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Mecánica matricial

La mecánica matricial es una formulación de la mecánica cuántica creada por Werner Heisenberg, Max Born y Pascual Jordan en 1925. La mecánica matricial fue la primera implementación matemática completa de la mecánica cuántica. Extiende el modelo de Bohr al describir cómo ocurren los saltos cuánticos. Lo realiza interpretando las propiedades físicas de las partículas como matrices que evolucionan en el tiempo. Es equivalente a la formulación ondulatoria planteada por Erwin Schrödinger y es la base de la notación bra-ket de Paul Dirac para la formulación ondulatoria. En la práctica, cae pronto en el desuso al aparecer la formulación de Erwin Schrödinger.

Introducción

A inicios del siglo XX la ruptura de los conceptos clásicos con los experimentos realizados era evidente. Los primeros modelos fueron propuestos por Albert Einstein, Niels Bohr, Arnold Sommerfeld y muchos otros; quienes fundaron las bases de lo que ahora se conoce como mecánica cuántica. Sin embargo, esta ruptura con la mecánica clásica a pesar de ser prometedora era evidente que muchos de los conceptos estaban siendo establecidos ad hoc. En la década de los veinte, un grupo de relativamente jóvenes físicos tomaron el liderazgo en la elaboración de una teoría acorde con los nuevos postulados encontrados; teoría que, contraria a la formulación clásica, debía ser basada en los experimentos y no en la intuición. Además de requerir un lenguaje matemático más preciso.

En este sentido, Werner Heisenberg fue el primero en completar una formulación matemática más elaborada de la mecánica cuántica. Esta formulación se basa en que los aspectos teóricos de los sistemas están fundados exclusivamente en las relaciones entre cantidades pertenecientes al sistema que, en principio, es observable. En mecánica cuántica, los observables son las cantidades que directa o indirectamente pueden ser experimentalmente medidas. Esta premisa lo condujo a una formulación exitosa de la mecánica cuántica basado en la teoría de matrices.

Heisenberg trabajó con datos experimentales relacionados con la transición atómica de las interacciones de los átomos con cuantos de luz, fotones, tratando de identificar los observables relevantes. De esta manera él argumentó que las cantidades relacionadas con las transiciones eran los objetos básicos relevantes. En 1925 Heisenberg propuso la primera estructura matemática coherente acerca de la teoría atómica para los átomos.

En la elaboración de esta Mecánica Matricial fue importante el trabajo de Max Born y Pascual Jordan, quienes reconocieron que esas cantidades obedecían las reglas preestablecidas por el álgebra matricial.

Razonamiento de Heisenberg

Previo a la Mecánica Matricial, la teoría cuántica anterior describía el movimiento de una partícula por medio de una orbita clásica con posición   y momento   bien definido, con la restricción que la integral temporal sobre un período T de momento por velocidad debía ser un múltiplo entero positivo de la constante de Planck:

 

La teoría cuántica anterior no describe procesos dependientes del tiempo, como la absorción o emisión de radiación, sin embargo esta restricción empleada correctamente toma órbitas con energía  .

Cuando a una partícula clásica se la acopla débilmente a un campo de radiación, es decir cuando el amortiguamiento de la radiación puede ser despreciado, este emitirá radiación en un patrón que se repite cada periodo orbital. Las frecuencias que componen la onda saliente son entonces son múltiplos enteros de la frecuencia orbital. Este es un síntoma que manifiesta que   es periódico, lo que nos indica que las representaciones de Fourier únicamente tienen los valores de frecuencia  :

 

donde los coeficientes   son complejos. Los que tienen frecuencias negativas deben ser los complejos conjugados de los que tienen frecuencias positivas, de esta manera   es siempre real:

 .

Por otro lado, una partícula mecanocuántica no puede emitir continuamente radiación, solo puede emitir fotones. Asumiendo que esta partícula se encuentra en una órbita  , emite un fotón y se traslada a una órbita  . La energía del fotón es  , que significa que su frecuencia es  . Para   y  , pero con   relativamente pequeños, éstas son las frecuencias clásicas del principio de correspondencia planteado por Bohr:

 

donde   es el período clásico de una de las órbitas   o   cuando la diferencia entre ellas es de un orden mayor a  . Sin embargo para   o   pequeños o si   es muy grande, las frecuencias no son múltiplos enteros de ninguna de las frecuencias.

