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Modelo matemático

En ciencias aplicadas y en tecnología, un modelo matemático es uno de los tipos de Modelo científico modelos científicos que emplea algún tipo de formulismo matemático para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables, parámetros, entidades y relaciones entre variables de las operaciones, para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad. El término modelización matemática es utilizado también en diseño gráfico cuando se habla de modelos geométricos de los objetos en dos (2D) o tres dimensiones (3D).

El significado de modelo matemático en filosofía de la matemática y fundamentos de la matemática es, sin embargo, algo diferente. En concreto en esas áreas se trabaja con "modelos formales". Un modelo formal para una cierta Teoría Teoría en matemáticas teoría matemática es un conjunto sobre el que se han definido una serie de relaciones unarias, binarias y trinarías, que satisface las proposiciones derivadas del conjunto de axiomas de la teoría. La rama de la matemática que se encarga de estudiar sistemáticamente las propiedades de los modelos es la teoría de modelos.

Definición

Un modelo matemático de un objeto (fenómeno real) es cualquier esquema simplificado e idealizado de aquel, constituido por símbolos y operaciones (relaciones) matemáticas. Un modelo matemático es un caso de formalización que emplea los más diversos instrumentos producidos en la ciencia matemática.<ref.>A. K. Guts, Yu. V. Frolova, L. A. Páutova Métodos matemáticos en la sociología Editorial URSS Moscú (2013)</ref.>

Principios generales y condiciones

Cabe mencionar solamente algunos principios generales y condiciones que deben cumplir dichos modelos.

Equivalencia

que es la correspondencia del modelo a su original.

Objetividad

correspondencia de las conclusiones científicas a las condiciones reales.

Simplicidad

los modelos no deben estar saturados de factores secundarios.

Sensibilidad

la competencia del modelo de responder a la variación de los parámetros iniciales.

Estabilidad

a cada perturbación pequeña de los parámetros iniciales le debe corresponder una alteración pequeña en la solución del problema.

Universalidad

el área de aplicación debe ser lo suficientemente vasta.<ref.>Guts y otros Óp.. cit.</ref.>

Clasificaciones de los modelos

Se podría decir que un modelo de las ciencias físicas es una traducción de la realidad física de un sistema físico en ecuación términos matemáticos, es decir, una forma de representar cada uno de los tipos de entidades que intervienen en un cierto proceso físico mediante objetos matemáticos. Las relaciones matemáticas formales entre los objeto físico objetos del modelo, deben representar de alguna manera las relaciones reales existentes entre las diferentes entidades o aspectos del sistema u objeto real. Así una vez "traducido" o "representado" cierto problema en forma de modelo matemático, se pueden aplicar el cálculo, el álgebra y otras herramientas matemáticas para deducir el comportamiento del sistema bajo estudio. Un modelo físico requerirá por tanto que se pueda seguir el camino inverso al modelado, permitiendo reinterpretar en la realidad las predicciones del modelo.

Según la información de entrada

Con respecto a la función del origen de la información utilizada para construir los modelos pueden clasificarse de otras formas. Podemos distinguir entre modelos heurísticos y modelos empíricos:

  • Modelos heurísticos (del griego euriskein 'hallar, inventar'). Son los que están basados en las explicaciones sobre las causas o mecanismos naturales que dan lugar al fenómeno estudiado.
  • Modelos empíricos (del griego empeirikos relativo a la 'experiencia'). Son los que utilizan las observaciones directas o los resultados de experimentos del fenómeno estudiado.

Según el tipo de representación

Además los modelos matemáticos encuentran distintas denominaciones en sus diversas aplicaciones. Una posible clasificación puede atender a si pretenden hacer predicciones de tipo cualitativo o pretende cuantificar aspectos del sistema que se está novelizando:

  • Modelos cualitativos o conceptuales, estos pueden usar figuras, gráficos o descripciones causales, en general se contentan con predecir si el estado del sistema irá en determinada dirección o si aumentará o disminuirá alguna magnitud, sin importar exactamente la magnitud concreta de la mayoría de aspectos.
  • Modelos cuantitativos o numéricos, usan números para representar aspectos del sistema modelizado, y generalmente incluyen fórmulas y algoritmos matemáticos más o menos complejos que relacionan los valores numéricos. El cálculo con los mismos permite representar el proceso físico o los cambios cuantitativos del sistema modelado.

