Grupo multiplicativo de enteros módulo n

Se define un grupo multiplicativo de enteros módulo n ${\displaystyle M_{n}}$ como un conjunto finito de enteros positivos menores que n siendo números coprimos respecto a n también.^[1]​

En notación matemática se definiría:

${\displaystyle (x\in M_{n})\Leftrightarrow ((MCD(n,x)=1)\ \land \ (x<n)\ \land \ (x\in \mathbb {Z^{+}} ))}$

Propiedades

Podemos calcular fácilmente el cardinal de cualquier conjunto ${\displaystyle M_{n}}$  usando la función indicatriz de Euler donde ${\displaystyle \phi (n)=|M_{n}|}$ , conociendo una de las propiedades de ${\displaystyle \phi (n)}$  sabemos que si n es primo ${\displaystyle M_{n}}$  tendrá ${\displaystyle n-1}$  elementos como ${\displaystyle \phi (n)=n-1}$  si n es primo.^[1]​^[2]​

Se define como un grupo abeliano ya que cumple la propiedad asociativa, existe elemento neutro, para cada elemento existe un elemento simétrico y es conmutativo. La propiedad asociativa y conmutativa se verifican fácilmente al aplicarse la operación módulo y multiplicación sobre los elementos ya que ambas son asociativas y conmutativas. El elemento neutro sería 1 el mismo que la multiplicación. La existencia del simétrico está determinada por la característica de que los números que lo conformen sean coprimos a n, ya que se establece que sí a y b son coprimos entre sí ${\displaystyle \exists x((a*x)\ mod\ b=1\land x\in \mathbb {Z^{+}} )}$ .^[3]​

Un ejemplo sería ${\displaystyle M_{16}}$  formado por ${\displaystyle \{1,3,5,7,9,11,13,15\}}$  cuyo cardinal es ${\displaystyle \phi (16)=8}$ 

La tabla de Cayley de este grupo sería:

X	1	3	5	7	9	11	13	15
1	1	3	5	7	9	11	13	15
3	3	9	15	5	11	1	7	13
5	5	15	9	3	13	7	1	11
7	7	5	3	1	15	13	11	9
9	9	11	13	15	1	3	5	7
11	11	1	7	13	3	9	15	5
13	13	7	1	11	5	15	9	3
15	15	13	11	9	7	5	3	1

Observamos que se cumple la propiedad conmutativa ( la tabla es simétrica ), es asociativa (se puede demostrar con el test de asociatividad de Light), existe un neutro ( sería el uno al no alterar las columnas y filas en sus respectiva fila y columna ) y existe un simétrico (en todas las columnas y filas aparece el elemento neutro). Además, una de las propiedades de los grupos en las tablas de Cayley es que en cada fila y columna aparezca una única vez cada elemento, es decir, las filas y columnas son permutaciones de los elementos del grupo.

Las aplicaciones de este grupo son muy variadas relacionadas principalmente con la teoría de números, la criptografia, factorización de enteros, test de primalidad, etc.

Casos cíclicos

Algunos ${\displaystyle M_{n}}$  son grupos cíclicos, se define un grupo cíclico como un grupo donde existe un elemento generador ${\displaystyle X}$  que elevándolo a diferentes exponentes podemos obtener el resto de elementos del grupo. En el caso de ${\displaystyle M_{n}}$  los grupos cíclicos son cuando ${\displaystyle n=2,4,p^{n},2p^{n}}$  donde p es primo y diferente de 2 y n un entero positivo.^[4]​^[5]​

Referencias

1. Weisstein, Eric W. «Modulo Multiplication Group». mathworld.wolfram.com (en inglés). Consultado el 11 de mayo de 2020. 
2. Weisstein, Eric W. «Totient Function». mathworld.wolfram.com (en inglés). Consultado el 11 de mayo de 2020. 
3. Weisstein, Eric W. «Modular Inverse». mathworld.wolfram.com (en inglés). Consultado el 11 de mayo de 2020. 
4. Weisstein, Eric W. «Cyclic Group». mathworld.wolfram.com (en inglés). Consultado el 11 de mayo de 2020. 
5. Weisstein, Eric W. «Group Generators». mathworld.wolfram.com (en inglés). Consultado el 11 de mayo de 2020. 

•   Datos: Q1169249