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Gravedad

La gravedad es un fenómeno natural por el cual los objetos con masa son atraídos entre sí, efecto mayormente observable en la interacción entre los planetas, galaxias y demás objetos del universo. Es una de las cuatro interacciones fundamentales que origina la aceleración que experimenta un cuerpo físico en las cercanías de un objeto astronómico. También se denomina interacción gravitatoria o gravitación.

Albert Einstein formuló la Relatividad General, que es una teoría relativista de la gravitación.

Si un cuerpo está situado en las proximidades de un planeta, un observador a una distancia fija del planeta medirá una aceleración del cuerpo dirigida hacia la zona central de dicho planeta, si tal cuerpo no está sometido al efecto de otras fuerzas. La Oficina Internacional de Pesas y Medidas estableció en 1901 una gravedad estándar para la superficie de la Tierra, acorde al Sistema Internacional, con un valor fijo de 9,80665 m/s².[1]

Introducción

La gravedad es una de las cuatro interacciones fundamentales observadas en la naturaleza. Origina los movimientos a gran escala que se observan en el universo: la órbita de la Luna alrededor de la Tierra, las órbitas de los planetas alrededor del Sol, etcétera. A escala cosmológica parece ser la interacción dominante, pues gobierna la mayor parte de los fenómenos a gran escala (las otras tres interacciones fundamentales son predominantes a escalas más pequeñas). El electromagnetismo explica el resto de los fenómenos macroscópicos, mientras que la interacción fuerte y la interacción débil son importantes solo a escala subatómica.

El término «gravedad» se utiliza para designar la intensidad del fenómeno gravitatorio en la superficie de los planetas o satélites. Isaac Newton fue el primero en exponer que es de la misma naturaleza la fuerza que hace que los objetos caigan con aceleración constante en la Tierra (gravedad terrestre) y la fuerza que mantiene en movimiento los planetas y las estrellas. Esta idea le llevó a formular la primera teoría general de la gravitación, la universalidad del fenómeno, expuesta en su obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.

Einstein, en la teoría de la relatividad general hace un análisis diferente de la interacción gravitatoria. De acuerdo con esta teoría, la gravedad puede entenderse como un efecto geométrico de la materia sobre el espacio-tiempo. Cuando cierta cantidad de materia ocupa una región del espacio-tiempo, provoca que este se deforme, de este modo la deformación de este es como si el mismo espacio-tiempo se comprimiera en dirección al centro de masa de un objeto. Visto así, la fuerza gravitatoria deja de ser una "misteriosa fuerza que atrae", y se convierte en el efecto que produce la deformación del espacio-tiempo —de geometría no euclídea— sobre el movimiento de los cuerpos. Según esta teoría, dado que todos los objetos se mueven en el espacio-tiempo, al deformarse este, la trayectoria de aquellos será desviada produciendo su aceleración.

Historia de la teoría gravitacional

Mundo antiguo

El antiguo filósofo griego Arquímedes descubrió el centro de gravedad de un triángulo.[2]​ También postuló que si dos pesos iguales no tenían el mismo centro de gravedad, el centro de gravedad de los dos pesos juntos estaría en el medio de la línea que une sus centros de gravedad. [3]

El arquitecto e ingeniero romano Vitruvio en De Architectura postuló que la gravedad de un objeto no dependía del peso sino de su "naturaleza".[4]

Revolución científica

Los trabajos modernos sobre la teoría gravitacional comenzaron con el trabajo de Galileo Galilei a finales del siglo XVI y principios del XVII. En su famoso (aunque posiblemente apócrifo[5]​) experimento dejando caer bolas desde la Torre de Pisa, y más tarde con cuidadosas mediciones de bolas rodando por inclinado, Galileo demostró que la aceleración gravitatoria es la misma para todos los objetos. Esto supuso un gran cambio respecto a la creencia de Aristóteles de que los objetos más pesados tienen una mayor aceleración gravitatoria.[6]​ Galileo postuló la resistencia del aire como la razón por la que los objetos con baja densidad y una superficie elevada caen más lentamente en una atmósfera. El trabajo de Galileo sentó las bases para la formulación de la teoría de la gravedad de Newton.[7]

Teoría de la gravitación de Newton

 
El físico y matemático inglés, Sir Isaac Newton (1642-1727)

En 1687, el matemático inglés Sir Isaac Newton publicó Principia, que plantea la hipótesis de la ley de la inversa del cuadrado de la gravitación universal. En sus propias palabras, "deduje que las fuerzas que mantienen a los planetas en sus orbes deben [ser] recíprocamente como los cuadrados de sus distancias desde los centros alrededor de los cuales giran: y así comparé la fuerza requerida para mantener a la Luna en su Orbe con la fuerza de gravedad en la superficie de la Tierra; y encontré que responden de manera bastante cercana."[8]​ La cita procede de un memorándum que se cree que fue escrito hacia 1714. Ya en 1645 Ismaël Bullialdus había argumentado que cualquier fuerza ejercida por el Sol sobre objetos distantes tendría que seguir una ley inversa al cuadrado. Sin embargo, también descartó la idea de que tal fuerza existiera. Véase, por ejemplo,[9]​ La ecuación es la siguiente:

 

Donde F es la fuerza, m1 y m2 son las masas de los objetos que interactúan, r es la distancia entre los centros de las masas y G es la constante gravitatoria.

La teoría de Newton tuvo su mayor éxito cuando se utilizó para predecir la existencia de Neptuno basándose en los movimientos de Urano que no podían ser explicados por las acciones de los otros planetas. Los cálculos de John Couch Adams y Urbain Le Verrier predijeron la posición general del planeta, y los cálculos de Le Verrier son los que llevaron a Johann Gottfried Galle al descubrimiento de Neptuno.

Una discrepancia en la órbita de Mercurio puso de manifiesto los fallos de la teoría de Newton. A finales del siglo XIX, se sabía que su órbita mostraba ligeras perturbaciones que no podían explicarse por completo con la teoría de Newton, pero todas las búsquedas de otro cuerpo perturbador (como un planeta que orbitara alrededor del Sol aún más cerca que Mercurio) habían sido infructuosas. La cuestión se resolvió en 1915 con la nueva teoría de la relatividad general de Albert Einstein, que explicaba la pequeña discrepancia en la órbita de Mercurio. Esta discrepancia era el avance en el perihelio de Mercurio de 42,98 segundos de arco por siglo.[10]

Aunque la teoría de Newton ha sido superada por la relatividad general de Albert Einstein, la mayoría de los cálculos gravitacionales modernos de la no relativista se siguen haciendo con la teoría de Newton porque es más sencilla de trabajar y da resultados suficientemente precisos para la mayoría de las aplicaciones que implican masas, velocidades y energías suficientemente pequeñas.