Según la aleatoriedad

Otra clasificación independiente de la anterior, según si a una entrada o situación inicial concreta pueden corresponder o no diversas salidas o resultados, en este caso los modelos se clasifican en:

  • Modelo determinista Determinista. Se conoce de manera puntual la forma del resultado ya que no hay incertidumbre. Además, los datos utilizados para alimentar el modelo son completamente conocidos y determinados.
  • Estocástico. Probabilístico, que no se conoce el resultado esperado, sino su probabilidad y existe por tanto incertidumbre.

Clasificación según su aplicación u objetivo

Por su uso suelen utilizarse en las siguientes tres áreas, sin embargo existen muchas otras como la de finanzas, ciencias etc.

  • Modelo de simulación o descriptivo, de situaciones medibles de manera precisa o aleatoria, por ejemplo con aspectos de programación lineal cuando es de manera precisa, y probabilística o heurística cuando es aleatorio. Este tipo de modelos pretende predecir qué sucede en una situación concreta dada.
  • Modelo de optimización. Para determinar el punto exacto para resolver alguna problemática administrativa, de producción, o cualquier otra situación. Cuando la optimización es entera o no lineal, combinada, se refiere a modelos matemáticos poco predecibles, pero que pueden acoplarse a alguna alternativa existente y aproximada en su cuantificación. Este tipo de modelos requiere comparar diversas condiciones, casos o posibles valores de un parámetro y ver cual de ellos resulta óptimo según el criterio elegido.
  • Modelo de control. Para saber con precisión como está algo en una organización, investigación, área de operación, etc. Este modelo pretende ayudar a decidir qué nuevas medidas, variables o qué parámetros deben ajustarse para lograr un resultado o estado concreto del sistema modelado.

Ejemplos

Un modelo mixto operacional estadístico es una teoría o situación causal de hechos y expresado con símbolos de formato matemático. Por ejemplo las tablas de contingencia. De hecho los modelos matemáticos se construyen con varios niveles de significación y con diferentes variables.

Kendall y Buckland catalogan hasta 40 tipos diferentes de modelos matemáticos. Ejemplos: Rapoport en modelo matemático e interacción social en 1961 y Bugeda en Sociología matemática en 1970. Por un principio de isomorfismo hay una equivalencia, a conseguir, entre un modelo y una teoría. Además teoría y modelo son sinónimos.

Ejemplos de modelos por tipos

Si se emplea la clasificación de modelos según su aplicación u objetivo (modelos descriptivos o de simulación, modelos de optimación o elección de óptimo, modelos de control o tratamiento) y según si se trata de modelos determistas o probabilistas se pueden dar algunos ejemplos ilustrativos:

Descriptivos / Simulación Optimización / Elección Control / Tratamiento
Determinista Probabilista Determinista Probabilista Determinista Probabilista
Cuantitativo /
Numérico
Cálculos
astronómicos
Simulaciones
de tráfico
Cálculo componentes
de sistemas
Diseño ingenieril Control
automático
Control LCG
Cualitativo /
Conceptual
Análisis
microeconómicos
Teoría de
juegos
Modelos
de grafo/flujo
? Teoría
psicológica
?

Modelo matemático de simulación hidrológica

Se utilizan para estudiar situaciones extremas, difícilmente observables en la realidad, como por ejemplo los efectos de precipitaciones muy intensas y prolongadas en cuencas hidrográficas, en su estado natural, o en las que se ha intervenido con obras como canales, represas, diques de contención, puentes, etc.

La cuenca hidrográfica es dividida en sub-cuencas consideradas homogéneas desde el punto de vista: del tipo de suelo, de la declividad, de su cobertura vegetal. El número y tipo de las variables hidrológicas que intervienen en el modelo son función de objetivo específico para el cual se elabora el mismo.

