Si R es un anillo conmutativo y a es un elemento de R, el ideal principal generado por a es el conjunto
.
Al ideal (a) también se le suele denotar como Ra.
La verificación de que dicho conjunto es un ideal procede como sigue:
Si ra, sa son dos elementos de (a), entonces ra + sa también lo es puesto que .
Si ra es un elemento de (a) y s es un elemento arbitrario del anillo, y por tanto s(ra) también pertenece a (a).
El elemento cero pertenece al conjunto (a) puesto que 0=0a.
Cuando el anillo no es conmutativo, es necesario hacer diferencias entre ideales izquierdos y derechos.
Si R es un anillo y a es un elemento de R, el ideal principal izquierdo generado por a es el conjunto
,
mientras que el ideal principal derecho generado por a es el conjunto
.
En el caso de anillos conmutativos, los conceptos de ideal izquierdo y derecho son equivalentes.
Ejemplos
Consideremos el anillo (matemáticas)R. Entonces el conjunto de todos los múltiplos de 3 es el ideal principal generado por 3, puesto que un entero n es múltiplo de 3 precisamente cuando existe un número entero k tal que .
Un ideal no tiene por qué ser siempre principal. Por ejemplo, sea un anillo commutativo, entonces e son ideales principales de . Ahora bien, también es un ideal, aunque este no es principal.
Definición
El anillo íntegro K, cuyos ideales son todos principales se llama anillo de ideales principales. Todo anillo euclídeo es un anillo de ideales principales.[1]
A. I. Kostrikin: Introducción al álgebra Editorial Mir/ Moscú, 1983
Datos:Q44382
Enero 13, 2022
ideal, principal, matemáticas, particularmente, dentro, teoría, anillos, ideal, principal, ideal, generado, único, elemento, anillo, conmutativo, elemento, ideal, principal, generado, conjunto, displaystyle, ideal, también, suele, denotar, como, verificación, . En matematicas particularmente dentro de la teoria de anillos un ideal principal es un ideal generado por un unico elemento Si R es un anillo conmutativo y a es un elemento de R el ideal principal generado por a es el conjunto a r a r R displaystyle a ra r in R Al ideal a tambien se le suele denotar como Ra La verificacion de que dicho conjunto es un ideal procede como sigue Si ra sa son dos elementos de a entonces ra sa tambien lo es puesto que r a s a r s a displaystyle ra sa r s a Si ra es un elemento de a y s es un elemento arbitrario del anillo s r a r s a displaystyle s ra rs a y por tanto s ra tambien pertenece a a El elemento cero pertenece al conjunto a puesto que 0 0a Cuando el anillo no es conmutativo es necesario hacer diferencias entre ideales izquierdos y derechos Si R es un anillo y a es un elemento de R el ideal principal izquierdo generado por a es el conjunto R a r a r R displaystyle Ra ra r in R mientras que el ideal principal derecho generado por a es el conjunto a R a r r R displaystyle aR ar r in R En el caso de anillos conmutativos los conceptos de ideal izquierdo y derecho son equivalentes Ejemplos EditarConsideremos el anillo matematicas R Entonces el conjunto de todos los multiplos de 3 es el ideal principal generado por 3 puesto que un entero n es multiplo de 3 precisamente cuando existe un numero entero k tal que n k 3 displaystyle n k cdot 3 Un ideal no tiene por que ser siempre principal Por ejemplo sea A Z 2 displaystyle mathrm A mathbb Z 2 un anillo commutativo entonces I 1 2 Z 0 displaystyle mathrm I 1 2 mathbb Z times left 0 right e I 2 0 2 Z displaystyle mathrm I 2 left 0 right times 2 mathbb Z son ideales principales de A displaystyle mathrm A Ahora bien I I 1 I 2 displaystyle mathrm I mathrm I 1 mathrm I 2 tambien es un ideal aunque este no es principal DefinicionEl anillo integro K cuyos ideales son todos principales se llama anillo de ideales principales Todo anillo euclideo es un anillo de ideales principales 1 Vease tambien EditarIdeal Dominio de ideales principalesReferencias Editar A I Kostrikin Introduccion al algebra Editorial Mir Moscu 1983 Datos Q44382 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Ideal principal amp oldid 134347068, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,