Principio de equivalencia

El principio de equivalencia, explorado por una sucesión de investigadores, entre ellos Galileo, Loránd Eötvös y Einstein, expresa la idea de que todos los objetos caen de la misma manera, y que los efectos de la gravedad son indistintos de ciertos aspectos de la aceleración y la desaceleración. La forma más sencilla de comprobar el principio de equivalencia débil es dejar caer dos objetos de masas o composiciones diferentes en el vacío y ver si caen al suelo al mismo tiempo. Estos experimentos demuestran que todos los objetos caen a la misma velocidad cuando otras fuerzas (como la resistencia del aire y los efectos electromagnéticos) son despreciables. Las pruebas más sofisticadas utilizan una balanza de torsión del tipo inventado por Eötvös. Para realizar experimentos más precisos en el espacio se han previsto experimentos por satélite, por ejemplo STEP.[11]

Las formulaciones del principio de equivalencia incluyen:

  • El principio de equivalencia débil: La trayectoria de una masa puntual en un campo gravitatorio sólo depende de su posición y velocidad iniciales, y es independiente de su composición. [12]
  • El principio de equivalencia einsteiniano: El resultado de cualquier experimento local no gravitacional en un laboratorio que cae libremente es independiente de la velocidad del laboratorio y de su ubicación en el espaciotiempo. [13]
  • El principio de equivalencia fuerte que requiere ambas cosas.

Mecánica clásica: ley de la gravitación universal de Isaac Newton

 
Fuerzas mutuas de atracción entre dos esferas de diferente tamaño. De acuerdo con la mecánica newtoniana las dos fuerzas son iguales en módulo, pero de sentido contrario; al estar aplicadas en diferentes cuerpos no se anulan y su efecto combinado no altera la posición del centro de gravedad conjunto de ambas esferas.

En la teoría newtoniana de la gravitación, los efectos de la gravedad son siempre atractivos, y la fuerza resultante se calcula respecto del centro de gravedad de ambos objetos (en el caso de la Tierra, el centro de gravedad es su centro de masas, al igual que en la mayoría de los cuerpos celestes de características homogéneas). La gravedad newtoniana tiene un alcance teórico infinito; la fuerza es mayor si los objetos están próximos pero a mayor distancia dicha fuerza pierde intensidad. Además Newton postuló que la gravedad es una acción a distancia (y por tanto a nivel relativista no es una descripción correcta, sino solo una primera aproximación para cuerpos en movimiento muy lento comparado con la velocidad de la luz).

La ley de la gravitación universal formulada por Isaac Newton postula que la fuerza que ejerce una partícula puntual con masa   sobre otra con masa   es directamente proporcional al producto de las masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa:

 

donde   es el vector unitario que dirigido de la partícula 1 a la 2, esto es, en la dirección del vector  , y   es la constante de gravitación universal, siendo su valor aproximadamente 6,674 × 10−11 N·m²/kg².

Por ejemplo, usando la ley de la gravitación universal, podemos calcular la fuerza de atracción entre la Tierra y un cuerpo de 50 kg. La masa de la Tierra es 5,974 × 1024 kg y la distancia entre el centro de gravedad de la Tierra (centro de la tierra) y el centro de gravedad del cuerpo es 6378,14 km (igual a 6 378 140 m, y suponiendo que el cuerpo se encuentre sobre la línea del ecuador). Entonces, la fuerza es:

 

La fuerza con que se atraen la Tierra y el cuerpo de 50 kg es 490.062 N (Newtons, Sistema Internacional de Unidades), lo que representa 50 kgf (kilogramo-fuerza, Sistema Técnico), como cabía esperar, por lo que decimos simplemente que el cuerpo pesa 50 kg.

Dentro de esta ley empírica, tenemos estas importantes conclusiones:

  • Las fuerzas gravitatorias son siempre atractivas. El hecho de que los planetas describan una órbita cerrada alrededor del Sol indica este hecho. Una fuerza atractiva puede producir también órbitas abiertas, pero una fuerza repulsiva nunca podrá producir órbitas cerradas.
  • Tienen alcance infinito. Dos cuerpos, por muy alejados que se encuentren, experimentan esta fuerza.
  • La fuerza asociada con la interacción gravitatoria es central.
  • A mayor distancia menor fuerza de atracción, y a menor distancia mayor la fuerza de atracción.

A pesar de los siglos, hoy sigue utilizándose cotidianamente esta ley en el ámbito del movimiento de cuerpos incluso a la escala del sistema solar, aunque esté desfasada teóricamente. Para estudiar el fenómeno en su completitud hay que recurrir a la teoría de la Relatividad General.

Problema de los dos cuerpos y órbitas planetarias

 
Dos cuerpos orbitando alrededor de su centro de masas en órbitas elípticas

La ley de Newton aplicada a un sistema de dos partículas o dos cuerpos, cuyas dimensiones físicas son pequeñas comparadas con las distancias entre ellos, lleva a que ambos cuerpos describirán una curva cónica (elipse, parábola o hipérbola) respecto a un sistema de referencia inercial con origen en el centro de masa del sistema, que además coincidirá con uno de los focos de la cónica. Si la energía total del sistema (energía potencial más energía cinética de los cuerpos) es negativa, entonces las curvas cónicas que dan la trayectoria de ambos cuerpos serán elipses. Ese resultado fue la primera deducción teórica de que los planetas reales se mueven en trayectorias que con bastante aproximación, son elipses, y permitió explicar diversas observaciones empíricas resumidas en las leyes de Kepler.

Problema de los tres cuerpos

 
Movimiento caótico de tres cuerpos en un campo de fuerzas aislado

De acuerdo con la descripción newtoniana, cuando se mueven tres cuerpos bajo la acción de su campo gravitatorio mutuo, como el sistema Sol-Tierra-Luna, la fuerza sobre cada cuerpo es justamente la suma vectorial de las fuerzas gravitatorias ejercidas por los otros dos. Así las ecuaciones de movimiento son fáciles de escribir pero difíciles de resolver ya que no son lineales. De hecho, es bien conocido que la dinámica del problema de los tres cuerpos de la mecánica clásica es una dinámica caótica.

Desde la época de Newton se ha intentado hallar soluciones matemáticamente exactas del problema de los tres cuerpos, hasta que a finales del siglo XIX Henri Poincaré demostró en un célebre trabajo que era imposible una solución general analítica (sin embargo, se mostró también que por medio de series infinitas convergentes se podía solucionar el problema). Solo en algunas circunstancias son posibles ciertas soluciones sencillas. Por ejemplo, si la masa de uno de los tres cuerpos es mucho menor que la de los otros dos (problema conocido como problema restringido de los tres cuerpos), el sistema puede ser reducido a un problema de dos cuerpos más otro problema de un solo cuerpo.

