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Movimiento armónico complejo

Un movimiento armónico complejo es un movimiento superposición lineal de movimientos armónicos simples. Aunque un movimiento armónico simple es siempre periódico, un movimiento armónico complejo no necesariamente es periódico, aunque sí puede ser analizado mediante [análisis armónico] de Fourier. Un movimiento armónico complejo es periódico solo si es la combinación de movimientos armónicos simples cuyas frecuencias son todas múltiplos racionales de una frecuencia base.

Cinemática de un movimiento armónico complejo

Un sistema que presenta oscilaciones armónicas con n grados de libertad en general tiene elongaciones Xi o movimientos a lo largo de direcciones independientes de la forma:

(1a) 

O más detalladamente:

(1b) 

Donde,   son las frecuencias propias del sistema,   las fases iniciales. Cada uno de los vectores columna de la matriz A se llama modo propio de vibración, y los Ci son las amplitudes relativas de cada modo propio. Puede verse que para n = 1 un movimiento armónico complejo es simplemente una suma de movimientos armónicos simples:

La velocidad y la aceleración de un movimiento armónico complejo general se obtienen derivando respecto al tiempo y también resultan ser movimientos armónicos complejos, composición de movimientos de las misma frecuencias propias. Aunque ahora no tienen por qué existir puntos de velocidad cero, como sucede en el movimiento armónico simple.

Periodicidad

Un movimiento se dice periódico cuando se repite a intervalos regulares de tiempo; esto es, si después de cierto intervalo de tiempo constante, vuelve a pasar por la misma posición y con la misma velocidad. La periodicidad requiere que el vector de posiciones x(t) = x(t+T) para todo t y para algún valor de T. Para el caso de un movimiento armónico complejo como (1a) eso requiere que, para todo i,

 

La periodicidad tan solo es posible si para cualesquiera frecuencias su cociente es un número racional. Siendo como es que los números racionales son un conjunto de medida cero o conjunto nulo, la probabilidad de que el cociente de todas las frecuencias sea un número racional es cero y, por tanto, los movimientos armónicos complejos reales son cuasiperiódicos, pero no periódicos.

Ecuación de movimiento

El movimiento armónico complejo dado por (1a) o (1b) es solución de una ecuación de un problema de pequeñas vibraciones del tipo:

 

Donde:

 , es la llamada matriz de masa que representa la inercia del sistema.
 , es la llamada matriz de rigidez que representa la intensidad de las fuerzas de recuperación y son tanto mayores cuanto más rígido sea el sistema.

En el caso más general de un sistema con amortiguamiento lineal y fuerza de excitación interna, la ecuación de movimiento es más general:

 

Donde se ha añadido una matriz   que da cuenta del amortiguamiento.

Oscilaciones acopladas

Un caso común de movimiento armónico complejo es el caso del problema de oscilaciones acopladas. Este problema de oscilaciones acopladas aparece, por ejemplo, en las vibraciones térmicas de un cristal, en el movimiento horizontal de un edificio en un terremoto y en el movimiento de un sistema de masas unidas por muelles o resortes. Estos problemas conducen a un sistema de ecuaciones del siguiente tipo:

(2)

 

Que en forma matricial puede escribirse como:

(2') 

El problema puede resolverse mediante ciertos cambios de variables que llevan a las coordenadas normales o amplitudes de los modos propios de vibración, que son de hecho una forma particular de coordenadas generalizadas para el problema mecánico original.

Frecuencias y modos propios

Los modos propios proporcionan una solución del problema (2') de la forma (1). Para ello es necesario determinar una serie de frecuencias naturales del sistema que pueden calcularse como:

 

Esto proporciona N soluciones para el cuadrado de la frecuencia natural. Para cada una de estas soluciones se busca un vector unitario, llamado modo propio, que satisfaga la ecuación compatible indeterminada:

 

Puede comprobarse que estos vectores representando los diversos modos propios del sistema son ortogonales entre sí, por lo que la matriz formada por todos ellos es una matriz ortogonal:

 

Las coordenadas normales, asociadas a los modos propios, se obtienen mediante un cambio lineal a partir de las coordenadas convencionales:

 

Donde  , cumpliéndose que B' es la matriz inversa de A (A·B = B·A = I).

