simple, mostrado en el espacio real y en el espacio físico. La órbita es periódica.


En el caso de que la trayectoria sea rectilínea, la partícula que realiza un m.a.s. oscila alejándose y acercándose de un punto, situado en el centro de su trayectoria, de tal manera que su posición en función del tiempo con respecto a ese punto es una sinusoide. En este movimiento, la fuerza que actúa sobre la partícula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia este.

Mecánica clásica

Movimiento armónico simple

 
Péndulo simple en movimiento armónico simple con oscilaciones pequeñas.
 
Evolución en el tiempo del desplazamiento, la velocidad y la aceleración en un movimiento circular uniforme.

El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila de un lado al otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo. Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo. El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja.

Es también, el movimiento que realiza cada uno de los puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra en vibración; pero, pongamos atención, no es el movimiento de la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado del movimiento global y simultáneo de todos los puntos de la cuerda.

 
Posición (negro), velocidad (verde) y aceleración (rojo) de un oscilador armónico simple.

Respecto a su posición de equilibrio. En un desplazamiento a lo largo del eje Ox, tomando el origen O en la posición de equilibrio, esta fuerza es tal que   donde   es una constante positiva y   es la elongación. El signo negativo indica que en todo momento la fuerza que actúa sobre la partícula está dirigida hacía la posición de equilibrio; esto es, en dirección contraria a su elongación (la «atrae» hacia la posición de equilibrio).

Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define entonces en una dimensión mediante la ecuación diferencial:

(1) 

Siendo   la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo   se obtiene la siguiente ecuación donde   es la frecuencia angular del movimiento:

(2) 

La solución de la ecuación diferencial. (2) puede escribirse en la forma

(3) 

donde:

  es la elongación o desplazamiento respecto al punto de equilibrio.
  es la amplitud del movimiento (elongación máxima).
  es la frecuencia angular
  es el tiempo.
  es la fase inicial e indica el estado de oscilación o vibración (o fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila.

Además, la frecuencia de oscilación puede escribirse como esto:

(4) , y por lo tanto el periodo como  

La velocidad y aceleración de la partícula pueden obtenerse derivando respecto del tiempo la expresión  .

Velocidad

La oscilación instantánea de un punto material que ejecuta un movimiento armónico simple se obtiene por lo tanto derivando la posición respecto al tiempo:

(5) 

Aceleración Máxima

es la variación de la velocidad del movimiento respecto al tiempo de espera y se obtiene por lo tanto derivando la ecuación de la velocidad respecto al tiempo de encuentro:

(6) 

Amplitud y fase iniciales

La amplitud   y la fase inicial   se pueden calcular a partir de las condiciones iniciales del movimiento, esto es de los valores de la elongación   y de la velocidad   iniciales.

(7) 

(8) 

Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos

(9) 

Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos

(10) 

Dinámica del movimiento armónico simple

En el movimiento armónico simple la fuerza que actúa sobre el móvil es directamente proporcional al desplazamiento:

(11) 

Un ejemplo, sería el que realiza un objeto unido al extremo de un muelle. En ese caso k sería la constante de elasticidad del muelle. Aplicando la segunda ley de newton tendríamos:

(12) 

Comparando esta ecuación y la que teníamos para la aceleración (6) se deduce:

(13) 

Esta ecuación nos permite expresar el periodo (T) del movimiento armónico simple en función de la masa de la partícula y de la constante elástica de la fuerza que actúa sobre ella:

(14) 

Energía del movimiento armónico simple

 
Energías cinética (Ec), potencial (Ep) y mecánica (Em) en el movimiento armónico en función de la elongación.

Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple son centrales y, por tanto, conservativas. En consecuencia, se puede definir un campo escalar llamado energía potencial (Ep) asociado a la fuerza. Para hallar la expresión de la energía potencial, basta con integrar la expresión de la fuerza (esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo, obteniéndose:

(15) 

La energía potencial alcanza su máximo en los extremos de la trayectoria y tiene valor nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el punto de equilibrio.

La energía cinética cambiará a lo largo de las oscilaciones pues lo hace la velocidad:

(16) 

La energía cinética es nula en -A o +A (v=0) y el valor máximo se alcanza en el punto de equilibrio (máxima velocidad Aω).

(17) 

Como sólo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica (suma de la energía cinética y potencial) permanece constante.