Mecánica relativista: Teoría general de la relatividad

 
Representación esquemática bidimensional de la deformación del espacio-tiempo en el entorno de la Tierra
 
Una representación del paraboloide de Flamm, cuya curvatura geométrica coincide con la del plano de la eclíptica o ecuatorial de una estrella esféricamente simétrica.

Albert Einstein revisó la teoría newtoniana en su teoría de la relatividad general, describiendo la interacción gravitatoria como una deformación de la geometría del espacio-tiempo por efecto de la masa de los cuerpos; el espacio y el tiempo asumen un papel dinámico.

Según Einstein, no existe el empuje gravitatorio; dicha fuerza es una ilusión, un efecto de la geometría. Así, la Tierra deforma el espacio-tiempo de nuestro entorno, de manera que el propio espacio nos empuja hacia el suelo. Una hormiga, al caminar sobre un papel arrugado, tendrá la sensación de que hay fuerzas misteriosas que la empujan hacia diferentes direcciones, pero lo único que existe son pliegues en el papel, su geometría.

La deformación geométrica viene caracterizada por el tensor métrico que satisface las ecuaciones de campo de Einstein. La "fuerza de la gravedad" newtoniana es solo un efecto asociado al hecho de que un observador en reposo respecto a la fuente del campo no es un observador inercial y por tanto al tratar de aplicar el equivalente relativista de las leyes de Newton mide fuerzas ficticias dadas por los símbolos de Christoffel de la métrica del espacio-tiempo.

La gravedad convencional de acuerdo con la teoría de la relatividad tiene generalmente características atractivas, mientras que la denominada energía oscura parece tener características de fuerza gravitacional repulsiva, causando la acelerada expansión del universo.

Cálculo relativista de la fuerza aparente

En presencia de una masa esférica, el espacio-tiempo no es plano sino curvo, y el tensor métrico g que sirve para calcular las distancias viene dado en coordenadas usuales  , llamada métrica de Schwarzschild:

 

donde G es la constante de gravitación universal, M es la masa de la estrella, y c es la velocidad de la luz. La ecuación de las geodésicas dará la ecuación de las trayectorias en el espacio-tiempo curvo. Si se considera una partícula en reposo respecto a la masa gravitatoria que crea el campo, se tiene que esta seguirá una trayectoria dada por las ecuaciones:

 

La primera de estas ecuaciones da el cambio de la coordenada radial, y la segunda da la dilatación del tiempo respecto a un observador inercial, situado a una distancia muy grande respecto a la masa que crea el campo. Si se particularizan esas ecuaciones para el instante inicial en que la partícula está en reposo y empieza a moverse desde la posición inicial, se llega a que la fuerza aparente que mediría un observador en reposo viene dada por:

 

Esta expresión coincide con la expresión de la teoría newtoniana si se tiene en cuenta que la dilatación del tiempo gravitatoria para un observador dentro de un campo gravitatorio y en reposo respecto a la fuente del campo viene dado por:

 

Ondas gravitatorias

Además, la relatividad general predice la propagación de ondas gravitatorias. Estas ondas solo podrían ser medibles si las originan fenómenos astrofísicos violentos, como el choque de dos estrellas masivas o remanentes del Big Bang. Estudios preliminares sugieren que estas ondas han sido finalmente detectadas[14]​ de forma indirecta en la variación del periodo de rotación de púlsares dobles, y según el proyecto LIGO, también se detectaron provenientes de la unión de dos agujeros negros.[15]​ Por otro lado, las teorías cuánticas actuales apuntan a una "unidad de medida de la gravedad", el gravitón, como partícula que provoca dicha "fuerza", es decir, como partícula asociada al campo gravitatorio.

Efectos gravitatorios

Con la ayuda de esta nueva teoría, se pueden observar y estudiar una nueva serie de sucesos antes no explicables o no observados:

  • Desviación gravitatoria de luz hacia el rojo en presencia de campos con intensa gravedad: la frecuencia de la luz decrece al pasar por una región de elevada gravedad. Confirmado por el experimento de Pound y Rebka (1959).
  • Dilatación gravitatoria del tiempo: los relojes situados en condiciones de gravedad elevada marcan el tiempo más lentamente que relojes situados en un entorno sin gravedad. Demostrado experimentalmente con relojes atómicos situados sobre la superficie terrestre y los relojes en órbita del Sistema de Posicionamiento Global (GPS por sus siglas en inglés). También, aunque se trata de intervalos de tiempo muy pequeños, las diferentes pruebas realizadas con sondas planetarias han dado valores muy cercanos a los predichos por la relatividad general.
  • Efecto Shapiro (dilatación gravitatoria de desfases temporales): diferentes señales atravesando un campo gravitatorio intenso necesitan mayor tiempo para hacerlo.
  • Decaimiento orbital debido a la emisión de radiación gravitatoria. Observado en púlsares binarios.
  • Precesión geodésica: debido a la curvatura del espacio-tiempo, la orientación de un giroscopio en rotación cambiará con el tiempo. Esto está siendo puesto a prueba por el satélite Gravity Probe B.

Mecánica cuántica: búsqueda de una teoría unificada

 
Sección bidimensional proyectada en 3D de una variedad de Calabi-Yau de dimensión 6 embebida en CP4, este tipo de variedades se usan para definir una teoría de supercuerdas en diez dimensiones, usada como modelo de gravedad cuántica y teoría del todo.

Aunque aún no se dispone de una auténtica descripción cuántica de la gravedad, todos los intentos por crear una teoría física que satisfaga simultáneamente los principios cuánticos y a grandes escalas coincida con la teoría de Einstein de la gravitación, han encontrado grandes dificultades. En la actualidad existen algunos enfoques prometedores como la gravedad cuántica de bucles, la teoría de supercuerdas o la teoría de twistores, pero ninguno de ellos es un modelo completo que pueda suministrar predicciones suficientemente precisas. Además se han ensayado un buen número de aproximaciones semiclásicas que han sugerido nuevos efectos que debería predecir una teoría cuántica de la gravedad. Por ejemplo, Stephen Hawking usando uno de estos últimos enfoques sugirió que un agujero negro debería emitir cierta cantidad de radiación, efecto que se llamó radiación de Hawking y que aún no ha sido verificado empíricamente.