Solución del problema de oscilaciones libres

La solución general se puede obtener fácilmente resolviendo el problema en coordenadas normales. Usando estas coordenadas se obtiene fácilmente si se tiene en cuenta que  :

 

Pero debido a las propiedades de la matriz   la matriz entre corchetes resulta ser una matriz diagonal y por tanto la solución de ese último sistema se obtiene resolviendo N ecuaciones para cada una de las un conjunto de ecuaciones del tipo:

 

En términos de las coordenadas normales y la matriz de modos propios, la solución general del sistema se escribe:

 

Solución del problema de oscilaciones forzadas amortiguadas

La solución general se obtiene igual que antes usando coordenadas normales  :

 

Por construcción de las coordenadas ortogonales las matrices que multiplican a   y   son diagonales (esto requiere como condición adicional que  ), por lo que el último sistema se reduce a N ecuaciones independientes del tipo:

 

Por lo que la solución resulta ser finalmente:

 

Es decir, la combinación lineal de N movimientos armónicos forzados amortiguados.

  •   Datos: Q3622925

movimiento, armónico, complejo, movimiento, armónico, complejo, movimiento, superposición, lineal, movimientos, armónicos, simples, aunque, movimiento, armónico, simple, siempre, periódico, movimiento, armónico, complejo, necesariamente, periódico, aunque, pue. Un movimiento armonico complejo es un movimiento superposicion lineal de movimientos armonicos simples Aunque un movimiento armonico simple es siempre periodico un movimiento armonico complejo no necesariamente es periodico aunque si puede ser analizado mediante analisis armonico de Fourier Un movimiento armonico complejo es periodico solo si es la combinacion de movimientos armonicos simples cuyas frecuencias son todas multiplos racionales de una frecuencia base Indice 1 Cinematica de un movimiento armonico complejo 1 1 Periodicidad 1 2 Ecuacion de movimiento 2 Oscilaciones acopladas 2 1 Frecuencias y modos propios 2 2 Solucion del problema de oscilaciones libres 2 3 Solucion del problema de oscilaciones forzadas amortiguadasCinematica de un movimiento armonico complejo EditarUn sistema que presenta oscilaciones armonicas con n grados de libertad en general tiene elongaciones Xi o movimientos a lo largo de direcciones independientes de la forma 1a x t j 1 n C j A j cos w j t ϕ j displaystyle mathbf x t sum j 1 n C j mathbf A j cos omega j t phi j O mas detalladamente 1b x 1 t x n t A 11 A 1 n A n 1 A n n C 1 cos w 1 t ϕ 1 C n cos w n t ϕ n j A 1 j A n j C j cos w j t ϕ j displaystyle begin pmatrix x 1 t vdots x n t end pmatrix begin pmatrix A 11 amp cdots amp A 1n vdots amp ddots amp vdots A n1 amp cdots amp A nn end pmatrix begin pmatrix C 1 cos omega 1 t phi 1 vdots C n cos omega n t phi n end pmatrix sum j begin pmatrix A 1j vdots A nj end pmatrix C j cos omega j t phi j Donde w i i 1 n displaystyle left lbrace omega i right rbrace i 1 n son las frecuencias propias del sistema ϕ i i 1 n displaystyle left lbrace phi i right rbrace i 1 n las fases iniciales Cada uno de los vectores columna de la matriz A se llama modo propio de vibracion y los Ci son las amplitudes relativas de cada modo propio Puede verse que para n 1 un movimiento armonico complejo es simplemente una suma de movimientos armonicos simples La velocidad y la aceleracion de un movimiento armonico complejo general se obtienen derivando respecto al tiempo y tambien resultan ser movimientos armonicos complejos composicion de movimientos de las misma frecuencias propias Aunque ahora no tienen por que existir puntos de velocidad cero como sucede en el movimiento armonico simple Periodicidad Editar Un movimiento se dice periodico cuando se repite a intervalos regulares de tiempo esto es si despues de cierto intervalo de tiempo constante vuelve a pasar por la misma posicion y con la misma velocidad La periodicidad requiere que el vector de posiciones x t x t T para todo t y para algun valor de T Para el caso de un movimiento