Cuando las frecuencias de emisión de la partícula son las mismas frecuencias de la descripción de Fourier de su movimiento, esto sugiere que algo está oscilando en la descripción dependiente del tiempo de la partícula con frecuencia  . Heisenberg denominó a esta cantidad   y exigió que sea reducido a los coeficientes clásicos de Fourier en el límite clásico. Para valores muy grandes de   y  , pero con valores relativamente pequeños de  ,   es el coeficiente de Fourier  -ésimo del movimiento clásico en la órbita  . Cuando   tiene frecuencias opuestas a  , la condición que   sea real se convierte en:

 .

Por definición,   tiene solo las frecuencias  , así que su evolución temporal es simplemente:

 ,

que es la forma original de la ecuación de movimiento de Heisenberg.

Dadas dos matrices   y   que describen dos cantidades físicas, Heisenberg pudo formar un nuevo arreglo del mismo tipo al combinar los términos  , que oscilan con la frecuencia correcta. Como los coeficientes de Fourier del producto de dos cantidades es la convolución de estos coeficientes de forma separada, la correspondencia con las series de Fourier permitieron a Heisenberg deducir la regla por la que éstas matrices debían ser multiplicados:

 .

Max Born notó que esta es la ley de multiplicación para matrices, por lo que la posición, el momento, la energía y todos los observables son interpretados como matrices. Debido a la regla de multiplicación el producto depende del orden, es decir  .

La matriz X describe completamente el movimiento de una partícula mecanocuántica. Debido a que las frecuencias en el movimiento cuántico no son múltiplos de una frecuencia común, los elementos de la matriz no pueden ser interpretados como los coeficientes de Fourier de una trayectoria clásica. No obstante, como   y   son matrices, satisfacen las ecuaciones clásicas del movimiento.

Formulación matemática

Una vez que Heisenberg introdujo las matrices   y  , pudo encontrar los elementos de la matriz en casos especiales guiado por el principio de correspondencia. Como los elementos de matriz son la analogía mecanocuántica de los coeficientes de Fourier de las órbitas clásicas, el caso más simple es el oscilador armónico; donde   y   son sinusoidales.

Oscilador armónico

En unidades donde la masa y la frecuencia de un oscilador son uno, la energía del oscilador es:

 .

La órbita clásica con energía E es igual a:

 .

La condición que requería la antigua teoría cuántica decía que la integral de   sobre una órbita, que es el área del círculo en el espacio de fases, debe ser un múltiplo entero de la constante de Planck. El área del círculo de radio   es  , por lo que:

 

o en unidades donde   es uno, la energía es un entero.

Las componentes de Fourier de   y   son muy simples, mucho más si se los combina con:

 

 

donde ambos   y   tienen una sola frecuencia y,   y   pueden ser encontrados de su suma o diferencia.

Como   tiene una serie de Fourier clásica con una sola frecuencia más baja y el elemento de matriz   es el (m-n)-ésimo coeficiente de Fourier de la órbita clásica, la matriz para   no es cero solo en la línea sobre la diagonal. En cuyo caso es igual a  . La matriz para   es de la misma manera pero en la línea de abajo de la diagonal con los mismos elementos. Reconstruyendo   y   de   y   obtenemos:

 

 

las cuales, dependiendo del sistema de unidades utilizado, son las matrices de Heisenberg para el oscilador armónico. Ambas matrices son hermíticas debido a que son construidas a partir de los coeficientes de Fourier de cantidades reales. Para hallar   y   es simple una vez que se conoce que los coeficientes de Fourier en el caso cuántico son los que evolucionan en el tiempo:

 

El producto matricial de   y   no es hermítico, pero tiene una parte real e imaginaria. La parte real es la mitad de la expresión simétrica  , mientras que la parte imaginaria es proporcional al conmutador  . Es fácil verificar explícitamente que   en el caso del oscilador armónico es  , multiplicada por la matriz identidad. Además también se puede verificar que la matriz:

 

es una matriz diagonal con valores propios  .