Las razones de las dificultades de una teoría unificada son varias. La mayor de ellas es que en el resto de teorías cuánticas de campos la estructura del espacio-tiempo es fija totalmente independiente de la materia, pero en cambio, en una teoría cuántica de la gravedad el propio espacio-tiempo debe estar sujeto a principios probabilistas, pero no sabemos como describir un espacio de Hilbert para los diversos estados cuánticos del propio espacio-tiempo. Así La unificación de la fuerza gravitatoria con las otras fuerzas fundamentales sigue resistiéndose a los físicos. La aparición en el Universo de materia oscura o una aceleración de la expansión del Universo hace pensar que todavía falta una teoría satisfactoria de las interacciones gravitatorias completas de las partículas con masa.

Otro punto difícil, es que de acuerdo con los principios cuánticos, el campo gravitatorio debería manifestarse en «cuantos» o partículas bosónicas transmisoras de la influencia gravitatoria. Dadas las características del campo gravitatorio, la supuesta partícula que transmitiría la interacción gravitatoria, llamada provisionalmente gravitón, debería ser una partícula sin masa (o con una masa extremadamente pequeña) y un espín de  . Sin embargo, los experimentos de detección de ondas gravitatorias todavía no han encontrado evidencia de la existencia del gravitón, por lo que de momento no es más que una conjetura física que podría no corresponderse con la realidad.

La interacción gravitatoria como fuerza fundamental

La interacción gravitatoria es una de las cuatro fuerzas fundamentales de la Naturaleza, junto al electromagnetismo, la interacción nuclear fuerte y la interacción nuclear débil. A diferencia de las fuerzas nucleares y a semejanza del electromagnetismo, actúa a grandes distancias. Sin embargo, al contrario que el electromagnetismo, la gravedad es una fuerza de tipo atractiva aunque existen casos particulares en que las geodésicas temporales pueden expandirse en ciertas regiones del espacio-tiempo, lo cual hace aparecer a la gravedad como una fuerza repulsiva, por ejemplo la energía oscura. Este es el motivo de que la gravedad sea la fuerza más importante a la hora de explicar los movimientos celestes.

Véase también

Referencias

  1. «Resolution of the 3rd CGPM (1901)». Oficina Internacional de Pesas y Medidas. Consultado el 10 de diciembre de 2018. 
  2. Reviel Neitz; William Noel (13 de octubre de 2011). The Archimedes Codex: Revealing The Secrets of the World's Greatest Palimpsest. Hachette UK. p. 125. ISBN 978-1-78022-198-4. 
  3. CJ Tuplin, Lewis Wolpert (2002). Science and Mathematics in Ancient Greek Culture. Hachette UK. p. xi. ISBN 978-0-19-815248-4. 
  4. Vitruvius, Marcus Pollio (1914). 7. En Alfred A. Howard, ed. «De Architectura libri decem». VII (Harvard University, Cambridge: Harvard University Press). p. 215. 
  5. Ball, Phil (June 2005). «Tall Tales». Nature News. doi:10. 1038/news050613-10 |doi= incorrecto (ayuda). 
  6. Galileo (1638), Dos ciencias nuevas, Primer día habla Salviati: "Si esto fuera lo que Aristóteles quiso decir, le cargaríais con otro error que equivaldría a una falsedad; porque, al no existir en la tierra una altura tan grande, es evidente que Aristóteles no podría haber hecho el experimento; sin embargo, quiere darnos la impresión de que lo ha realizado cuando habla de tal efecto como uno que vemos."
  7. Bongaarts, Peter (2014). Teoría Cuántica: Un enfoque matemático (ilustrada edición). Springer. p. 11. ISBN 978-3-319-09561-5. 
  8. Chandrasekhar, Subrahmanyan (2003). Oxford University Press, ed. Principia de Newton para el lector común. Oxford.  (pp. 1-2).
  9. Linton, Christopher M. (2004). De Eudoxus a Einstein - Una historia de la astronomía matemática. Cambridge: Cambridge University Press. p. 225. ISBN 978-0-521-82750-8. 
  10. Nobil, Anna M. (Marzo 1986). «El valor real del avance del perihelio de Mercurio». Nature 320 (6057): 39-41. Bibcode:...39N 1986Natur.320 ...39N. S2CID 4325839. doi:10.1038/320039a0. 
  11. M.C.W.Sandford (2008). . Rutherford Appleton Laboratory. Archivado desde el original el 28 September 2011. Consultado el 14 October 2011. 
  12. Paul S Wesson (2006). Five-dimensional Physics. World Scientific. p. org/details/fivedimensionalp0000wess/page/82 82. ISBN 978-981-256-661-4. 
  13. Haugen, Mark P.; C. Lämmerzahl (2001). «Principios de Equivalencia: Su papel en la física de la gravitación y los experimentos que los ponen a prueba». Gyros. Lecture Notes in Physics 562 (562, Giroscopios, relojes e interferómetros...: Probando la gravedad relativista en el espacio.). pp. 195-212. Bibcode:2001LNP...562..195H. S2CID 15430387. arXiv:gr-qc/0103067. doi:10.1007/3-540-40988-2_10. 
  14. «Detectan por primera vez las ondas gravitacionales que predijo Einstein». elmundo.es. Consultado el 17 de mayo de 2016. 
  15. «LIGO Detected Gravitational Waves from Black Holes». elmundo.es (en inglés). Consultado el 6 de junio de 2016. 

Bibliografía

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  • Wald, Robert M. (1984). General Relativity (en inglés) (12ª edición). Chicago University Press. p. 491. ISBN 0-226-87033-2. 