(18) 

Finalmente, al ser la energía mecánica constante, puede calcularse fácilmente considerando los casos en los que la velocidad de la partícula es nula y por lo tanto la energía potencial es máxima, es decir, en los puntos   y  . Se obtiene entonces que,

(19) 

O también cuando la velocidad de la partícula es máxima y la energía potencial nula, en el punto de equilibrio  

(20) 

Ejemplos

Medición de masa en ingravidez

En condiciones de ingravidez no es posible medir la masa de un cuerpo a partir de su peso. Sin embargo, se puede recurrir al principio del movimiento armónico simple para realizar tal medición.

Para ello se instaló en la estación espacial Skylab un dispositivo (experimento M172[1]​) destinado a medir la masa de los tripulantes consistente en una silla oscilante capaz de medir su periodo de oscilación   electrónicamente. A partir de este dato, y conociendo la constante de fuerza del resorte unido a la silla, es posible entonces calcular la masa del individuo:

(21) 

Mecánica relativista y mecánica cuántica

En mecánica relativista el análogo del movimiento armónico simple, es un movimiento en el que la fuerza es proporcional a la elongación pero debido a las peculiaridades de la teoría de la relatividad el movimiento resultante es sólo cuasiarmónico, y no exactamente armónico. En mecánica cuántica no puede hablarse propiamente de trayectorias, pero existe también un análogo cuántico de dicho movimiento.

Mecánica relativista

El problema del oscilador en mecánica relativista no admite una solución analítica simple debido a que la ecuación del movimiento implica integrar la siguiente ecuación:[2]

 

Sin embargo, puede una solución aproximada con las condiciones de contorno   dada por:[2]

 

donde:

 
 

Mecánica cuántica

 
Funciones de onda para los ocho primeros autoestados,  . El eje horizontal muestra la posición y en unidades (h/2πmω)1/2. Las gráficas están sin normalizar.

Una partícula de masa m sin espín sometida a un potencial cuadrático ejecuta en mecánica clásica un movimiento armónico simple, el equivalente cuántico de este movimiento, es el de una partícula sometida al potencial:

 

Por lo que por lo expuesto anteriormente el espectro de posibles energías de la partícula será puramente puntual (es decir, será una combinación de funciones de niveles energéticos separados). Los posibles valores de la energía son:

 

y las funciones de onda asociadas son:

 

donde   son los polinomios de Hermite.

Véase también

Referencias

  1. NASA. «Mass Measurements Aboard Space Station Skylab». 
  2. A. Beléndez et al. "Approximate analytical solutions for the relativistic oscillator using a linearized harmonic balance method", International Journal of Modern Physics B. Vol. 23, No. 4 (2009). ISSN 0217-9792, pp. 521-536, doi: 10.1142/S0217979209049954

Bibliografía

Enlaces externos

  • – Abundante información para el nivel de la Física Universitaria. Incluye textos y animaciones.
  • Curso Interactivo de Física en Internet – Ángel Franco García.
  • Fórmulas del movimiento armónico simple – Cinemática, Dinámica y Energía del M.A.S.
  • Script de Física de Ingeniería Mecánica, desde la página 50, movimiento armónico simple.
  • Simple Harmonic Motion – Splung (en inglés)
  •   Datos: Q835975
  •   Multimedia: Simple harmonic motion

