Grupo de trenzas

En matemáticas, el grupo de trenzas de n hebras, también llamado grupo de n-trenzas o grupo de Artin, notado por B_n, supone una generalización del grupo simétrico S_n introducida explícitamente por Emil Artin en 1925.

Cada uno de los 24 elementos de S₄ expresados mediante una 4-trenza. Esta expresión no es única: existen infinitas alternativas para cada elemento, pues B₄ es un grupo infinito.

Cada elemento del grupo (trenza) admite una representación geométrica intuitiva en la que este se visualiza como un conjunto de n hebras que unen los n elementos situados en una fila con sus imágenes reordenadas situadas en una fila paralela. Una trenza reúne información topológica sobre la forma en que estas hebras se entrecruzan.

Para ${\displaystyle n\geq 2}$, B_n es un grupo infinito. B₂ es un grupo cíclico y para ${\displaystyle n\geq 3}$, B_n es no abeliano.

Los grupos de trenzas tienen aplicación en teoría de nudos, pues según el Teorema de Alexander, todo nudo o enlace puede construirse como el cierre (en un sentido precisado por el teorema) de una trenza.

El ejemplo de B₄

Consideremos dos conjuntos cada uno de cuatro objetos situados en una mesa. Dibujaremos los objetos de cada conjunto alineados verticalmente. Usando cuatro hebras, cada objeto del primer conjunto quedará conectado con un objeto del segundo. Llamaremos trenza a un conjunto de estas cuatro conexiones.

Elementos del grupo

A menudo las hebras tendrán que pasar una sobre otras, y este detalle es crucial, pues distintos cruces pueden dar lugar a diferentes trenzas:

es diferente de

Por otro lado, dos conexiones aparentemente distintas pueden representar la misma trenza si tensamos los extremos:

es la misma que

Todas las hebras deben moverse de izquierda a derecha, para evitar la formación de "nudos" como el de la figura, que no son considerados trenzas:

no es una trenza

Composición, elemento neutro e inverso

Cualquier pareja de trenzas puede componerse dibujando una a continuación de la otra, identificando los cuatro puntos intermedios:

compuesta con

es igual a:

La anterior composición convierte al conjunto de trenzas en un grupo. El elemento neutro es la trenza que consta de 4 hebras horizontales y paralelas. El elemento inverso de una trenza es la trenza que deshace lo que hizo la primera.

Generadores y relaciones

Observemos estos tres elementos:

σ1	σ2	σ3

Se demuestra que cualquier trenza de B₄ puede expresarse como composición de los elementos anteriores y sus inversos. Es decir, estas 3 trenzas generan el grupo B₄.

En cuanto a sus relaciones, es claro que:

σ₁σ₃ = σ₃σ₁,

mientras estas relaciones no son tan obvias:

σ₁σ₂σ₁ = σ₂σ₁σ₂

σ₂σ₃σ₂ = σ₃σ₂σ₃

Los anteriores generadores junto con estas relaciones forman una presentación de B₄.

Definición algebraica de B_n

Generalizando este ejemplo al caso de n hebras, podemos definir de modo abstracto el grupo B_n por medio de esta presentación:

• Generadores: σ₁,...,σ_n−1
• Relaciones: (conocidas como relaciones de Artin):
  • σ_i σ_j = σ_j σ_i cuando |i − j| ≥ 2 ;
  • σ_i σ_i+1 σ_i = σ_i+1 σ_i σ_i+1 para i = 1,..., n − 2 (a veces llamada ecuación de Yang-Baxter)

Recordemos que el grupo simétrico S_n tiene una presentación muy parecida: en ella aparecen las relaciones de Artin junto con las relaciones

σ_i² = 1 para i = 1, ..., n − 1

En el caso del grupo simétrico, las σ_i pueden visualizarse como trasposiciones de dos elementos contiguos.

Enlaces externos

• Braid group en PlanetMath.
• Braid Theory, Encyclopaedia of Mathematics, Springer 2002
• Stephen Bigelow's exploration of B5 Java applet.

•   Datos: Q220409
•   Multimedia: Braid theory / Q220409