Margen de error

El margen de error (MDE) es una estadística que expresa la cantidad de error de muestreo aleatorio en los resultados de una encuesta. Cuanto mayor sea el margen de error, menos confianza se debe tener en que el resultado de una encuesta reflejaría el resultado de una encuesta de toda la población. El margen de error será positivo siempre que se muestree una población de forma incompleta y la medida de resultado tenga una varianza positiva, es decir, la medida varía.^[1]​

Densidades de probabilidad de encuestas de diferente tamaño, cada color se presenta a su intervalo de confianza del 95% (abajo), margen de error (izq), y tamaño de la muestra (derecha). Cada intervalo refleja el sector dentro del cual se puede tener un 95% de confianza que se puede encontrar el porcentaje verdadero, given a reported percentage of 50%. El margen de error es la mitad del intervalos de confianza (también denominado, el radio del intervalo). Cuanto mayor es la muestra, más pequeño es el margen de error. Además, cuanto más apartado del 50% se encuentre el porcentaje, menor resulta ser el margen de error.

El término margen de error se usa a menudo en contextos que no son encuestas para indicar un error de observación al informar las cantidades medidas. También se utiliza en el habla coloquial para referirse a la cantidad de espacio o flexibilidad que uno podría tener para lograr una meta. Por ejemplo, los comentaristas lo usan a menudo en los deportes cuando describen cuánta precisión se requiere para lograr una meta, puntos o resultado. Un boliche que se usa en los Estados Unidos mide 4,75 pulgadas de ancho y la bola mide 8,5 pulgadas de ancho, por lo que se podría decir que un jugador de bolos tiene un margen de error de 21,75 pulgadas al intentar golpear un pin específico para ganar uno de repuesto (p. Ej., 1 pin permaneciendo en el carril).

Concepto

Sea una encuesta simple del tipo si/no ${\displaystyle P}$  es una muestra de ${\displaystyle n}$  encuestados tomados de una población de ${\displaystyle N{\text{, }}(n<<N)}$  que indica un porcentaje ${\displaystyle p}$  de respuestas si. Se desea saber cuan cercano se encuentra ${\displaystyle p}$  del verdadero resultado de la encuesta de toda la población ${\displaystyle N}$ , sin que tener que realizar una. Si, hipotéticamente, realizáramos una encuesta ${\displaystyle P}$  sobre muestras subsecuentes de ${\displaystyle n}$  encuestados (tomados nuevamente de ${\displaystyle N}$ ), es que es de esperar que los resultados subsecuentes ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$  se encuentren distribuidos en forma normal alrededor de ${\displaystyle {\overline {p}}}$ . El margen de error describe la distancia dentro de la cual el porcentaje especificado de estos resultados es de esperar varíe de ${\displaystyle {\overline {p}}}$ .

Según la regla 68-95-99.7, es de esperar que el 95% de los resultados ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$  caeran dentro de unas dos desviaciones estándar (${\displaystyle \pm 2\sigma _{P}}$ ) en cualquiera de los lados del valor medio verdadero ${\displaystyle {\overline {p}}}$ .  Este intervalo se denomina el intervalo de confianza, y el radio (la mitad del intervalo) es denominado el margen de error, correspondiente al un nivel de confianza del 95%.

Generalmente, con un nivel de confianza ${\displaystyle \gamma }$ , una muestra de tamaño ${\displaystyle n}$  de una población que se sospecha posee una descviación estándar ${\displaystyle \sigma }$  tiene un margen de error

${\displaystyle MDE_{\gamma }=z_{\gamma }\times {\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}}$ 

donde ${\displaystyle z_{\gamma }}$  representa el quantil (comúnmente denominado una unidad tipificada), y ${\displaystyle {\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}}$  es el error estándar.

Desviación estándar y error estándar

Es de esperar que los valores  ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$  distribuidos normalmente tengan una desviación estándar que depende de ${\displaystyle n}$ . Cuanto menor es ${\displaystyle n}$ , más amplio es el margen. Ello es denominado el error estándar ${\displaystyle \sigma _{\overline {p}}}$ .

Para un único resultado de nuestra encuesta, se supone que ${\displaystyle p={\overline {p}}}$ , y que todos los resultados subsecuentes ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$  juntos tendrán una varianza ${\displaystyle \sigma _{P}^{2}=P(1-P)}$ .

${\displaystyle {\text{Error estándar}}=\sigma _{\overline {p}}\approx {\sqrt {\frac {\sigma _{P}^{2}}{n}}}\approx {\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}}$ 

Es de notar que ${\displaystyle p(1-p)}$  corresponde a la varianza de una distribución de Bernoulli.

Margen de error máximo para distintos niveles de confianza

 

Para un nivel de confianza ${\displaystyle \gamma }$ , existe un intervalo de confianza correspondiente alrededor del ${\displaystyle \mu \pm z_{\gamma }\sigma }$  promedio, o sea, el intervalo ${\displaystyle [\mu -z_{\gamma }\sigma ,\mu +z_{\gamma }\sigma ]}$  dentro del cual los valores de ${\displaystyle P}$  deben encontrarse con una probabilidad ${\displaystyle \gamma }$ . Los valores precisos de ${\displaystyle z_{\gamma }}$  se obtienen a partir de la función cuantil de la distribución normal (la cual es apriximada por la regla 68-95-99.7).