Conservación de energía

El oscilador armónico es muy especial debido a que es fácil encontrar las matrices exactas y es muy difícil descubrir las condiciones generales de esas formas especiales. Por esta razón, Heisenberg investigó al oscilador anarmónico de hamiltoniano:

 

En este caso las matrices   y   no son matrices diagonales debido a que las correspondientes órbitas clásicas están desplazadas y aplastadas; así se tiene los coeficientes de Fourier de cada frecuencia clásica. Para determinar los elementos de matriz, Heisenberg requirió que las ecuaciones de movimiento clásicas obedezcan las ecuaciones matriciales:

 

Heisenberg notó que si esto podía hacerse entonces la derivada temporal del Hamiltoniano, considerado como una función matricial de   y  , sería igual a zero:

 

donde   es el producto simétrico  .||left}}

Dados que todos los elementos de la diagonal tienen una frecuencia no cero, al ser H constante implica que H es diagonal. Era claro para Heisenberg que en este sistema la energía podría ser conservada exactamente en un sistema cuántico arbitrario, un signo muy estimulante.

El proceso de emisión y absorción de fotones parece demandar que la conservación de la energía se mantenga por lo menos en promedio. Si una onda que contiene exactamente un fotón atraviesa algunos átomos y uno de ellos lo absorbe, ese átomo necesita informar a los otros que ya no pueden absorber más fotones. Pero si los átomos están alejados cualquier señal no podrá llegar a los otros átomos a tiempo, estos terminarán absorbiendo el mismo fotón de todas maneras y disipando la energía a su alrededor. Cuando una señal los alcanza, los otros átomos deben de alguna manera retomar esa energía. Esta paradoja indujo a Bohr, Kramers y Slater a abandonar la conversión de energía exacta. El formalismo de Heisenberg, cuando se quiere introducir el campo electromagnético, va a enfrentar este problema; una pista que la interpretación de la teoría involucrará el colapso de la función de onda.

Tratamiento Hamiltoniano

En la formulación hamiltoniana, los corchetes de Poisson de las funciones de las coordenadas y momentos canónicos   son:

 

esta definición implica que:

 

Los corchetes de Poisson son invariantes respecto a cualquier transformación canónica. Además tiene otras importantes propiedades:

 

 

lo que implica que:

 

 

donde :  es el hamiltoniano. Mediante las ecuaciones de movimiento de Hamilton, las relaciones anteriores son:

 

 

La derivada temporal de una función general   de coordinadas y momentos canónicos se obtiene de las ecuaciones de movimiento de Hamilton:

 

es decir:

 

que es una ecuación clásica. Para transformarla en una ecuación cúantica, Dirac formuló la relación:

 

donde   es el conmutador de operadores (o matrices) a y b. De esta manera la ecuación de movimiento mecanocuántica correcta es:

 

donde u y H son matrices infinitas en general, que tienen la condición que son matrices hermíticas. Esta ecuación es conocida como la Ecuación de movimiento de Heisenberg.

Suponiendo que u no depende explícitamente del tiempo, esta ecuación del movimiento es:

 

Esta ecuación es una ecuación matricial, y debido a esto representa a un conjunto infinito de ecuaciones:

 

Por lo que el fundamental problema de la mecánica matricial de Heisenberg es el encontrar las matrices infinitas   y   donde se cumplan las condiciones (dadas por la condición de Dirac):

 

y que el hamitoniano   se convierta en una matriz diagonal.

Véase también

Referencias

  • Heisenberg, Werner (1925). «Quantum-theoretical re-interpretation of kinematic and mechanical relations.». Z. Phys (33): 879-893. Consultado el 14 de febrero de 2011.  (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).
  • Lakshmibala, S. (2004). «Heisenberg, Matrix Mechanics, and the Uncertainty Principle». Resonance. Journal of Science Education 9 (8): 46-56. Consultado el 12 de febrero de 2011. 
  • Lam, Kai S. (2009). Non-Relativistic Quantum Theory: Dynamics, Symmetry, and Geometry. World Scientific Publishing Company. pp. 11-16. ISBN 978-981-4271-79-0. 
  •   Datos: Q603198