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En el campo de la fisica el movimiento vibratorio armonico simple m v a s o solamente movimiento armonico simple M A S es un movimiento periodico de vaiven en el que un cuerpo oscila de un lado a otro de su posicion de equilibrio y en intervalos de tiempo iguales Algunos ejemplos de este movimiento son el movimiento de un pendulo simple o el movimiento de una particula oscilante sujeta a un resorte que se ha comprimido Movimiento armonico simple mostrado en el espacio real y en el espacio fisico La orbita es periodica En el caso de que la trayectoria sea rectilinea la particula que realiza un m a s oscila alejandose y acercandose de un punto situado en el centro de su trayectoria de tal manera que su posicion en funcion del tiempo con respecto a ese punto es una sinusoide En este movimiento la fuerza que actua sobre la particula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia este Indice 1 Mecanica clasica 1 1 Movimiento armonico simple 1 2 Velocidad 1 3 Aceleracion Maxima 1 4 Amplitud y fase iniciales 1 5 Dinamica del movimiento armonico simple 1 6 Energia del movimiento armonico simple 2 Ejemplos 2 1 Medicion de masa en ingravidez 3 Mecanica relativista y mecanica cuantica 3 1 Mecanica relativista 3 2 Mecanica cuantica 4 Vease tambien 5 Referencias 5 1 Bibliografia 5 2 Enlaces externosMecanica clasica EditarMovimiento armonico simple Editar Pendulo simple en movimiento armonico simple con oscilaciones pequenas Evolucion en el tiempo del desplazamiento la velocidad y la aceleracion en un movimiento circular uniforme El movimiento armonico simple es un movimiento periodico de vaiven en el que un cuerpo oscila de un lado al otro de su posicion de equilibrio en una direccion determinada y en intervalos iguales de tiempo Por ejemplo es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo El objeto oscila alrededor de la posicion de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad En este caso el cuerpo sube y baja Es tambien el movimiento que realiza cada uno de los puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra en vibracion pero pongamos atencion no es el movimiento de la cuerda sino el movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir en la cuerda El movimiento de la cuerda un movimiento ondulatorio es el resultado del movimiento global y simultaneo de todos los puntos de la cuerda Posicion negro velocidad verde y aceleracion rojo de un oscilador armonico simple Respecto a su posicion de equilibrio En un desplazamiento a lo largo del eje Ox tomando el origen O en la posicion de equilibrio esta fuerza es tal que F x k x displaystyle F x kx donde k displaystyle k es una constante positiva y x displaystyle x es la elongacion El signo negativo indica que en todo momento la fuerza que actua sobre la particula esta dirigida hacia la posicion de equilibrio esto es en direccion contraria a su elongacion la atrae hacia la posicion de equilibrio Aplicando la segunda ley de Newton el movimiento armonico simple se define entonces en una dimension mediante la ecuacion diferencial 1 m d 2 x d t 2 k x displaystyle m frac d 2 x dt 2 kx Siendo m displaystyle m la masa del cuerpo en desplazamiento Escribiendo w 2 k m displaystyle scriptstyle omega 2 k m se obtiene la siguiente ecuacion donde w displaystyle omega es la frecuencia angular del movimiento 2 d 2 x d t 2 a t w 2 x displaystyle frac d 2 x dt 2 a t omega 2 x La solucion de la ecuacion diferencial 2 puede escribirse en la forma 3 x t A cos w t ϕ displaystyle x t A cos omega t phi donde x displaystyle x es la elongacion o desplazamiento respecto al punto de equilibrio A displaystyle A es la amplitud del movimiento elongacion maxima w displaystyle omega es la frecuencia angular t displaystyle t es el tiempo ϕ displaystyle phi es la fase inicial e indica el estado de oscilacion o vibracion o fase en el instante t 0 de la particula que oscila Ademas la frecuencia de oscilacion puede escribirse como esto 4 f w 2 p 1 2 p k m displaystyle f frac omega 2 pi frac 1 2 pi sqrt frac k m y por lo tanto el periodo como T 1 f 2 p w 2 p m k displaystyle T frac 1 f frac 2 pi omega 2 pi sqrt frac m k La velocidad y aceleracion de la particula pueden obtenerse derivando respecto del tiempo la expresion x t A cos w t ϕ displaystyle x t A cos omega t phi Velocidad Editar La oscilacion instantanea de un punto material que ejecuta un movimiento