Además se debe notar que ${\displaystyle z_{\gamma }}$  se encuentra indefinido para ${\displaystyle |\gamma |\geq 1}$ , o sea, ${\displaystyle z_{1.00}}$  es indefinido, ya que es ${\displaystyle z_{1.10}}$ .

${\displaystyle \gamma }$	${\displaystyle z_{\gamma }}$		${\displaystyle \gamma }$	${\displaystyle z_{\gamma }}$
0.68	0.994457883210		0.999	3.290526731492
0.90	1.644853626951		0.9999	3.890591886413
0.95	1.959963984540		0.99999	4.417173413469
0.98	2.326347874041		0.999999	4.891638475699
0.99	2.575829303549		0.9999999	5.326723886384
0.995	2.807033768344		0.99999999	5.730728868236
0.997	2.967737925342		0.999999999	6.109410204869

 

Gráficas Log-log de ${\displaystyle MOE_{\gamma }(0.5)}$  con respecto al tamaño de la muestra n y nivel de confianza γ. Las flechas muestran que el máximo margen de error para una muestra con un tamaño de 1000 es ±3.1% con un nivel de confianza del 95%, y ±4.1% con 99%.
La párabola insertada ${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=p-p^{2}}$  ilustra la relación entre ${\displaystyle \sigma _{p}^{2}}$  para ${\displaystyle p=0.71}$  y ${\displaystyle \sigma _{max}^{2}}$  para ${\displaystyle p=0.5}$ . En el ejemplo, MDE₉₅(0.71) ≈ 0.9 × ±3.1% ≈ ±2.8%.

Dado que ${\displaystyle \max \sigma _{P}^{2}=\max P(1-P)=0.25}$  para ${\displaystyle p=0.5}$ , se puede fijar de manera arbitraria ${\displaystyle p={\overline {p}}=0.5}$ , calcular ${\displaystyle \sigma _{P}}$ , ${\displaystyle \sigma _{\overline {p}}}$ , y ${\displaystyle z_{\gamma }\sigma _{\overline {p}}}$  para obtener el máximo margen de error para ${\displaystyle P}$  con un nivel de confianza de ${\displaystyle \gamma }$  y un tamaño de muestra ${\displaystyle n}$ , aún antes de tener resultados concretos.  con ${\displaystyle p=0.5,n=1013}$ 

${\displaystyle MDE_{95}(0.5)=z_{0.95}\sigma _{\overline {p}}\approx z_{0.95}{\sqrt {\frac {\sigma _{P}^{2}}{n}}}=1.96{\sqrt {\frac {.25}{n}}}=0.98/{\sqrt {n}}=\pm 3.1\%}$ 

${\displaystyle MDE_{99}(0.5)=z_{0.99}\sigma _{\overline {p}}\approx z_{0.99}{\sqrt {\frac {\sigma _{P}^{2}}{n}}}=2.58{\sqrt {\frac {.25}{n}}}=1.29/{\sqrt {n}}=\pm 4.1\%}$ 

Ademásm es útil saber que para todo ${\displaystyle MDE_{95}}$ 

${\displaystyle MDE_{99}={\frac {z_{0.99}}{z_{0.95}}}MDE_{95}\approx 1.3\times MDE_{95}}$ 

Márgenes específicos de error

Si una encuesta provee diversos resultados porcentuales (por ejemplo, por ejemplo una encuesta que mide una sola preferencia con opciones múltiples), el resultado más próximo al 50% tendrá el mayor margen de error. Por lo genetral, es este número el que se informa como el margen de error de toda la encuesta. Si por ejemplo la encuesta ${\displaystyle P}$  arroja como resultados ${\displaystyle p_{a},p_{b},p_{c}}$  ${\displaystyle 71\%,27\%,2\%,n=1013}$ 

${\displaystyle MDE_{95}(P_{a})=z_{0.95}\sigma _{\overline {p_{a}}}\approx 1.96{\sqrt {\frac {p_{a}(1-p_{a})}{n}}}=0.89/{\sqrt {n}}=\pm 2.8\%}$  (tal como se observa en la figura previa)

${\displaystyle MDE_{95}(P_{b})=z_{0.95}\sigma _{\overline {p_{b}}}\approx 1.96{\sqrt {\frac {p_{b}(1-p_{b})}{n}}}=0.87/{\sqrt {n}}=\pm 2.7\%}$ 

${\displaystyle MDE_{95}(P_{c})=z_{0.95}\sigma _{\overline {p_{c}}}\approx 1.96{\sqrt {\frac {p_{c}(1-p_{c})}{n}}}=0.27/{\sqrt {n}}=\pm 0.8\%}$ 

As a given percentage approaches the extremes of 0% or 100%, its margin of error approaches ±0%.

Referencias

1. Wonnacott, T.H. and R.J. Wonnacott (1990). Introductory Statistics (5th ed.). Wiley. ISBN 0-471-61518-8.