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La mecanica matricial es una formulacion de la mecanica cuantica creada por Werner Heisenberg Max Born y Pascual Jordan en 1925 La mecanica matricial fue la primera implementacion matematica completa de la mecanica cuantica Extiende el modelo de Bohr al describir como ocurren los saltos cuanticos Lo realiza interpretando las propiedades fisicas de las particulas como matrices que evolucionan en el tiempo Es equivalente a la formulacion ondulatoria planteada por Erwin Schrodinger y es la base de la notacion bra ket de Paul Dirac para la formulacion ondulatoria En la practica cae pronto en el desuso al aparecer la formulacion de Erwin Schrodinger Indice 1 Introduccion 2 Razonamiento de Heisenberg 3 Formulacion matematica 3 1 Oscilador armonico 3 1 1 Conservacion de energia 3 2 Tratamiento Hamiltoniano 4 Vease tambien 5 ReferenciasIntroduccion EditarA inicios del siglo XX la ruptura de los conceptos clasicos con los experimentos realizados era evidente Los primeros modelos fueron propuestos por Albert Einstein Niels Bohr Arnold Sommerfeld y muchos otros quienes fundaron las bases de lo que ahora se conoce como mecanica cuantica Sin embargo esta ruptura con la mecanica clasica a pesar de ser prometedora era evidente que muchos de los conceptos estaban siendo establecidos ad hoc En la decada de los veinte un grupo de relativamente jovenes fisicos tomaron el liderazgo en la elaboracion de una teoria acorde con los nuevos postulados encontrados teoria que contraria a la formulacion clasica debia ser basada en los experimentos y no en la intuicion Ademas de requerir un lenguaje matematico mas preciso En este sentido Werner Heisenberg fue el primero en completar una formulacion matematica mas elaborada de la mecanica cuantica Esta formulacion se basa en que los aspectos teoricos de los sistemas estan fundados exclusivamente en las relaciones entre cantidades pertenecientes al sistema que en principio es observable En mecanica cuantica los observables son las cantidades que directa o indirectamente pueden ser experimentalmente medidas Esta premisa lo condujo a una formulacion exitosa de la mecanica cuantica basado en la teoria de matrices Heisenberg trabajo con datos experimentales relacionados con la transicion atomica de las interacciones de los atomos con cuantos de luz fotones tratando de identificar los observables relevantes De esta manera el argumento que las cantidades relacionadas con las transiciones eran los objetos basicos relevantes En 1925 Heisenberg propuso la primera estructura matematica coherente acerca de la teoria atomica para los atomos En la elaboracion de esta Mecanica Matricial fue importante el trabajo de Max Born y Pascual Jordan quienes reconocieron que esas cantidades obedecian las reglas preestablecidas por el algebra matricial Razonamiento de Heisenberg EditarPrevio a la Mecanica Matricial la teoria cuantica anterior describia el movimiento de una particula por medio de una orbita clasica con posicion X t displaystyle X t y momento P t displaystyle P t bien definido con la restriccion que la integral temporal sobre un periodo T de momento por velocidad debia ser un multiplo entero positivo de la constante de Planck 0 T P d X n h displaystyle int 0 T PdX nh La teoria cuantica anterior no describe procesos dependientes del tiempo como la absorcion o emision de radiacion sin embargo esta restriccion empleada correctamente toma orbitas con energia E n displaystyle E n Cuando a una particula clasica se la acopla debilmente a un campo de radiacion es decir cuando el amortiguamiento de la radiacion puede ser despreciado este emitira radiacion en un patron que se repite cada periodo orbital Las frecuencias que componen la onda saliente son entonces son multiplos enteros de la frecuencia orbital Este es un sintoma que manifiesta que X t displaystyle X t es periodico lo que nos indica que las representaciones de Fourier unicamente tienen los valores de frecuencia 2 p n T displaystyle 2 pi n T X t n e 2 p i n t T X n displaystyle X t sum n infty infty e 2 pi int T X n donde los coeficientes X n displaystyle X n son complejos Los que tienen frecuencias negativas deben ser los complejos conjugados de los que tienen frecuencias