Isometría

Una isometría es una aplicación matemática entre dos espacios métricos que conserva las distancias entre los puntos. Es decir, las isometrías son los morfismos de la categoría de espacios métricos. Dado un espacio euclídeo de dos o tres dimensiones, dos figuras u objetos se dice que existe isometría cuando son congruentes entre sí, o viceversa. Es el caso de las rotaciones

Las isometrías se usan en ocasiones para una construcción donde un espacio M' es dependiente de otro espacio M.

Definición

Formalmente si E₁ y E₂ son dos espacios métricos una isometría φ viene definida por lo siguiente:

${\displaystyle \varphi :E_{1}\to E_{2}\qquad \forall (x,y)\in E_{1}\times E_{1}:\ d_{1}(x,y)=d_{2}(\varphi (x),\varphi (y))}$ 

Siendo d₁(·,·) y d₂(·,·) las respectivas funciones de distancia en los dos espacios métricos E₁ y E₂.

Ejemplos

• Una rotación en el espacio euclídeo es una isometría del espacio euclídeo tridimensional.
• Una traslación en el espacio euclídeo es una isometría, también lo es la composición de un número arbitrario de traslaciones y rotaciones. El conjunto de todas las rotaciones y traslaciones de un espacio euclídeo n-dimensional forman un grupo de isometría de dimensión ${\displaystyle n+(n(n-1)/2)}$ .
• El operador de evolución temporal ${\displaystyle U_{t}:S\to \mathbb {R} ^{3}}$ , que describe el movimiento de un sólido rígido S es un grupo uniparamétrico de isometrías del espacio euclídeo tridimensional.
• Cada operador unitario ${\displaystyle {\hat {\mathbf {U} }}_{t}=\exp(i{\hat {\mathbf {H} }}t/\hbar )}$  que da la evolución de un sistema cuántico cuyo hamiltoniano es ${\displaystyle {\hat {\mathbf {H} }}}$  es una isometría sobre un espacio de Hilbert de dimensión infinita.
• La traslación es una isometría afín en la que una figura es desplazada a otra posición que no es la original manteniendo igualmente todas las propiedades de la primera figura.
• Otro tipo de isometría afín más conocido es la simetría en la que todos los puntos de una figura u objeto mantienen una relación con respecto de un punto, recta o plano (referencia). Según su tipo se pueden diferenciar simetría central(con respecto de un punto), simetría axial(con respecto de una recta) o simetría bilateral(con respecto de un plano).
• La rotación es una isometría afín en la que se gira un objeto con respecto a un punto exterior o del propio objeto, o de acuerdo a otros parámetros como un ángulo o un sentido frecuentemente dado por un vector.

Grupo de isometría

Artículo principal: Grupo de isometría

El conjunto de todas las aplicaciones que son isometrías de un conjunto contenido en un espacio métrico forma un grupo conocido como grupo de isometría del conjunto. En un espacio euclídeo de dimensión n el grupo de isometría ${\displaystyle G_{iso}\,}$  de cualquier conjunto es un subgrupo del grupo producto formado a partir del grupo ortogonal y el grupo de traslaciones:

${\displaystyle G_{iso}\subset O(n)\times \mathbb {R} ^{n}}$ 

Isometría lineal

Dados dos espacios vectoriales normalizados V y W,una isometría lineal es una aplicación lineal f : V → W que se ajusta a:

${\displaystyle \|f(v)\|=\|v\|}$ 

para todo v en V.

Se da el caso para isometrías generales, sí solo si son sobreyectivas. Según el teorema de Mazur-Ulam, cualquier espacio vectorial normado en el cuerpo de los números reales es isometría afín.

Véase también

• Isometría afín

•   Datos: Q740207