Enlaces externos

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  • Medida de la constante G de la Gravitación Universal, en sc.ehu.es (ac. 04-04-09).
  • Los secretos de la gravedad.
  •   Datos: Q11412
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gravedad, para, otros, usos, este, término, véase, desambiguación, gravedad, fenómeno, natural, cual, objetos, masa, atraídos, entre, efecto, mayormente, observable, interacción, entre, planetas, galaxias, demás, objetos, universo, cuatro, interacciones, funda. Para otros usos de este termino vease Gravedad desambiguacion La gravedad es un fenomeno natural por el cual los objetos con masa son atraidos entre si efecto mayormente observable en la interaccion entre los planetas galaxias y demas objetos del universo Es una de las cuatro interacciones fundamentales que origina la aceleracion que experimenta un cuerpo fisico en las cercanias de un objeto astronomico Tambien se denomina interaccion gravitatoria o gravitacion Isaac Newton formulo la ley de gravitacion universal Albert Einstein formulo la Relatividad General que es una teoria relativista de la gravitacion Si un cuerpo esta situado en las proximidades de un planeta un observador a una distancia fija del planeta medira una aceleracion del cuerpo dirigida hacia la zona central de dicho planeta si tal cuerpo no esta sometido al efecto de otras fuerzas La Oficina Internacional de Pesas y Medidas establecio en 1901 una gravedad estandar para la superficie de la Tierra acorde al Sistema Internacional con un valor fijo de 9 80665 m s 1 Indice 1 Introduccion 2 Historia de la teoria gravitacional 2 1 Mundo antiguo 2 2 Revolucion cientifica 2 3 Teoria de la gravitacion de Newton 2 4 Principio de equivalencia 3 Mecanica clasica ley de la gravitacion universal de Isaac Newton 3 1 Problema de los dos cuerpos y orbitas planetarias 3 2 Problema de los tres cuerpos 4 Mecanica relativista Teoria general de la relatividad 4 1 Calculo relativista de la fuerza aparente 4 2 Ondas gravitatorias 4 3 Efectos gravitatorios 5 Mecanica cuantica busqueda de una teoria unificada 5 1 La interaccion gravitatoria como fuerza fundamental 6 Vease tambien 7 Referencias 8 Bibliografia 9 Enlaces externosIntroduccion EditarLa gravedad es una de las cuatro interacciones fundamentales observadas en la naturaleza Origina los movimientos a gran escala que se observan en el universo la orbita de la Luna alrededor de la Tierra las orbitas de los planetas alrededor del Sol etcetera A escala cosmologica parece ser la interaccion dominante pues gobierna la mayor parte de los fenomenos a gran escala las otras tres interacciones fundamentales son predominantes a escalas mas pequenas El electromagnetismo explica el resto de los fenomenos macroscopicos mientras que la interaccion fuerte y la interaccion debil son importantes solo a escala subatomica El termino gravedad se utiliza para designar la intensidad del fenomeno gravitatorio en la superficie de los planetas o satelites Isaac Newton fue el primero en exponer que es de la misma naturaleza la fuerza que hace que los objetos caigan con aceleracion constante en la Tierra gravedad terrestre y la fuerza que mantiene en movimiento los planetas y las estrellas Esta idea le llevo a formular la primera teoria general de la gravitacion la universalidad del fenomeno expuesta en su obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica Einstein en la teoria de la relatividad general hace un analisis diferente de la interaccion gravitatoria De acuerdo con esta teoria la gravedad puede entenderse como un efecto geometrico de la materia sobre el espacio tiempo Cuando cierta cantidad de materia ocupa una region del espacio tiempo provoca que este se deforme de este modo la deformacion de este es como si el mismo espacio tiempo se comprimiera en direccion al centro de masa de un objeto Visto asi la fuerza gravitatoria deja de ser una misteriosa fuerza que atrae y se convierte en el efecto que produce la deformacion del espacio tiempo de geometria no euclidea sobre el movimiento de los cuerpos Segun esta teoria dado que todos los objetos se mueven en el espacio tiempo al deformarse este la trayectoria de aquellos sera desviada produciendo su aceleracion Historia de la teoria gravitacional EditarArticulo principal Historia de la teoria gravitacional Mundo antiguo Editar El antiguo filosofo griego Arquimedes descubrio el centro de gravedad de un triangulo 2 Tambien postulo que si dos pesos iguales no tenian el mismo centro de gravedad el centro de gravedad de los dos pesos juntos estaria en el medio de la linea que une sus centros de gravedad 3 El arquitecto e ingeniero romano Vitruvio en De Architectura postulo que la gravedad de un objeto no dependia del peso sino de su naturaleza 4 Revolucion cientifica Editar Articulo principal Revolucion cientifica Los trabajos modernos sobre la teoria gravitacional comenzaron con el trabajo de Galileo Galilei a finales del siglo XVI y principios del XVII En su famoso aunque posiblemente apocrifo 5 experimento dejando caer bolas desde la Torre de Pisa y mas tarde con cuidadosas mediciones de bolas rodando por inclinado Galileo demostro que la aceleracion gravitatoria es la misma para todos los objetos Esto supuso un gran cambio respecto a la creencia de Aristoteles de que los objetos mas pesados tienen una mayor aceleracion gravitatoria 6 Galileo postulo la resistencia del aire como la razon por la que los objetos con baja densidad y una superficie elevada caen mas lentamente en una atmosfera El trabajo de Galileo sento las bases para la formulacion de la teoria de la gravedad de Newton 7 Teoria de la gravitacion de Newton Editar Articulo principal Ley de gravitacion universal El fisico y matematico ingles Sir Isaac Newton 1642 1727 En 1687 el matematico ingles Sir Isaac Newton publico Principia que plantea la hipotesis de la ley de la inversa del cuadrado de la gravitacion universal En sus propias palabras deduje que las fuerzas que mantienen a los planetas en sus orbes deben ser reciprocamente como los cuadrados de sus distancias desde los centros alrededor de los cuales giran y asi compare la fuerza requerida para mantener a la Luna en su Orbe con la fuerza de gravedad en la superficie de la Tierra y encontre que responden de manera bastante cercana 8 La cita procede de un memorandum que se cree que fue escrito hacia 1714 Ya en 1645 Ismael Bullialdus habia argumentado que cualquier fuerza ejercida por el Sol sobre objetos distantes tendria que seguir una ley inversa al cuadrado Sin embargo tambien descarto la idea de que tal fuerza existiera Vease por ejemplo 9 La ecuacion es la siguiente F G m 1 m 2 r 2 displaystyle F G frac m 1 m 2 r 2 Donde F es la fuerza m1 y m2 son las masas de los objetos que interactuan r es la distancia entre los centros de las masas y G es la constante gravitatoria