positivas de esta manera X t displaystyle X t es siempre real X n X n displaystyle X n X n Por otro lado una particula mecanocuantica no puede emitir continuamente radiacion solo puede emitir fotones Asumiendo que esta particula se encuentra en una orbita n displaystyle n emite un foton y se traslada a una orbita m displaystyle m La energia del foton es E n E m displaystyle E n E m que significa que su frecuencia es E n E m h displaystyle E n E m h Para n displaystyle n y m displaystyle m pero con n m displaystyle n m relativamente pequenos estas son las frecuencias clasicas del principio de correspondencia planteado por Bohr E n E m h n m T displaystyle E n E m approx frac h n m T donde T displaystyle T es el periodo clasico de una de las orbitas n displaystyle n o m displaystyle m cuando la diferencia entre ellas es de un orden mayor a h displaystyle h Sin embargo para n displaystyle n o m displaystyle m pequenos o si n m displaystyle n m es muy grande las frecuencias no son multiplos enteros de ninguna de las frecuencias Cuando las frecuencias de emision de la particula son las mismas frecuencias de la descripcion de Fourier de su movimiento esto sugiere que algo esta oscilando en la descripcion dependiente del tiempo de la particula con frecuencia E n E m h displaystyle E n E m h Heisenberg denomino a esta cantidad X n m displaystyle X nm y exigio que sea reducido a los coeficientes clasicos de Fourier en el limite clasico Para valores muy grandes de n displaystyle n y m displaystyle m pero con valores relativamente pequenos de n m displaystyle n m X n m displaystyle X nm es el coeficiente de Fourier n m displaystyle n m esimo del movimiento clasico en la orbita n displaystyle n Cuando X n m displaystyle X nm tiene frecuencias opuestas a X m n displaystyle X mn la condicion que X displaystyle X sea real se convierte en X n m X m n displaystyle X nm X mn Por definicion X n m displaystyle X nm tiene solo las frecuencias E n E m h displaystyle E n E m h asi que su evolucion temporal es simplemente X n m t e 2 p i E n E m t h X n m 0 displaystyle X nm t e 2 pi i E n E m t h X nm 0 que es la forma original de la ecuacion de movimiento de Heisenberg Dadas dos matrices X n m displaystyle X nm y P n m displaystyle P nm que describen dos cantidades fisicas Heisenberg pudo formar un nuevo arreglo del mismo tipo al combinar los terminos X n k P k m displaystyle X nk P km que oscilan con la frecuencia correcta Como los coeficientes de Fourier del producto de dos cantidades es la convolucion de estos coeficientes de forma separada la correspondencia con las series de Fourier permitieron a Heisenberg deducir la regla por la que estas matrices debian ser multiplicados X P m n k 0 X m k P k n displaystyle XP mn sum k 0 infty X mk P kn Max Born noto que esta es la ley de multiplicacion para matrices por lo que la posicion el momento la energia y todos los observables son interpretados como matrices Debido a la regla de multiplicacion el producto depende del orden es decir X P P X displaystyle XP neq PX La matriz X describe completamente el movimiento de una particula mecanocuantica Debido a que las frecuencias en el movimiento cuantico no son multiplos de una frecuencia comun los elementos de la matriz no pueden ser interpretados como los coeficientes de Fourier de una trayectoria clasica No obstante como X t displaystyle X t y P t displaystyle P t son matrices satisfacen las ecuaciones clasicas del movimiento Formulacion matematica EditarUna vez que Heisenberg introdujo las matrices X displaystyle X y P displaystyle P pudo encontrar los elementos de la matriz en casos especiales guiado por el principio de correspondencia Como los elementos de matriz son la analogia mecanocuantica de los coeficientes de Fourier de las orbitas clasicas el caso mas simple es el oscilador armonico donde X displaystyle X y P displaystyle P son sinusoidales Oscilador armonico Editar En unidades donde la masa y la frecuencia de un oscilador son uno la energia del oscilador es H 1 2 P 2 X 2 displaystyle H 1 over 2 P 2 X 2 La orbita clasica con energia E es igual a X t 2 E cos t P t 2 E sin t displaystyle X t sqrt 2E cos t P t sqrt 2E sin t La condicion que requeria la antigua teoria cuantica decia que la integral de P d X