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Media (matemáticas)

En matemáticas y estadística, una media o promedio es una medida de tendencia central. Resulta al efectuar una serie determinada de operaciones con un conjunto de números y que, en determinadas condiciones, puede representar por sí solo a todo el conjunto. Existen distintos tipos de medias, tales como la media geométrica, la media ponderada y la media armónica aunque en el lenguaje común, tanto en estadística como en matemáticas la elemental de todas ellas es el término que se refiere generalmente a la media aritmética.

Comparación de la media aritmética (azul), la mediana (verde) y la moda (rojo) de dos distribuciones log-normal con diferente asimetría

Ejemplos de medias

Existen numerosos ejemplos de medias  , una de las pocas propiedades compartidas por todas las medias es que cualquier media está comprendida entre el valor máximo y el valor mínimo del conjunto de variables:

 

Además debe cumplirse que:

 .

Media aritmética

La media aritmética es un promedio estándar que a menudo se denomina promedio.

 

La media se confunde a veces con la mediana o moda. La media aritmética es el promedio de un conjunto de valores, o su distribución; sin embargo, para las distribuciones con sesgo, la media no es necesariamente el mismo valor que la mediana o que la moda exponencial y de Poisson.

Por ejemplo, la media aritmética de 34, 27, 45, 55, 22, 34 (seis valores) es  

Media aritmética ponderada

A veces puede ser útil otorgar pesos o valores a los datos dependiendo de su relevancia para determinado estudio. En esos casos se puede utilizar una media ponderada. Si   es un conjunto de datos o media muestral y   son números reales positivos, llamados "pesos" o factores de ponderación, se define la media ponderada es decir que es relativa a esos pesos como:

 

La media es invariante frente a transformaciones lineales, cambio de origen y escala, de las variables, es decir si X es una variable aleatoria e Y es otra variable aleatoria que depende linealmente de X, es decir, Y = a·XL + b (donde a representa la magnitud del cambio de escala y b la del cambio de origen) se tiene que:

 

Media geométrica

La media geométrica es un promedio muy útil en conjuntos de números que son interpretados en orden de su producto, no de su suma (tal y como ocurre con la media aritmética). Por ejemplo, las velocidades de crecimiento.

 

Por ejemplo, la media geométrica de la serie de números 1,2,3,4,5,9 (seis valores) es  

Media armónica

La media armónica es un promedio muy útil en conjuntos de números que se definen en relación con alguna unidad, por ejemplo la velocidad (distancia por unidad de tiempo).

 

Por ejemplo, la media armónica de los números: 34, 27, 45, 55, 22, y 34 es:

 

Generalizaciones de la media

Existen diversas generalizaciones de las medias anteriores.

Media generalizada

Las medias generalizadas, también conocidas como medias de Hölder, son una abstracción de las medias cuadráticas, aritméticas, geométricas y armónicas. Se definen y agrupan a través de la siguiente expresión:

 

Eligiendo un valor apropiado del parámetro m, se tiene:

  •   - máximo,
  •   - media cuadrática,
  •   - media aritmética,
  •   - media geométrica,
  •   - media armónica,
  •   - mínimo.

Media-f generalizada

Esta media puede generalizarse para una función monótona como la media-f generalizada:

 

donde   sea una función inyectiva e   un intervalo. Escogiendo formas particulares para f se obtienen algunas de las medias más conocidas:

  •   - media aritmética,  
  •   - media armónica,  
  •   - media generalizada,  
  •   - media geométrica,  .

Media de una función

Para una función continua   sobre un intervalo [a,b], se puede calcular el valor medio de función   sobre [a,b] como:

 

De hecho la definición anterior vale aun para una función acotada aunque no sea continua, con la condición de que sea medible.

Media estadística

La media estadística se usa en estadística para dos conceptos diferentes aunque numéricamente similares:

En la práctica dada una muestra estadística suficientemente grande el valor de la media muestral de la misma es numéricamente muy cercano a la esperanza matemática de la variable aleatoria medida en esa muestra. Dicho valor esperado, solo es calculable si se conoce con toda exactitud la distribución de probabilidad, cosa que raramente sucede en la realidad, por esa razón, a efectos prácticos la llamada media se refiere normalmente a la media muestral.

Media muestral

La media muestral es una variable aleatoria, ya que depende de la muestra, si bien es una variable aleatoria en general con una varianza menor que las variables originales usadas en su cálculo. Si la muestra es grande y está bien escogida, puede tratarse la media muestral como un valor numérico que aproxima con precisión la media poblacional, que caracteriza una propiedad objetiva de la población. Se define como sigue, si se tiene una muestra estadística de valores   para una variable aleatoria X con distribución de probabilidad F(x,θ) [donde θ es un conjunto de parámetros de la distribución] se define la media muestral n-ésima como:

 .

