Identidades logarítmicas

En matemáticas, hay muchas identidades logarítmicas.

Identidades algebraicas

Con operaciones simples

Los logaritmos se utilizan generalmente para hacer más simples las operaciones. Por ejemplo, se pueden multiplicar dos números utilizando una tabla de logaritmos y sumando.

${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\!\,}$	porque	${\displaystyle b^{x}\cdot b^{y}=b^{x+y}}$
${\displaystyle \log _{b}\!\left({\begin{matrix}{\frac {x}{y}}\end{matrix}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}$	porque	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {b^{x}}{b^{y}}}\end{matrix}}=b^{x-y}}$
${\displaystyle \log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)\!\,}$	porque	${\displaystyle (b^{x})^{y}=b^{xy}\!\,}$
${\displaystyle \log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\frac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}}$	porque	${\displaystyle {\sqrt[{y}]{b^{x}}}=b^{x/y}}$

Cancelación de exponentes

Los logaritmos y exponenciales (antilogaritmos) con la misma base se cancelan.

${\displaystyle b^{\log _{b}(x)}=x}$	porque	${\displaystyle \mathrm {antilog} _{b}(\log _{b}(x))=x\!\,}$
${\displaystyle \log _{b}(b^{x})=x\!\,}$	porque	${\displaystyle \log _{b}(\mathrm {antilog} _{b}(x))=x\!\,}$

Cambio de base

${\displaystyle \log _{a}b={\log _{c}b \over \log _{c}a}}$ 

Esta identidad se requiere para evaluar logaritmos con calculadoras. La mayoría de las calculadoras solo pueden procesar ln y log₁₀, pero no por ejemplo log₂. Para encontrar log₂(3), basta calcular log₁₀(3) / log₁₀(2) (o bien ln(3)/ln(2), que da idéntico resultado).

Demostración

A partir de un logaritmo tal que: ${\displaystyle y=\log _{a}b\iff a^{y}=b}$  Tomando ${\displaystyle \log _{c}}$  en ambos lados de la segunda ecuación: ${\displaystyle \log _{c}a^{y}=\log _{c}b\,}$  Se despeja ${\displaystyle y}$ : ${\displaystyle y\log _{c}a=\log _{c}b\,}$  ${\displaystyle y={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}\,}$  Finalmente, como ${\displaystyle y=\log _{a}b}$ : ${\displaystyle \log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}}$

Consecuencias

Esta fórmula tiene varias consecuencias:

${\displaystyle \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}}$ 

${\displaystyle \log _{a^{n}}b={\frac {1}{n}}\log _{a}b}$ 

${\displaystyle a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}}$ 

Identidades triviales

${\displaystyle \log _{b}1=0\!\,}$	porque	${\displaystyle b^{0}=1\!\,}$
${\displaystyle \log _{b}b=1\!\,}$	porque	${\displaystyle b^{1}=b\!\,}$

Identidades de cálculo

Límites

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{si }}a>1}$ 

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{si }}a<1}$ 

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{si }}a>1}$ 

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{si }}a<1}$ 

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0}$ 

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{1 \over x^{b}}\log _{a}x=0}$ 

El último límite se resume frecuentemente diciendo "los logaritmos crecen más lentamente que cualquier potencia o raíz de x".

Derivadas de funciones logarítmicas

${\displaystyle {d \over dx}\log _{a}x={d \over dx}{\ln x \over \ln a}={1 \over x\ln a}={\log _{a}e \over x}}$ 

Integrales de funciones logarítmicas

${\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C}$ 

Para recordar integrales más grandes, es conveniente definir:

${\displaystyle x^{\left[n\right]}:=x^{n}(\log(x)-H_{n})}$ 

Donde ${\displaystyle H_{n}}$  es el n-ésimo número armónico. Así, las primeras serían:

${\displaystyle x^{\left[0\right]}=\log x}$ 

${\displaystyle x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x}$ 

${\displaystyle x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}}$ 

${\displaystyle x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\,x^{3}}$ 

Entonces,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]}}$ 

${\displaystyle \int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C}$ 

Véase también

• Identidades trigonométricas

Referencias

Enlaces externos

• Simmons, Bruce (2011). «Logarithm». Mathwords (en inglés). 
• Weisstein, Eric W. «Identidades logarítmicas». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

•   Datos: Q1814130