La teoria de Newton tuvo su mayor exito cuando se utilizo para predecir la existencia de Neptuno basandose en los movimientos de Urano que no podian ser explicados por las acciones de los otros planetas Los calculos de John Couch Adams y Urbain Le Verrier predijeron la posicion general del planeta y los calculos de Le Verrier son los que llevaron a Johann Gottfried Galle al descubrimiento de Neptuno Una discrepancia en la orbita de Mercurio puso de manifiesto los fallos de la teoria de Newton A finales del siglo XIX se sabia que su orbita mostraba ligeras perturbaciones que no podian explicarse por completo con la teoria de Newton pero todas las busquedas de otro cuerpo perturbador como un planeta que orbitara alrededor del Sol aun mas cerca que Mercurio habian sido infructuosas La cuestion se resolvio en 1915 con la nueva teoria de la relatividad general de Albert Einstein que explicaba la pequena discrepancia en la orbita de Mercurio Esta discrepancia era el avance en el perihelio de Mercurio de 42 98 segundos de arco por siglo 10 Aunque la teoria de Newton ha sido superada por la relatividad general de Albert Einstein la mayoria de los calculos gravitacionales modernos de la no relativista se siguen haciendo con la teoria de Newton porque es mas sencilla de trabajar y da resultados suficientemente precisos para la mayoria de las aplicaciones que implican masas velocidades y energias suficientemente pequenas Principio de equivalencia Editar El principio de equivalencia explorado por una sucesion de investigadores entre ellos Galileo Lorand Eotvos y Einstein expresa la idea de que todos los objetos caen de la misma manera y que los efectos de la gravedad son indistintos de ciertos aspectos de la aceleracion y la desaceleracion La forma mas sencilla de comprobar el principio de equivalencia debil es dejar caer dos objetos de masas o composiciones diferentes en el vacio y ver si caen al suelo al mismo tiempo Estos experimentos demuestran que todos los objetos caen a la misma velocidad cuando otras fuerzas como la resistencia del aire y los efectos electromagneticos son despreciables Las pruebas mas sofisticadas utilizan una balanza de torsion del tipo inventado por Eotvos Para realizar experimentos mas precisos en el espacio se han previsto experimentos por satelite por ejemplo STEP 11 Las formulaciones del principio de equivalencia incluyen El principio de equivalencia debil La trayectoria de una masa puntual en un campo gravitatorio solo depende de su posicion y velocidad iniciales y es independiente de su composicion 12 El principio de equivalencia einsteiniano El resultado de cualquier experimento local no gravitacional en un laboratorio que cae libremente es independiente de la velocidad del laboratorio y de su ubicacion en el espaciotiempo 13 El principio de equivalencia fuerte que requiere ambas cosas Mecanica clasica ley de la gravitacion universal de Isaac Newton EditarArticulo principal Ley de gravitacion universal Fuerzas mutuas de atraccion entre dos esferas de diferente tamano De acuerdo con la mecanica newtoniana las dos fuerzas son iguales en modulo pero de sentido contrario al estar aplicadas en diferentes cuerpos no se anulan y su efecto combinado no altera la posicion del centro de gravedad conjunto de ambas esferas En la teoria newtoniana de la gravitacion los efectos de la gravedad son siempre atractivos y la fuerza resultante se calcula respecto del centro de gravedad de ambos objetos en el caso de la Tierra el centro de gravedad es su centro de masas al igual que en la mayoria de los cuerpos celestes de caracteristicas homogeneas La gravedad newtoniana tiene un alcance teorico infinito la fuerza es mayor si los objetos estan proximos pero a mayor distancia dicha fuerza pierde intensidad Ademas Newton postulo que la gravedad es una accion a distancia y por tanto a nivel relativista no es una descripcion correcta sino solo una primera aproximacion para cuerpos en movimiento muy lento comparado con la velocidad de la luz La ley de la gravitacion universal formulada por Isaac Newton postula que la fuerza que ejerce una particula puntual con masa m 1 displaystyle m 1 sobre otra con masa m 2 displaystyle m 2 es directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa F 21 G m 1 m 2 r 2 r 1 2 u 21 displaystyle mathbf F 21 G frac m 1 m 2 mathbf r 2 mathbf r 1 2 mathbf hat u 21 donde u 21 displaystyle mathbf hat u 21 es el vector unitario que dirigido de la particula 1 a la 2 esto es en la direccion del vector r 21 r 2 r 1 displaystyle mathbf r 21 mathbf r 2 mathbf r 1 y G displaystyle G es la constante de gravitacion universal siendo su valor aproximadamente 6 674 10 11N m kg Por ejemplo usando la ley de la gravitacion universal podemos calcular la fuerza de atraccion entre la Tierra y un cuerpo de 50 kg La masa de la Tierra es 5 974 1024 kg y la distancia entre el centro de gravedad de la Tierra centro de la tierra y el centro de gravedad del cuerpo es 6378 14 km igual a 6 378 140 m y suponiendo que el cuerpo se encuentre sobre la linea del ecuador Entonces la fuerza es F G m 1 m 2 d 2 6 67428 10 11 50 5 974 10 24 6378140 2 490 062 N displaystyle F G frac m 1 m 2 d 2 6 67428 times 10 11 frac 50 times 5 974 cdot 10 24 6378140 2 490 062 text N La fuerza con que se atraen la Tierra y el cuerpo de 50 kg es 490 062 N Newtons Sistema Internacional de Unidades lo que representa 50 kgf kilogramo fuerza Sistema Tecnico como cabia esperar por lo que decimos simplemente que el cuerpo pesa 50 kg Dentro de esta ley empirica tenemos estas importantes conclusiones Las fuerzas gravitatorias son siempre atractivas El hecho de que los planetas describan una orbita cerrada alrededor del Sol indica este hecho Una fuerza atractiva puede producir tambien orbitas abiertas pero una fuerza repulsiva nunca podra producir orbitas cerradas Tienen alcance infinito Dos cuerpos por muy alejados que se encuentren experimentan esta fuerza La fuerza asociada con la interaccion gravitatoria es central A mayor distancia menor fuerza de atraccion y a menor distancia mayor la fuerza de atraccion A pesar de los siglos hoy sigue utilizandose cotidianamente esta ley en el ambito del movimiento de cuerpos incluso a la escala del sistema solar aunque este desfasada teoricamente Para estudiar el fenomeno en su completitud hay que recurrir a la teoria de la Relatividad General Veanse tambien masa inercialy Masa gravitacional Problema de los dos cuerpos y orbitas planetarias Editar Articulo principal Problema de los dos cuerpos Dos cuerpos orbitando alrededor de su centro de masas en orbitas elipticas La ley de Newton aplicada a un sistema de dos particulas o dos cuerpos cuyas dimensiones fisicas son pequenas comparadas con las distancias entre ellos lleva a que ambos cuerpos describiran una curva conica elipse parabola o hiperbola respecto a un sistema