Media poblacional

La media poblacional técnicamente no es una media sino un parámetro fijo que coincide con la esperanza matemática de una variable aleatoria. El nombre "media poblacional" se usa para significar qué valor numérico de una media muestral es numéricamente cercano al parámetro media poblacional, para una muestra adecuada y suficientemente grande.


Véase también

Otras medias estadísticas son:

Referencias

Bibliografía

  •   Datos: Q2796622
  •   Multimedia: Means

media, matemáticas, matemáticas, estadística, media, promedio, medida, tendencia, central, resulta, efectuar, serie, determinada, operaciones, conjunto, números, determinadas, condiciones, puede, representar, solo, todo, conjunto, existen, distintos, tipos, me. En matematicas y estadistica una media o promedio es una medida de tendencia central Resulta al efectuar una serie determinada de operaciones con un conjunto de numeros y que en determinadas condiciones puede representar por si solo a todo el conjunto Existen distintos tipos de medias tales como la media geometrica la media ponderada y la media armonica aunque en el lenguaje comun tanto en estadistica como en matematicas la elemental de todas ellas es el termino que se refiere generalmente a la media aritmetica Comparacion de la media aritmetica azul la mediana verde y la moda rojo de dos distribuciones log normal con diferente asimetria Indice 1 Ejemplos de medias 1 1 Media aritmetica 1 1 1 Media aritmetica ponderada 1 2 Media geometrica 1 3 Media armonica 1 4 Generalizaciones de la media 1 4 1 Media generalizada 1 4 2 Media f generalizada 1 4 3 Media de una funcion 2 Media estadistica 2 1 Media muestral 2 2 Media poblacional 3 Vease tambien 4 Referencias 4 1 BibliografiaEjemplos de medias EditarExisten numerosos ejemplos de medias x m i x 1 x n displaystyle scriptstyle bar x m i x 1 dots x n una de las pocas propiedades compartidas por todas las medias es que cualquier media esta comprendida entre el valor maximo y el valor minimo del conjunto de variables min x 1 x 2 x n x max x 1 x 2 x n displaystyle min x 1 x 2 dots x n leq bar x leq max x 1 x 2 dots x n Ademas debe cumplirse que x x 1 si x 1 x 2 x n displaystyle bar x x 1 quad mbox si x 1 x 2 dots x n Media aritmetica Editar Articulo principal Media aritmetica La media aritmetica es un promedio estandar que a menudo se denomina promedio x 1 n i 1 n x i displaystyle bar x frac 1 n sum i 1 n x i La media se confunde a veces con la mediana o moda La media aritmetica es el promedio de un conjunto de valores o su distribucion sin embargo para las distribuciones con sesgo la media no es necesariamente el mismo valor que la mediana o que la moda exponencial y de Poisson Por ejemplo la media aritmetica de 34 27 45 55 22 34 seis valores es 34 27 45 55 22 34 6 217 6 36 167 displaystyle tfrac 34 27 45 55 22 34 6 tfrac 217 6 approx 36 167 Media aritmetica ponderada Editar Articulo principal Media ponderada A veces puede ser util otorgar pesos o valores a los datos dependiendo de su relevancia para determinado estudio En esos casos se puede utilizar una media ponderada Si X 1 X 2 X n displaystyle X 1 X 2 ldots X n es un conjunto de datos o media muestral y w 1 w 2 w n displaystyle w 1 w 2 ldots w n son numeros reales positivos llamados pesos o factores de ponderacion se define la media ponderada es decir que es relativa a esos pesos como X w X 1 w 1 X 2 w 2 X n w n w 1 w 2 w n i 1 n X i w i i 1 n w i displaystyle bar X w frac X 1 cdot w 1 X 2 cdot w 2 ldots X n cdot w n w 1 w 2 ldots w n frac sum i 1 n X i cdot w i sum i 1 n w i La media es invariante frente a transformaciones lineales cambio de origen y escala de las variables es decir si X es una variable aleatoria e Y es otra variable aleatoria que depende linealmente de X es decir Y a XL b donde a representa la magnitud del cambio de escala y b la del cambio de origen se tiene que Y a X b displaystyle bar Y a bar X b Media geometrica Editar Articulo principal Media geometrica La media geometrica es un promedio muy util en conjuntos de numeros que son interpretados en orden de su producto no de su suma tal y como ocurre con la media aritmetica Por ejemplo las velocidades de crecimiento x i 1 n x i 1 n displaystyle bar x left prod i 1 n x i right 1 n Por ejemplo la media geometrica de la serie de numeros 1 2 3 4 5 9 seis valores es 1 2 3 4 5 9 1 6 1080 1 6 3 203 displaystyle 1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 cdot 9 1 6 1080 1 6 approx 3 203 Media armonica Editar Articulo principal Media armonica La media armonica es un promedio muy util en conjuntos de numeros que se definen en relacion