armonico simple se obtiene por lo tanto derivando la posicion respecto al tiempo 5 v d x d t w A sen w t ϕ displaystyle v frac dx dt omega A operatorname sen omega t phi Aceleracion Maxima Editar es la variacion de la velocidad del movimiento respecto al tiempo de espera y se obtiene por lo tanto derivando la ecuacion de la velocidad respecto al tiempo de encuentro 6 a t d v t d t w 2 A cos w t ϕ w 2 x t displaystyle a t frac dv t dt omega 2 A cos omega t phi omega 2 x t Amplitud y fase iniciales Editar La amplitud A displaystyle A y la fase inicial ϕ displaystyle phi se pueden calcular a partir de las condiciones iniciales del movimiento esto es de los valores de la elongacion x 0 displaystyle x 0 y de la velocidad v 0 displaystyle v 0 iniciales 7 x 0 A cos ϕ x 0 2 A 2 cos 2 ϕ displaystyle x 0 A cos phi qquad Rightarrow qquad x 0 2 A 2 cos 2 phi 8 v 0 w A sin ϕ v 0 2 w 2 A 2 sin 2 ϕ v 0 2 w 2 A 2 sin 2 ϕ displaystyle v 0 omega A sin phi qquad Rightarrow qquad v 0 2 omega 2 A 2 sin 2 phi qquad Rightarrow qquad frac v 0 2 omega 2 A 2 sin 2 phi Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones 7 y 8 obtenemos 9 x 0 2 v 0 2 w 2 A 2 cos 2 ϕ sin 2 ϕ A 2 A x 0 2 v 0 2 w 2 displaystyle x 0 2 frac v 0 2 omega 2 A 2 cos 2 phi sin 2 phi A 2 qquad Rightarrow qquad A sqrt x 0 2 frac v 0 2 omega 2 Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones 7 y 8 obtenemos 10 v 0 x 0 w A sin ϕ A cos ϕ w tan ϕ ϕ arctan v 0 w x 0 displaystyle frac v 0 x 0 frac omega A sin phi A cos phi omega tan phi qquad Rightarrow qquad phi arctan left frac v 0 omega x 0 right Dinamica del movimiento armonico simple Editar En el movimiento armonico simple la fuerza que actua sobre el movil es directamente proporcional al desplazamiento 11 F k x displaystyle F k x Un ejemplo seria el que realiza un objeto unido al extremo de un muelle En ese caso k seria la constante de elasticidad del muelle Aplicando la segunda ley de newton tendriamos 12 F k x m a a k m x displaystyle F k x m a quad Rightarrow quad a frac k m x Comparando esta ecuacion y la que teniamos para la aceleracion 6 se deduce 13 w 2 k m displaystyle omega 2 frac k m Esta ecuacion nos permite expresar el periodo T del movimiento armonico simple en funcion de la masa de la particula y de la constante elastica de la fuerza que actua sobre ella 14 T 2 p m k displaystyle T 2 pi sqrt frac m k Energia del movimiento armonico simple Editar Energias cinetica Ec potencial Ep y mecanica Em en el movimiento armonico en funcion de la elongacion Las fuerzas involucradas en un movimiento armonico simple son centrales y por tanto conservativas En consecuencia se puede definir un campo escalar llamado energia potencial Ep asociado a la fuerza Para hallar la expresion de la energia potencial basta con integrar la expresion de la fuerza esto es extensible a todas las fuerzas conservativas y cambiarla de signo obteniendose 15 E p 1 2 k x 2 displaystyle E p frac 1 2 kx 2 La energia potencial alcanza su maximo en los extremos de la trayectoria y tiene valor nulo cero en el punto x 0 es decir el punto de equilibrio La energia cinetica cambiara a lo largo de las oscilaciones pues lo hace la velocidad 16 E c 1 2 m v 2 displaystyle E c frac 1 2 m v 2 La energia cinetica es nula en A o A v 0 y el valor maximo se alcanza en el punto de equilibrio maxima velocidad Aw 17 E c m a x 1 2 m w 2 A 2 displaystyle E c max frac 1 2 m omega 2 A 2 Como solo actuan fuerzas conservativas la energia mecanica suma de la energia cinetica y potencial permanece constante 18 E p E c E m displaystyle E p E c E m Finalmente al ser la energia mecanica constante puede calcularse facilmente considerando los casos en los que la velocidad de la particula es nula y por lo tanto la energia potencial es maxima es decir en los puntos x A displaystyle x A y x A displaystyle x A Se obtiene entonces que 19 E m E p m a x 0 1 2 k A 2 displaystyle E m E p max 0 frac 1 2 kA 2 O tambien cuando la velocidad de la particula es maxima y la energia potencial nula en el punto de equilibrio x 0 displaystyle x 0 20 E m 0 E c m a x 1 2 m w 2 A 2 displaystyle E m 0 E c max frac 1 2 m omega 2 A 2 Ejemplos EditarMedicion de masa en ingravidez Editar En condiciones de ingravidez no es posible medir la masa de un cuerpo a partir de su peso Sin embargo se puede recurrir al principio del movimiento armonico simple para realizar tal medicion Para ello se instalo en la estacion espacial Skylab un