displaystyle PdX sobre una orbita que es el area del circulo en el espacio de fases debe ser un multiplo entero de la constante de Planck El area del circulo de radio 2 E displaystyle sqrt 2E es 2 p E displaystyle 2 pi E por lo que E n h 2 p displaystyle E nh over 2 pi o en unidades donde ℏ displaystyle hbar es uno la energia es un entero Las componentes de Fourier de X t displaystyle X t y P t displaystyle P t son muy simples mucho mas si se los combina con A t X t i P t 2 E e i t displaystyle A t X t iP t sqrt 2E e it A t X t i P t 2 E e i t displaystyle A dagger t X t iP t sqrt 2E e it donde ambos A displaystyle A y A displaystyle A dagger tienen una sola frecuencia y X displaystyle X y P displaystyle P pueden ser encontrados de su suma o diferencia Como A t displaystyle A t tiene una serie de Fourier clasica con una sola frecuencia mas baja y el elemento de matriz A m n displaystyle A mn es el m n esimo coeficiente de Fourier de la orbita clasica la matriz para A displaystyle A no es cero solo en la linea sobre la diagonal En cuyo caso es igual a 2 E n displaystyle sqrt 2E n La matriz para A displaystyle A dagger es de la misma manera pero en la linea de abajo de la diagonal con los mismos elementos Reconstruyendo X displaystyle X y P displaystyle P de A displaystyle A y A displaystyle A dagger obtenemos 2 X 0 h 2 p 0 1 0 0 1 0 2 0 0 0 2 0 3 0 0 0 3 0 4 displaystyle sqrt 2 X 0 sqrt frac h 2 pi begin bmatrix 0 amp sqrt 1 amp 0 amp 0 amp ldots sqrt 1 amp 0 amp 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P m n 0 e i E m E n t displaystyle X mn t X mn 0 e i E m E n t P mn t P mn 0 e i E m E n t El producto matricial de X displaystyle X y P displaystyle P no es hermitico pero tiene una parte real e imaginaria La parte real es la mitad de la expresion simetrica X P P X displaystyle XP PX mientras que la parte imaginaria es proporcional al conmutador X P X P P X displaystyle X P XP PX Es facil verificar explicitamente que X P P X displaystyle XP PX en el caso del oscilador armonico es i h 2 p displaystyle ih 2 pi multiplicada por la matriz identidad Ademas tambien se puede verificar que la matriz H 1 2 X 2 P 2 displaystyle H 1 over 2 X 2 P 2 es una matriz diagonal con valores propios E i displaystyle E i Conservacion de energia Editar El oscilador armonico es muy especial debido a que es facil encontrar las matrices exactas y es muy dificil descubrir las condiciones generales de esas formas especiales Por esta razon Heisenberg investigo al oscilador anarmonico de hamiltoniano H 1 2 P 2 1 2 X 2 ϵ X 3 displaystyle H 1 over 2 P 2 1 over 2 X 2 epsilon X 3 En este caso las matrices X displaystyle X y P displaystyle P no son matrices diagonales debido a que las correspondientes orbitas clasicas estan desplazadas y aplastadas asi se tiene los coeficientes de Fourier de cada frecuencia clasica Para determinar los elementos de matriz Heisenberg requirio que las ecuaciones de movimiento clasicas obedezcan las ecuaciones matriciales d X d t P d P d t X 3 ϵ X 2 displaystyle dX over dt P dP over dt X 3 epsilon X 2 Heisenberg noto que si esto podia hacerse entonces la derivada temporal del Hamiltoniano considerado como una funcion matricial de X displaystyle X y P displaystyle P seria igual a zero d H d t P d P d t X 3 ϵ X 2 d X d t 0 displaystyle dH over dt P dP over dt X 3 epsilon X 2 dX over dt 0 donde A B displaystyle A B es el producto simetrico A B 1 2 A B B A displaystyle A B 1 over 2 AB BA left Dados que todos los elementos de la diagonal tienen una frecuencia no cero al ser H constante implica que H es diagonal Era claro para Heisenberg que en este sistema la energia podria ser conservada exactamente en un sistema cuantico arbitrario un signo muy estimulante El proceso de emision y absorcion de fotones parece demandar que la conservacion de la energia se mantenga por lo menos en promedio Si una onda que contiene exactamente un foton atraviesa algunos atomos y uno de ellos lo absorbe ese atomo necesita informar a los otros que ya no pueden absorber mas fotones Pero si los atomos estan alejados cualquier senal no podra llegar a los otros atomos a tiempo estos terminaran absorbiendo el mismo foton de todas maneras y disipando la energia a su alrededor Cuando una senal los alcanza los otros