Fases de construcción de un modelo

En muchos casos la construcción o creación de modelos matemáticos útiles sigue una serie de fases bien determinadas:

  1. Identificación de un problema o situación compleja que necesita ser simulada, optimizada o controlada y por tanto requeriría un modelo matemático predictivo para hacer efectivo el mismo
  2. Elección del tipo de modelo, esto requiere precisar qué tipo de respuesta pretende obtenerse, cuales son los datos de entrada o factores relevantes, y para qué pretende usarse el modelo. Esta elección debe ser suficientemente simple como para permitir un tratamiento matemático asequible con los recursos disponibles. Esta fase requiere además identificar el mayor número de datos fidedignos, rotular y clasificar las incógnitas (variables independientes y dependientes) y establecer consideraciones físicas, químicas, geométricas, etc. que representen adecuadamente el fenómeno en estudio.
  3. Formalización del modelo en la que se detallarán qué forma tienen los datos de entrada, qué tipo de herramienta matemática se usará, como se adaptan a la información previa existente. También podría incluir la confección de algoritmos, ensamblaje de archivos informáticos, etc. En esta fase posiblemente se introduzcan también simplificaciones suficientes para que el problema matemático de modelización sea tratable computacionalmente.
  4. Comparación de resultados: los resultados obtenidos como predicciones necesitan ser comparados con los hechos observados para ver si el modelo está prediciendo bien. Si los resultados no se ajustan bien, es común volver a la fase 1.

Es importante mencionar que la inmensa mayoría de los modelos matemáticos no son exactos y tienen un alto grado de idealización y simplificación, ya que una modelización muy exacta puede ser más complicada de tratar que una simplificación conveniente, y por lo tanto resultar menos útil.

También es importante recordar que el mecanismo con el que se desarrolla un modelo matemático repercute en el desarrollo de otras técnicas de conocimientos enfocadas al área sociocultural.

Véase también

Referencias

Bibliografía

Enlaces externos

  • Introducción a la modelación (googlepages.com)
  •   Datos: Q486902
  •   Multimedia: Mathematical models