armonico complejo como 1a eso requiere que para todo i cos w i t T cos w i t k 1 k n Z T 2 p k i w i 2 p k n w n displaystyle cos omega i t T cos omega i t Rightarrow left lbrace exists k 1 k n right rbrace subset mathbb Z T frac 2 pi k i omega i frac 2 pi k n omega n La periodicidad tan solo es posible si para cualesquiera frecuencias su cociente es un numero racional Siendo como es que los numeros racionales son un conjunto de medida cero o conjunto nulo la probabilidad de que el cociente de todas las frecuencias sea un numero racional es cero y por tanto los movimientos armonicos complejos reales son cuasiperiodicos pero no periodicos Ecuacion de movimiento Editar El movimiento armonico complejo dado por 1a o 1b es solucion de una ecuacion de un problema de pequenas vibraciones del tipo M x t K x t 0 displaystyle mathbf M ddot mathbf x t mathbf K mathbf x t mathbf 0 Donde M displaystyle mathbf M es la llamada matriz de masa que representa la inercia del sistema K displaystyle mathbf K es la llamada matriz de rigidez que representa la intensidad de las fuerzas de recuperacion y son tanto mayores cuanto mas rigido sea el sistema En el caso mas general de un sistema con amortiguamiento lineal y fuerza de excitacion interna la ecuacion de movimiento es mas general M x t C x t K x t F t displaystyle mathbf M ddot mathbf x t mathbf C dot mathbf x t mathbf K mathbf x t mathbf F t Donde se ha anadido una matriz C displaystyle mathbf C que da cuenta del amortiguamiento Oscilaciones acopladas EditarUn caso comun de movimiento armonico complejo es el caso del problema de oscilaciones acopladas Este problema de oscilaciones acopladas aparece por ejemplo en las vibraciones termicas de un cristal en el movimiento horizontal de un edificio en un terremoto y en el movimiento de un sistema de masas unidas por muelles o resortes Estos problemas conducen a un sistema de ecuaciones del siguiente tipo 2 m i x i k 1 N k i k x k 0 displaystyle m i ddot x i sum k 1 N k ik x k 0 Que en forma matricial puede escribirse como 2 m 1 0 0 0 m 2 0 0 0 m N x 1 x 2 x N k 11 k 12 k 1 N k 21 k 22 k 2 N k N 1 k N 2 k N N x 1 x 2 x N 0 displaystyle begin pmatrix m 1 amp 0 amp cdots amp 0 0 amp m 2 amp cdots amp 0 vdots amp vdots amp ddots amp vdots 0 amp 0 amp cdots amp m N end pmatrix begin pmatrix ddot x 1 ddot x 2 vdots ddot x N end pmatrix begin pmatrix k 11 amp k 12 amp cdots amp k 1N k 21 amp k 22 amp cdots amp k 2N vdots amp vdots amp ddots amp vdots k N1 amp k N2 amp cdots amp k NN end pmatrix begin pmatrix x 1 x 2 vdots x N end pmatrix 0 El problema puede resolverse mediante ciertos cambios de variables que llevan a las coordenadas normales o amplitudes de los modos propios de vibracion que son de hecho una forma particular de coordenadas generalizadas para el problema mecanico original Frecuencias y modos propios Editar Los modos propios proporcionan una solucion del problema 2 de la forma 1 Para ello es necesario determinar una serie de frecuencias naturales del sistema que pueden calcularse como k 11 w j 2 m 1 k 12 k 1 N k 21 k 22 w j 2 m 2 k 2 N k N 1 k N 2 k N N w j 2 m N 0 displaystyle begin vmatrix k 11 omega j 2 m 1 amp k 12 amp cdots amp k 1N k 21 amp k 22 omega j 2 m 2 amp cdots amp k 2N vdots amp vdots amp ddots amp vdots k N1 amp k N2 amp cdots amp k NN omega j 2 m N end vmatrix 0 Esto proporciona N soluciones para el cuadrado de la frecuencia natural Para cada una de estas soluciones se busca un vector unitario llamado modo propio que satisfaga la ecuacion compatible indeterminada k 11 w j 2 m 1 k 12 k 1 N k 21 k 22 w j 2 m 2 k 2 N k N 1 k N 2 k N N w j 2 m N a 1 j a 2 j a N j 0 displaystyle begin pmatrix k 11 omega j 2 m 1 amp k 12 amp cdots amp k 1N k 21 amp k 22 omega j 2 m 2 amp cdots amp k 2N vdots amp vdots amp ddots amp vdots k N1 amp k N2 amp cdots amp k NN omega j 2 m N end pmatrix begin pmatrix a 1j a 2j vdots a Nj end pmatrix 0 Puede comprobarse que estos vectores representando los diversos modos propios del sistema son ortogonales entre