atomos deben de alguna manera retomar esa energia Esta paradoja indujo a Bohr Kramers y Slater a abandonar la conversion de energia exacta El formalismo de Heisenberg cuando se quiere introducir el campo electromagnetico va a enfrentar este problema una pista que la interpretacion de la teoria involucrara el colapso de la funcion de onda Tratamiento Hamiltoniano Editar En la formulacion hamiltoniana los corchetes de Poisson de las funciones de las coordenadas y momentos canonicos q p displaystyle q p son u v i u q i v p i u p i v q i displaystyle u v sum i left frac partial u partial q i frac partial v partial p i frac partial u partial p i frac partial v partial q i right esta definicion implica que q i q j p i p j 0 y q i p j d j i displaystyle q i q j p i p j 0 mbox y q i p j delta j i Los corchetes de Poisson son invariantes respecto a cualquier transformacion canonica Ademas tiene otras importantes propiedades u q i u p i displaystyle u q i frac partial u partial p i u p i u q i displaystyle u p i frac partial u partial q i lo que implica que q i H H p i displaystyle q i H frac partial H partial p i p i H H q i displaystyle p i H frac partial H partial q i donde H displaystyle H es el hamiltoniano Mediante las ecuaciones de movimiento de Hamilton las relaciones anteriores son d q i d t q i H displaystyle frac dq i dt q i H d p i d t p i H displaystyle frac dp i dt p i H La derivada temporal de una funcion general u p i q i displaystyle u p i q i de coordinadas y momentos canonicos se obtiene de las ecuaciones de movimiento de Hamilton d u d t u q i q i t u p i p i t u t u q i H p i u p i H q i u t displaystyle frac du dt frac partial u partial q i frac partial q i partial t frac partial u partial p i frac partial p i partial t frac partial u partial t frac partial u partial q i frac partial H partial p i frac partial u partial p i frac partial H partial q i frac partial u partial t es decir d u d t u H u t displaystyle frac du dt u H frac partial u partial t que es una ecuacion clasica Para transformarla en una ecuacion cuantica Dirac formulo la relacion z b a b i ℏ displaystyle z b rightarrow frac a b i hbar donde a b a b b a displaystyle a b ab ba es el conmutador de operadores o matrices a y b De esta manera la ecuacion de movimiento mecanocuantica correcta es d u d t u H i ℏ u t displaystyle frac du dt frac u H i hbar frac partial u partial t donde u y H son matrices infinitas en general que tienen la condicion que son matrices hermiticas Esta ecuacion es conocida como la Ecuacion de movimiento de Heisenberg Suponiendo que u no depende explicitamente del tiempo esta ecuacion del movimiento es d u d t u H i ℏ displaystyle frac du dt frac u H i hbar Esta ecuacion es una ecuacion matricial y debido a esto representa a un conjunto infinito de ecuaciones d q n m d t q H n m H q n m i ℏ k q n k H k m H n k q k m i ℏ displaystyle frac dq nm dt frac qH nm Hq nm i hbar sum k frac q nk H km H nk q km i hbar Por lo que el fundamental problema de la mecanica matricial de Heisenberg es el encontrar las matrices infinitas q i displaystyle q i y p i displaystyle p i donde se cumplan las condiciones dadas por la condicion de Dirac q i p j i ℏ d j i q i q j p i p j 0 displaystyle q i p j i hbar delta j i q i q j p i p j 0 y que el hamitoniano H q 1 q N p 1 p N displaystyle H q 1 q N p 1 p N se convierta en una matriz diagonal Vease tambien EditarMecanica cuantica Mecanica ondulatoria Principio de incertidumbre Werner HeisenbergReferencias EditarHeisenberg Werner 1925 Quantum theoretical re interpretation of kinematic and mechanical relations Z Phys 33 879 893 Consultado el 14 de febrero de 2011 enlace roto disponible en Internet Archive vease el historial la primera version y la ultima Lakshmibala S 2004 Heisenberg Matrix Mechanics and the Uncertainty Principle Resonance Journal of Science Education 9 8 46 56 Consultado el 12 de febrero de 2011 Lam Kai S 2009 Non Relativistic Quantum Theory Dynamics Symmetry and Geometry World Scientific Publishing Company pp 11 16 ISBN 978 981 4271 79 0 Datos Q603198Obtenido de https es wikipedia org w index php title Mecanica matricial amp oldid 131116665, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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