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En ciencias aplicadas y en tecnologia un modelo matematico es uno de los tipos de Modelo cientifico modelos cientificos que emplea algun tipo de formulismo matematico para expresar relaciones proposiciones sustantivas de hechos variables parametros entidades y relaciones entre variables de las operaciones para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones dificiles de observar en la realidad El termino modelizacion matematica es utilizado tambien en diseno grafico cuando se habla de modelos geometricos de los objetos en dos 2D o tres dimensiones 3D El significado de modelo matematico en filosofia de la matematica y fundamentos de la matematica es sin embargo algo diferente En concreto en esas areas se trabaja con modelos formales Un modelo formal para una cierta Teoria Teoria en matematicas teoria matematica es un conjunto sobre el que se han definido una serie de relaciones unarias binarias y trinarias que satisface las proposiciones derivadas del conjunto de axiomas de la teoria La rama de la matematica que se encarga de estudiar sistematicamente las propiedades de los modelos es la teoria de modelos Indice 1 Definicion 2 Principios generales y condiciones 3 Clasificaciones de los modelos 3 1 Segun la informacion de entrada 3 2 Segun el tipo de representacion 3 3 Segun la aleatoriedad 3 4 Clasificacion segun su aplicacion u objetivo 4 Ejemplos 4 1 Ejemplos de modelos por tipos 4 2 Modelo matematico de simulacion hidrologica 5 Fases de construccion de un modelo 6 Vease tambien 7 Referencias 8 Bibliografia 9 Enlaces externosDefinicion EditarUn modelo matematico de un objeto fenomeno real es cualquier esquema simplificado e idealizado de aquel constituido por simbolos y operaciones relaciones matematicas Un modelo matematico es un caso de formalizacion que emplea los mas diversos instrumentos producidos en la ciencia matematica lt ref gt A K Guts Yu V Frolova L A Pautova Metodos matematicos en la sociologia Editorial URSS Moscu 2013 lt ref gt Principios generales y condiciones EditarCabe mencionar solamente algunos principios generales y condiciones que deben cumplir dichos modelos Equivalenciaque es la correspondencia del modelo a su original Objetividadcorrespondencia de las conclusiones cientificas a las condiciones reales Simplicidadlos modelos no deben estar saturados de factores secundarios Sensibilidadla competencia del modelo de responder a la variacion de los parametros iniciales Estabilidada cada perturbacion pequena de los parametros iniciales le debe corresponder una alteracion pequena en la solucion del problema Universalidadel area de aplicacion debe ser lo suficientemente vasta lt ref gt Guts y otros op cit lt ref gt Clasificaciones de los modelos EditarSe podria decir que un modelo de las ciencias fisicas es una traduccion de la realidad fisica de un sistema fisico en ecuacion terminos matematicos es decir una forma de representar cada uno de los tipos de entidades que intervienen en un cierto proceso fisico mediante objetos matematicos Las relaciones matematicas formales entre los objeto fisico objetos del modelo deben representar de alguna manera las relaciones reales existentes entre las diferentes entidades o aspectos del sistema u objeto real Asi una vez traducido o representado cierto problema en forma de modelo matematico se pueden aplicar el calculo el algebra y otras herramientas matematicas para deducir el comportamiento del sistema bajo estudio Un modelo fisico requerira por tanto que se pueda seguir el camino inverso al modelado permitiendo reinterpretar en la realidad las predicciones del modelo Segun la informacion de entrada Editar Con respecto a la funcion del origen de la informacion utilizada para construir los modelos pueden clasificarse de otras formas Podemos distinguir entre modelos heuristicos y modelos empiricos Modelos heuristicos del griego euriskein hallar inventar Son los que estan basados en las explicaciones sobre las causas o mecanismos naturales que dan lugar al fenomeno estudiado Modelos empiricos del griego empeirikos relativo a la experiencia Son los que utilizan las observaciones directas o los resultados de experimentos del fenomeno estudiado Segun el tipo de representacion Editar Ademas los modelos matematicos encuentran distintas denominaciones en sus diversas aplicaciones Una posible clasificacion puede atender a si pretenden hacer predicciones de tipo cualitativo o pretende cuantificar aspectos del sistema que se esta novelizando Modelos cualitativos o conceptuales estos pueden usar figuras graficos o descripciones causales en general se contentan con predecir si el estado del sistema ira en determinada direccion o si aumentara o disminuira alguna magnitud sin importar exactamente la magnitud concreta de la mayoria de aspectos Modelos cuantitativos o numericos usan numeros para representar aspectos del sistema modelizado y generalmente incluyen formulas y algoritmos matematicos mas o menos complejos que relacionan los valores numericos El calculo con los mismos permite representar el proceso fisico o los cambios cuantitativos del sistema modelado Segun la aleatoriedad Editar Otra clasificacion independiente de la anterior segun si a una entrada o situacion inicial concreta pueden corresponder o no diversas salidas o resultados en este caso los modelos se clasifican en Modelo determinista Determinista Se conoce de manera puntual la forma del resultado ya que no hay incertidumbre Ademas los datos utilizados para alimentar el modelo son completamente conocidos y determinados Estocastico Probabilistico que no se conoce el resultado esperado sino su probabilidad y existe por tanto incertidumbre Clasificacion segun su aplicacion u objetivo Editar Por su uso suelen utilizarse en las siguientes