si por lo que la matriz formada por todos ellos es una matriz ortogonal A a i j i 1 n j 1 n a 11 a 1 n a n 1 a n n displaystyle mathbf A left lbrace a ij right rbrace i 1 n j 1 n begin pmatrix a 11 amp cdots amp a 1n vdots amp ddots amp vdots a n1 amp cdots amp a nn end pmatrix Las coordenadas normales asociadas a los modos propios se obtienen mediante un cambio lineal a partir de las coordenadas convencionales q 1 t q N t b 11 b 1 n b n 1 b n n x 1 t x N t displaystyle begin pmatrix q 1 t vdots q N t end pmatrix begin pmatrix b 11 amp cdots amp b 1n vdots amp ddots amp vdots b n1 amp cdots amp b nn end pmatrix begin pmatrix x 1 t vdots x N t end pmatrix Donde B b i j A T displaystyle mathbf B left lbrace b ij right rbrace mathbf A T cumpliendose que B es la matriz inversa de A A B B A I Solucion del problema de oscilaciones libres Editar La solucion general se puede obtener facilmente resolviendo el problema en coordenadas normales Usando estas coordenadas se obtiene facilmente si se tiene en cuenta que x A q displaystyle mathbf x mathbf A mathbf q M x K x 0 q A T M 1 K A q 0 displaystyle mathbf M ddot mathbf x mathbf K mathbf x 0 qquad Rightarrow qquad ddot mathbf q left mathbf A T mathbf M 1 mathbf K mathbf A right mathbf q 0 Pero debido a las propiedades de la matriz A displaystyle mathbf A la matriz entre corchetes resulta ser una matriz diagonal y por tanto la solucion de ese ultimo sistema se obtiene resolviendo N ecuaciones para cada una de las un conjunto de ecuaciones del tipo q j w j 2 q j 0 q j t C j cos w j t ϕ j displaystyle ddot q j omega j 2 q j 0 qquad Rightarrow qquad q j t C j cos omega j t phi j En terminos de las coordenadas normales y la matriz de modos propios la solucion general del sistema se escribe x 1 t x N t a 11 a 1 n a n 1 a n n q 1 t q N t a 11 a 1 n a n 1 a n n C 1 cos w 1 t ϕ 1 C n cos w n t ϕ n displaystyle begin pmatrix x 1 t vdots x N t end pmatrix begin pmatrix a 11 amp cdots amp a 1n vdots amp ddots amp vdots a n1 amp cdots amp a nn end pmatrix begin pmatrix q 1 t vdots q N t end pmatrix begin pmatrix a 11 amp cdots amp a 1n vdots amp ddots amp vdots a n1 amp cdots amp a nn end pmatrix begin pmatrix C 1 cos omega 1 t phi 1 vdots C n cos omega n t phi n end pmatrix Solucion del problema de oscilaciones forzadas amortiguadas Editar La solucion general se obtiene igual que antes usando coordenadas normales x A q displaystyle mathbf x mathbf A mathbf q M x C x K x F q A T M 1 C A q A T M 1 K A q A T M 1 F displaystyle mathbf M ddot mathbf x mathbf C dot mathbf x mathbf K mathbf x mathbf F qquad Rightarrow qquad ddot mathbf q left mathbf A T mathbf M 1 mathbf C mathbf A right dot mathbf q left mathbf A T mathbf M 1 mathbf K mathbf A right mathbf q left mathbf A T mathbf M 1 mathbf F right Por construccion de las coordenadas ortogonales las matrices que multiplican a q displaystyle scriptstyle ddot mathbf q y q displaystyle scriptstyle dot mathbf q son diagonales esto requiere como condicion adicional que K C C K displaystyle scriptstyle mathbf KC mathbf CK por lo que el ultimo sistema se reduce a N ecuaciones independientes del tipo q j 2 n w q j w j 2 q j 0 q j t C j 0 t Q j w j 1 n j e n j w j t t sin w j 1 n j t t t ϕ j d t displaystyle ddot q j 2 nu omega dot q j omega j 2 q j 0 qquad Rightarrow qquad q j t C j int 0 t frac Q j omega j sqrt 1 nu j e nu j omega j t tau sin omega j sqrt 1 nu j t tau t phi j d tau Por lo que la solucion resulta ser finalmente x 1 t x N t a 11 a 1 n a n 1 a n n q 1 t q N t displaystyle begin pmatrix x 1 t vdots x N t end pmatrix begin pmatrix a 11 amp cdots amp a 1n vdots amp ddots amp vdots a n1 amp cdots amp a nn end pmatrix begin pmatrix q 1 t vdots q N t end pmatrix Es decir la combinacion lineal de N movimientos armonicos forzados amortiguados Datos Q3622925Obtenido de https es wikipedia org w index php title Movimiento armonico complejo amp oldid 129074890, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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