dispositivo experimento M172 1 destinado a medir la masa de los tripulantes consistente en una silla oscilante capaz de medir su periodo de oscilacion T displaystyle T electronicamente A partir de este dato y conociendo la constante de fuerza del resorte unido a la silla es posible entonces calcular la masa del individuo 21 T 2 p m k m T 2 p 2 k displaystyle T 2 pi sqrt frac m k qquad Rightarrow qquad m left frac T 2 pi right 2 k Mecanica relativista y mecanica cuantica EditarEn mecanica relativista el analogo del movimiento armonico simple es un movimiento en el que la fuerza es proporcional a la elongacion pero debido a las peculiaridades de la teoria de la relatividad el movimiento resultante es solo cuasiarmonico y no exactamente armonico En mecanica cuantica no puede hablarse propiamente de trayectorias pero existe tambien un analogo cuantico de dicho movimiento Mecanica relativista Editar El problema del oscilador en mecanica relativista no admite una solucion analitica simple debido a que la ecuacion del movimiento implica integrar la siguiente ecuacion 2 d 2 x d t 2 1 1 c d x d t 2 3 2 k m x displaystyle frac mathrm d 2 x mathrm d t 2 left 1 left frac 1 c frac mathrm d x mathrm d t right 2 right 3 2 frac k m x Sin embargo puede una solucion aproximada con las condiciones de contorno x 0 0 x 0 v 0 displaystyle x 0 0 dot x 0 v 0 dada por 2 x t c w 2 B arcsin v 0 c sin w 2 t displaystyle x t frac c omega 2 B arcsin left frac v 0 c sin omega 2 t right donde B v 0 c 2 v 0 2 displaystyle B v 0 sqrt c 2 v 0 2 w 2 B w 256 312 B 2 83 B 4 4 3 B 2 512 1008 B 2 620 B 4 114 B 6 displaystyle omega 2 B omega sqrt frac 256 312B 2 83B 4 sqrt 4 3B 2 512 1008B 2 620B 4 114B 6 Mecanica cuantica Editar Articulo principal Oscilador armonico cuantico Funciones de onda para los ocho primeros autoestados v 0 a 7 displaystyle v 0 mbox a 7 El eje horizontal muestra la posicion y en unidades h 2pmw 1 2 Las graficas estan sin normalizar Una particula de masa m sin espin sometida a un potencial cuadratico ejecuta en mecanica clasica un movimiento armonico simple el equivalente cuantico de este movimiento es el de una particula sometida al potencial V x m w 2 x 2 2 V V V L 0 displaystyle V x frac m omega 2 x 2 2 qquad V infty qquad V infty qquad V L 0 Por lo que por lo expuesto anteriormente el espectro de posibles energias de la particula sera puramente puntual es decir sera una combinacion de funciones de niveles energeticos separados Los posibles valores de la energia son E n ℏ w n 1 2 displaystyle E n hbar omega left n frac 1 2 right y las funciones de onda asociadas son ps n x 1 2 n n m w p ℏ 1 4 e m w x 2 2 ℏ H n m w ℏ x H n x 1 n e x 2 d n d x n e x 2 displaystyle psi n x sqrt frac 1 2 n n left frac m omega pi hbar right 1 4 e left frac m omega x 2 2 hbar right H n left sqrt frac m omega hbar x right qquad H n x 1 n e x 2 frac d n dx n e x 2 donde H n displaystyle scriptstyle H n son los polinomios de Hermite Vease tambien EditarPendulo Pendulo simple Pendulo fisico Oscilador armonico Movimiento circular uniforme Movimiento armonico complejoReferencias Editar NASA Mass Measurements Aboard Space Station Skylab a b A Belendez et al Approximate analytical solutions for the relativistic oscillator using a linearized harmonic balance method International Journal of Modern Physics B Vol 23 No 4 2009 ISSN 0217 9792 pp 521 536 doi 10 1142 S0217979209049954 Bibliografia Editar Marion Jerry B 1996 Dinamica clasica de las particulas y sistemas Barcelona Ed Reverte ISBN 84 291 4094 8 Ortega Manuel R 1989 2006 Lecciones de Fisica 4 volumenes Monytex ISBN 84 404 4290 4 ISBN 84 398 9218 7 ISBN 84 398 9219 5 ISBN 84 604 4445 7 Resnick Robert amp Krane Kenneth S 2001 Physics en ingles New York John Wiley amp Sons ISBN 0 471 32057 9 Enlaces externos Editar Fisica Universitaria Abundante informacion para el nivel de la Fisica Universitaria Incluye textos y animaciones Curso Interactivo de Fisica en Internet Angel Franco Garcia Formulas del movimiento armonico simple Cinematica Dinamica y Energia del M A S Script de Fisica de Ingenieria Mecanica desde la pagina 50 movimiento armonico simple Simple Harmonic Motion Splung en ingles Datos Q835975 Multimedia Simple harmonic motion Obtenido de https es wikipedia org w index php title Movimiento vibratorio armonico simple amp oldid 139745133, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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