tres areas sin embargo existen muchas otras como la de finanzas ciencias etc Modelo de simulacion o descriptivo de situaciones medibles de manera precisa o aleatoria por ejemplo con aspectos de programacion lineal cuando es de manera precisa y probabilistica o heuristica cuando es aleatorio Este tipo de modelos pretende predecir que sucede en una situacion concreta dada Modelo de optimizacion Para determinar el punto exacto para resolver alguna problematica administrativa de produccion o cualquier otra situacion Cuando la optimizacion es entera o no lineal combinada se refiere a modelos matematicos poco predecibles pero que pueden acoplarse a alguna alternativa existente y aproximada en su cuantificacion Este tipo de modelos requiere comparar diversas condiciones casos o posibles valores de un parametro y ver cual de ellos resulta optimo segun el criterio elegido Modelo de control Para saber con precision como esta algo en una organizacion investigacion area de operacion etc Este modelo pretende ayudar a decidir que nuevas medidas variables o que parametros deben ajustarse para lograr un resultado o estado concreto del sistema modelado Ejemplos EditarUn modelo mixto operacional estadistico es una teoria o situacion causal de hechos y expresado con simbolos de formato matematico Por ejemplo las tablas de contingencia De hecho los modelos matematicos se construyen con varios niveles de significacion y con diferentes variables Kendall y Buckland catalogan hasta 40 tipos diferentes de modelos matematicos Ejemplos Rapoport en modelo matematico e interaccion social en 1961 y Bugeda en Sociologia matematica en 1970 Por un principio de isomorfismo hay una equivalencia a conseguir entre un modelo y una teoria Ademas teoria y modelo son sinonimos Ejemplos de modelos por tipos Editar Si se emplea la clasificacion de modelos segun su aplicacion u objetivo modelos descriptivos o de simulacion modelos de optimacion o eleccion de optimo modelos de control o tratamiento y segun si se trata de modelos determistas o probabilistas se pueden dar algunos ejemplos ilustrativos Descriptivos Simulacion Optimizacion Eleccion Control TratamientoDeterminista Probabilista Determinista Probabilista Determinista ProbabilistaCuantitativo Numerico Calculos astronomicos Simulaciones de trafico Calculo componentes de sistemas Diseno ingenieril Control automatico Control LCGCualitativo Conceptual Analisis microeconomicos Teoria de juegos Modelos de grafo flujo Teoria psicologica Modelo matematico de simulacion hidrologica Editar Se utilizan para estudiar situaciones extremas dificilmente observables en la realidad como por ejemplo los efectos de precipitaciones muy intensas y prolongadas en cuencas hidrograficas en su estado natural o en las que se ha intervenido con obras como canales represas diques de contencion puentes etc La cuenca hidrografica es dividida en sub cuencas consideradas homogeneas desde el punto de vista del tipo de suelo de la declividad de su cobertura vegetal El numero y tipo de las variables hidrologicas que intervienen en el modelo son funcion de objetivo especifico para el cual se elabora el mismo Fases de construccion de un modelo EditarEn muchos casos la construccion o creacion de modelos matematicos utiles sigue una serie de fases bien determinadas Identificacion de un problema o situacion compleja que necesita ser simulada optimizada o controlada y por tanto requeriria un modelo matematico predictivo para hacer efectivo el mismo Eleccion del tipo de modelo esto requiere precisar que tipo de respuesta pretende obtenerse cuales son los datos de entrada o factores relevantes y para que pretende usarse el modelo Esta eleccion debe ser suficientemente simple como para permitir un tratamiento matematico asequible con los recursos disponibles Esta fase requiere ademas identificar el mayor numero de datos fidedignos rotular y clasificar las incognitas variables independientes y dependientes y establecer consideraciones fisicas quimicas geometricas etc que representen adecuadamente el fenomeno en estudio Formalizacion del modelo en la que se detallaran que forma tienen los datos de entrada que tipo de herramienta matematica se usara como se adaptan a la informacion previa existente Tambien podria incluir la confeccion de algoritmos ensamblaje de archivos informaticos etc En esta fase posiblemente se introduzcan tambien simplificaciones suficientes para que el problema matematico de modelizacion sea tratable computacionalmente Comparacion de resultados los resultados obtenidos como predicciones necesitan ser comparados con los hechos observados para ver si el modelo esta prediciendo bien Si los resultados no se ajustan bien es comun volver a la fase 1 Es importante mencionar que la inmensa mayoria de los modelos matematicos no son exactos y tienen un alto grado de idealizacion y simplificacion ya que una modelizacion muy exacta puede ser mas complicada de tratar que una simplificacion conveniente y por lo tanto resultar menos util Tambien es importante recordar que el mecanismo con el que se desarrolla un modelo matematico repercute en el desarrollo de otras tecnicas de conocimientos enfocadas al area sociocultural Vease tambien EditarDinamica de sistemas Modelo cientifico Modelo fisico Modelo climatico Modelizacion Modelaje de acuiferos MC 14 metodo cientifico en 14 etapasReferencias EditarBibliografia EditarRios Sixto 1995 Modelizacion Alianza Universidad ISBN 978 84 206 2822 6 Enlaces externos EditarDefiniciones Tipos de modelos matematicos Introduccion a la modelacion googlepages com Datos Q486902 Multimedia Mathematical models Obtenido de https es wikipedia org w index php title Modelo matematico amp oldid 138566510, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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