Matriz idempotente

Una matriz idempotente^[1]​ es una matriz que es igual a su cuadrado, es decir:

A es idempotente si A × A = A.^[2]​

Si representamos el producto ${\displaystyle AA\,}$ por ${\displaystyle A^{2}\,}$, entonces ${\displaystyle A\,}$ es idempotente sólo si: ${\displaystyle A^{2}=A\,}$.

En general, la idempotencia hace referencia a una operación que, si se repite, produce el mismo resultado que si se llevara a cabo una sola vez. En el caso de la matriz idempotente se cumple que: ${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}=\mathbf {A} ^{2}=\mathbf {A} }$, lo que es válido, para cualquier valor natural de n (valor entero, no negativo, ni nulo). La ecuación anterior muestra que realizar el producto un número finito de veces produce el mismo resultado que realizarlo una sola vez. Un caso particular de matriz idempotente es una matriz de proyección.

Ejemplos de matrices idempotentes

Ejemplos de matrices idempotentes son si la matriz es nula o la matriz Identidad: ${\displaystyle \quad \mathbf {O} ^{2}=\mathbf {O} \,\qquad \mathbf {I} ^{2}=\mathbf {I} \quad }$ .

Algunas fórmulas de matrices idempotentes:

Si el determinante está comprendido entre 0 y 1

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&{\sqrt {a-a^{2}}}\\{\sqrt {a-a^{2}}}&1-a\\\end{pmatrix}}}$ 

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0\\a&0\\\end{pmatrix}}}$ 

Por ejemplo, las siguientes matrices son idempotentes

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}2/3&1/3\\2/3&1/3\\\end{pmatrix}}}$ 

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}}$ 

Nota. No debe ser necesariamente simétrica. O sea, la matriz elevada al cuadrado va a ser la misma matriz sin elevarla.

Véase también

• Idempotencia
• Operador de proyección

Referencias

1. "Algebra II" (tercera edición) Armando O. Rojo Editorial "El Ateneo". Buenos Aires.
2. "Econometría" Alfonso Novales (segunda edición) McGraw-Hill

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research http://mathworld.wolfram.com/.html |url= sin título (ayuda). 

•   Datos: Q3751720