de referencia inercial con origen en el centro de masa del sistema que ademas coincidira con uno de los focos de la conica Si la energia total del sistema energia potencial mas energia cinetica de los cuerpos es negativa entonces las curvas conicas que dan la trayectoria de ambos cuerpos seran elipses Ese resultado fue la primera deduccion teorica de que los planetas reales se mueven en trayectorias que con bastante aproximacion son elipses y permitio explicar diversas observaciones empiricas resumidas en las leyes de Kepler Problema de los tres cuerpos Editar Articulo principal Problema de los tres cuerpos Movimiento caotico de tres cuerpos en un campo de fuerzas aislado De acuerdo con la descripcion newtoniana cuando se mueven tres cuerpos bajo la accion de su campo gravitatorio mutuo como el sistema Sol Tierra Luna la fuerza sobre cada cuerpo es justamente la suma vectorial de las fuerzas gravitatorias ejercidas por los otros dos Asi las ecuaciones de movimiento son faciles de escribir pero dificiles de resolver ya que no son lineales De hecho es bien conocido que la dinamica del problema de los tres cuerpos de la mecanica clasica es una dinamica caotica Desde la epoca de Newton se ha intentado hallar soluciones matematicamente exactas del problema de los tres cuerpos hasta que a finales del siglo XIX Henri Poincare demostro en un celebre trabajo que era imposible una solucion general analitica sin embargo se mostro tambien que por medio de series infinitas convergentes se podia solucionar el problema Solo en algunas circunstancias son posibles ciertas soluciones sencillas Por ejemplo si la masa de uno de los tres cuerpos es mucho menor que la de los otros dos problema conocido como problema restringido de los tres cuerpos el sistema puede ser reducido a un problema de dos cuerpos mas otro problema de un solo cuerpo Mecanica relativista Teoria general de la relatividad EditarArticulos principales Relatividad generaly Aproximacion para campos gravitatorios debiles Representacion esquematica bidimensional de la deformacion del espacio tiempo en el entorno de la Tierra Una representacion del paraboloide de Flamm cuya curvatura geometrica coincide con la del plano de la ecliptica o ecuatorial de una estrella esfericamente simetrica Albert Einstein reviso la teoria newtoniana en su teoria de la relatividad general describiendo la interaccion gravitatoria como una deformacion de la geometria del espacio tiempo por efecto de la masa de los cuerpos el espacio y el tiempo asumen un papel dinamico Segun Einstein no existe el empuje gravitatorio dicha fuerza es una ilusion un efecto de la geometria Asi la Tierra deforma el espacio tiempo de nuestro entorno de manera que el propio espacio nos empuja hacia el suelo Una hormiga al caminar sobre un papel arrugado tendra la sensacion de que hay fuerzas misteriosas que la empujan hacia diferentes direcciones pero lo unico que existe son pliegues en el papel su geometria La deformacion geometrica viene caracterizada por el tensor metrico que satisface las ecuaciones de campo de Einstein La fuerza de la gravedad newtoniana es solo un efecto asociado al hecho de que un observador en reposo respecto a la fuente del campo no es un observador inercial y por tanto al tratar de aplicar el equivalente relativista de las leyes de Newton mide fuerzas ficticias dadas por los simbolos de Christoffel de la metrica del espacio tiempo La gravedad convencional de acuerdo con la teoria de la relatividad tiene generalmente caracteristicas atractivas mientras que la denominada energia oscura parece tener caracteristicas de fuerza gravitacional repulsiva causando la acelerada expansion del universo Calculo relativista de la fuerza aparente Editar En presencia de una masa esferica el espacio tiempo no es plano sino curvo y el tensor metrico g que sirve para calcular las distancias viene dado en coordenadas usuales t r 8 ϕ displaystyle scriptstyle t r theta phi llamada metrica de Schwarzschild g c 2 1 2 G M c 2 r d t d t 1 2 G M c 2 r 1 d r d r r 2 d 8 d 8 sin 2 8 d f d f displaystyle g c 2 left 1 frac 2GM c 2 r right mathrm d t otimes mathrm d t left 1 frac 2GM c 2 r right 1 mathrm d r otimes mathrm d r r 2 left mathrm d theta otimes mathrm d theta sin 2 theta mathrm d varphi otimes mathrm d varphi right donde G es la constante de gravitacion universal M es la masa de la estrella y c es la velocidad de la luz La ecuacion de las geodesicas dara la ecuacion de las trayectorias en el espacio tiempo curvo Si se considera una particula en reposo respecto a la masa gravitatoria que crea el campo se tiene que esta seguira una trayectoria dada por las ecuaciones d 2 r d t 2 G M c 2 r 2 G M r d r d t 2 r 2 G M c 2 G M r 3 d t d t 2 d 2 t d t 2 2 G M c 2 r 2 G M r d r d t d t d t displaystyle begin cases cfrac d 2 r d tau 2 cfrac GM c 2 r 2GM r left cfrac dr d tau right 2 left r cfrac 2GM c 2 right cfrac GM r 3 left cfrac dt d tau right 2 cfrac d 2 t d tau 2 2 cfrac GM c 2 r 2GM r left cfrac dr d tau right left cfrac dt d tau right end cases La primera de estas ecuaciones da el cambio de la coordenada radial y la segunda da la dilatacion del tiempo respecto a un observador inercial situado a una distancia muy grande respecto a la masa que crea el campo Si se particularizan esas ecuaciones para el instante inicial en que la particula esta en reposo y empieza a moverse desde la posicion inicial se llega a que la fuerza aparente que mediria un observador en reposo viene dada por d 2 r d t 2 r 2 G M c 2 G M r 3 d t d t 2 G M r 2 1 2 G M c 2 r d t d t 2 G M r 2 displaystyle cfrac d 2 r d tau 2 left r cfrac 2GM c 2 right cfrac GM r 3 left cfrac dt d tau right 2 cfrac GM r 2 left left 1 cfrac 2GM c 2 r right left cfrac dt d tau right 2 right approx cfrac GM r 2 Esta expresion coincide con la expresion de la teoria newtoniana si se tiene en cuenta que la dilatacion del tiempo gravitatoria para un observador dentro de un campo gravitatorio y en reposo respecto a la fuente del campo viene dado por d t d t 2 1 2 G M c 2 r 1 displaystyle left cfrac dt d tau right 2 left 1 cfrac 2GM c 2 r right 1 Ondas gravitatorias Editar Articulo principal Onda gravitatoria Ademas la relatividad general predice la propagacion de ondas gravitatorias Estas ondas solo podrian ser medibles si las originan fenomenos astrofisicos violentos como el choque de dos estrellas masivas o remanentes del Big Bang Estudios preliminares sugieren que estas ondas han sido finalmente detectadas 14 de forma indirecta en la variacion del periodo de rotacion de pulsares dobles y segun el proyecto LIGO tambien se detectaron provenientes de la union de dos agujeros negros 15 Por otro lado las teorias cuanticas actuales apuntan a una unidad de medida de la gravedad el graviton como particula que provoca dicha fuerza es decir como particula asociada al campo gravitatorio Efectos