con alguna unidad por ejemplo la velocidad distancia por unidad de tiempo x n i 1 n 1 x i 1 displaystyle bar x n cdot left sum i 1 n frac 1 x i right 1 Por ejemplo la media armonica de los numeros 34 27 45 55 22 y 34 es 6 1 34 1 27 1 45 1 55 1 22 1 34 33 018 displaystyle frac 6 frac 1 34 frac 1 27 frac 1 45 frac 1 55 frac 1 22 frac 1 34 approx 33 018 Generalizaciones de la media Editar Existen diversas generalizaciones de las medias anteriores Media generalizada Editar Articulo principal Media generalizada Las medias generalizadas tambien conocidas como medias de Holder son una abstraccion de las medias cuadraticas aritmeticas geometricas y armonicas Se definen y agrupan a traves de la siguiente expresion x m 1 n i 1 n x i m 1 m displaystyle bar x m left frac 1 n cdot sum i 1 n x i m right 1 m Eligiendo un valor apropiado del parametro m se tiene m displaystyle m rightarrow infty maximo m 2 displaystyle m 2 media cuadratica m 1 displaystyle m 1 media aritmetica m 0 displaystyle m rightarrow 0 media geometrica m 1 displaystyle m 1 media armonica m displaystyle m rightarrow infty minimo Media f generalizada Editar Esta media puede generalizarse para una funcion monotona como la media f generalizada x f 1 1 n i 1 n f x i displaystyle bar x f 1 left frac 1 n cdot sum i 1 n f x i right donde f I I displaystyle f I to I sea una funcion inyectiva e I R displaystyle I subset mathbb R un intervalo Escogiendo formas particulares para f se obtienen algunas de las medias mas conocidas f x x displaystyle f x x media aritmetica I R displaystyle I mathbb R f x 1 x displaystyle f x frac 1 x media armonica I 0 displaystyle I 0 infty f x x m displaystyle f x x m media generalizada I 0 displaystyle I 0 infty f x ln x displaystyle f x ln x media geometrica I 0 displaystyle I 0 infty Media de una funcion Editar Para una funcion continua f displaystyle f sobre un intervalo a b se puede calcular el valor medio de funcion f displaystyle f sobre a b como f 1 b a a b f t d t displaystyle bar f frac 1 b a int a b f t dt De hecho la definicion anterior vale aun para una funcion acotada aunque no sea continua con la condicion de que sea medible Media estadistica EditarLa media estadistica se usa en estadistica para dos conceptos diferentes aunque numericamente similares La media muestral que es un estadistico que se calcula a partir de la media aritmetica de un conjunto de valores de una variable aleatoria La media poblacional valor esperado o esperanza matematica de una variable aleatoria En la practica dada una muestra estadistica suficientemente grande el valor de la media muestral de la misma es numericamente muy cercano a la esperanza matematica de la variable aleatoria medida en esa muestra Dicho valor esperado solo es calculable si se conoce con toda exactitud la distribucion de probabilidad cosa que raramente sucede en la realidad por esa razon a efectos practicos la llamada media se refiere normalmente a la media muestral Media muestral Editar La media muestral es una variable aleatoria ya que depende de la muestra si bien es una variable aleatoria en general con una varianza menor que las variables originales usadas en su calculo Si la muestra es grande y esta bien escogida puede tratarse la media muestral como un valor numerico que aproxima con precision la media poblacional que caracteriza una propiedad objetiva de la poblacion Se define como sigue si se tiene una muestra estadistica de valores X 1 X 2 X n displaystyle X 1 X 2 ldots X n para una variable aleatoria X con distribucion de probabilidad F x 8 donde 8 es un conjunto de parametros de la distribucion se define la media muestral n esima como X n T X 1 X 2 X n 1 n i 1 n X i X 1 X 2 X n n displaystyle bar X n T X 1 X 2 ldots X n frac 1 n sum i 1 n X i frac X 1 X 2 ldots X n n Media poblacional Editar La media poblacional tecnicamente no es una media sino un parametro fijo que coincide con la esperanza matematica de una variable aleatoria El nombre media poblacional se usa para significar que valor numerico de una media muestral es numericamente cercano al parametro media poblacional para una muestra adecuada y suficientemente grande Vease tambien EditarOtras medias estadisticas son la media cuadratica la media aritmetica geometrica la media heroniana Referencias EditarBibliografia Editar Real Academia Espanola 2001 Diccionario de la lengua espanola vigesima segunda edicion Datos Q2796622 Multimedia Means Obtenido de https es wikipedia org w index php title Media matematicas amp oldid 140912642, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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