gravitatorios Editar Con la ayuda de esta nueva teoria se pueden observar y estudiar una nueva serie de sucesos antes no explicables o no observados Desviacion gravitatoria de luz hacia el rojo en presencia de campos con intensa gravedad la frecuencia de la luz decrece al pasar por una region de elevada gravedad Confirmado por el experimento de Pound y Rebka 1959 Dilatacion gravitatoria del tiempo los relojes situados en condiciones de gravedad elevada marcan el tiempo mas lentamente que relojes situados en un entorno sin gravedad Demostrado experimentalmente con relojes atomicos situados sobre la superficie terrestre y los relojes en orbita del Sistema de Posicionamiento Global GPS por sus siglas en ingles Tambien aunque se trata de intervalos de tiempo muy pequenos las diferentes pruebas realizadas con sondas planetarias han dado valores muy cercanos a los predichos por la relatividad general Efecto Shapiro dilatacion gravitatoria de desfases temporales diferentes senales atravesando un campo gravitatorio intenso necesitan mayor tiempo para hacerlo Decaimiento orbital debido a la emision de radiacion gravitatoria Observado en pulsares binarios Precesion geodesica debido a la curvatura del espacio tiempo la orientacion de un giroscopio en rotacion cambiara con el tiempo Esto esta siendo puesto a prueba por el satelite Gravity Probe B Mecanica cuantica busqueda de una teoria unificada EditarArticulo principal Gravedad cuantica Seccion bidimensional proyectada en 3D de una variedad de Calabi Yau de dimension 6 embebida en CP4 este tipo de variedades se usan para definir una teoria de supercuerdas en diez dimensiones usada como modelo de gravedad cuantica y teoria del todo Aunque aun no se dispone de una autentica descripcion cuantica de la gravedad todos los intentos por crear una teoria fisica que satisfaga simultaneamente los principios cuanticos y a grandes escalas coincida con la teoria de Einstein de la gravitacion han encontrado grandes dificultades En la actualidad existen algunos enfoques prometedores como la gravedad cuantica de bucles la teoria de supercuerdas o la teoria de twistores pero ninguno de ellos es un modelo completo que pueda suministrar predicciones suficientemente precisas Ademas se han ensayado un buen numero de aproximaciones semiclasicas que han sugerido nuevos efectos que deberia predecir una teoria cuantica de la gravedad Por ejemplo Stephen Hawking usando uno de estos ultimos enfoques sugirio que un agujero negro deberia emitir cierta cantidad de radiacion efecto que se llamo radiacion de Hawking y que aun no ha sido verificado empiricamente Las razones de las dificultades de una teoria unificada son varias La mayor de ellas es que en el resto de teorias cuanticas de campos la estructura del espacio tiempo es fija totalmente independiente de la materia pero en cambio en una teoria cuantica de la gravedad el propio espacio tiempo debe estar sujeto a principios probabilistas pero no sabemos como describir un espacio de Hilbert para los diversos estados cuanticos del propio espacio tiempo Asi La unificacion de la fuerza gravitatoria con las otras fuerzas fundamentales sigue resistiendose a los fisicos La aparicion en el Universo de materia oscura o una aceleracion de la expansion del Universo hace pensar que todavia falta una teoria satisfactoria de las interacciones gravitatorias completas de las particulas con masa Otro punto dificil es que de acuerdo con los principios cuanticos el campo gravitatorio deberia manifestarse en cuantos o particulas bosonicas transmisoras de la influencia gravitatoria Dadas las caracteristicas del campo gravitatorio la supuesta particula que transmitiria la interaccion gravitatoria llamada provisionalmente graviton deberia ser una particula sin masa o con una masa extremadamente pequena y un espin de 2 ℏ displaystyle 2 hbar Sin embargo los experimentos de deteccion de ondas gravitatorias todavia no han encontrado evidencia de la existencia del graviton por lo que de momento no es mas que una conjetura fisica que podria no corresponderse con la realidad La interaccion gravitatoria como fuerza fundamental Editar La interaccion gravitatoria es una de las cuatro fuerzas fundamentales de la Naturaleza junto al electromagnetismo la interaccion nuclear fuerte y la interaccion nuclear debil A diferencia de las fuerzas nucleares y a semejanza del electromagnetismo actua a grandes distancias Sin embargo al contrario que el electromagnetismo la gravedad es una fuerza de tipo atractiva aunque existen casos particulares en que las geodesicas temporales pueden expandirse en ciertas regiones del espacio tiempo lo cual hace aparecer a la gravedad como una fuerza repulsiva por ejemplo la energia oscura Este es el motivo de que la gravedad sea la fuerza mas importante a la hora de explicar los movimientos celestes Vease tambien EditarIngravidez Anomalia gravitatoria Anomalia geoidal Campo gravitatorio Interacciones fundamentales Teoria general de la relatividad Teoria de supercuerdas SuperfuerzaReferencias Editar Resolution of the 3rd CGPM 1901 Oficina Internacional de Pesas y Medidas Consultado el 10 de diciembre de 2018 Reviel Neitz William Noel 13 de octubre de 2011 The Archimedes Codex Revealing The Secrets of the World s Greatest Palimpsest Hachette UK p 125 ISBN 978 1 78022 198 4 CJ Tuplin Lewis Wolpert 2002 Science and Mathematics in Ancient Greek Culture Hachette UK p xi ISBN 978 0 19 815248 4 Vitruvius Marcus Pollio 1914 7 En Alfred A Howard ed De Architectura libri decem VII Harvard University Cambridge Harvard University Press p 215 Ball Phil June 2005 Tall Tales Nature News doi 10 1038 news050613 10 doi incorrecto ayuda Galileo 1638 Dos ciencias nuevas Primer dia habla Salviati Si esto fuera lo que Aristoteles quiso decir le cargariais con otro error que equivaldria a una falsedad porque al no existir en la tierra una altura tan grande es evidente que Aristoteles no podria haber hecho el experimento sin embargo quiere darnos la impresion de que lo ha realizado cuando habla de tal efecto como uno que vemos Bongaarts Peter 2014 Teoria Cuantica Un enfoque matematico ilustrada edicion Springer p 11 ISBN 978 3 319 09561 5 Chandrasekhar Subrahmanyan 2003 Oxford University Press ed Principia de Newton para el lector comun Oxford pp 1 2 Linton Christopher M 2004 De Eudoxus a Einstein Una historia de la astronomia matematica Cambridge Cambridge University Press p 225 ISBN 978 0 521 82750 8 Nobil Anna M Marzo 1986 El valor real del avance del perihelio de Mercurio Nature 320 6057 39 41 Bibcode 39N 1986Natur 320 39N S2CID 4325839 doi 10 1038 320039a0 M C W Sandford 2008 STEP Satellite Test of the Equivalence Principle Rutherford Appleton Laboratory Archivado desde el original el 28 September 2011 Consultado el 14 October 2011 Paul S Wesson 2006 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