fbpx
Wikipedia

Geodésica

En geometría, la línea geodésica se define como la línea de mínima longitud que une dos puntos en una superficie dada, y está contenida en esta superficie. El plano osculador de la geodésica es perpendicular en cualquier punto al plano tangente a la superficie. Las geodésicas de una superficie son las líneas "más rectas" posibles (con menor curvatura) fijado un punto y una dirección dada sobre dicha superficie.

Dos líneas geodésicas, en rojo, sobre una superficie curva, esas geodésicas coinciden con las trayectorias de dos partículas en el campo gravitatorio esférico de una masa central de acuerdo con la teoría general de la relatividad.
Triángulo geodésico sobre una esfera. La línea geodésica sería cualquiera de los arcos que forman los triángulos.

Más generalmente, se puede hablar de geodésicas en "espacios curvados" de dimensión superior llamados variedades riemannianas en donde, si el espacio contiene una métrica natural, entonces las geodésicas son (localmente) la distancia más corta entre dos puntos en el espacio. Un ejemplo físico, de variedad semirriemanniana es el que aparece en la teoría de la relatividad general, que establece que las partículas materiales se mueven a lo largo de geodésicas temporales del espacio-tiempo curvo.

El término "geodésico" proviene de la palabra geodesia, la ciencia de medir el tamaño y forma del planeta Tierra; en el sentido original, fue la ruta más corta entre dos puntos sobre la superficie de la Tierra, específicamente, el segmento de un círculo máximo.

Ecuación de las geodésicas

En una superficie curva o variedad riemanniana la longitud LC a lo largo de una curva contenida en ella se evalúa gracias a las componentes gij del tensor métrico g del siguiente modo:

 

Donde xi(t) es la expresión paramétrica de los puntos de la curva parametrizada mediante el parámetro t. Todas las líneas geodésicas son extremales de la integral anterior. Para encontrar la ecuación de las geodésicas, consideraremos que dichas geodésicas están parametrizadas mediante la longitud de arco s. En ese caso, usando los símbolos de Christoffel asociados a la conexión sin torsión, la curva geodésica de mínima longitud que pasa por un punto x0 y tiene el vector tangente v constante satisface la siguiente ecuación:

(1) 

Es posible probar que la ecuación anterior puede obtenerse también por métodos variacionales de mínima acción. De hecho las geodésicas son una solución particular de las Ecuaciones de Euler-Lagrange para un lagrangiano basado en la forma cuadrática asociada al tensor métrico que interviene en el cálculo de longitudes.

Ecuación en el caso general

Si consideramos una curva con parametrización totalmente general, mediante un parámetro t que no tenga por qué coincidir con el parámetro longitud de arco s, entonces la ecuación de la curva no cumplirá generalmente la ecuación (1). Sin embargo la curva recorrida seguirá siendo geodésica si y solo si existe una función   y se cumple la siguiente ecuación:

(2) 

Donde   es una función cuya derivada no se anula nunca que relaciona el parámetro t con el parámetro s cumpliéndose  .

Ejemplos

La trisectriz de Tschirnhaus-Catalan es geodésica en la superficie de Enneper.[1]
  • En un espacio euclídeo dotado de la distancia euclídea usual, cualquier línea recta es una geodésica.
  • En una esfera cualquier círculo máximo, obtenido como intersección de la superficie esférica con un plano que pase por su centro, es también una geodésica. En particular, el ecuador y los meridianos de una esfera son líneas geodésicas. Usando coordenadas  esféricas para una esfera de radio R, las ecuaciones de las geodésicas son simplemente:

(3) 

En particular un meridiano que atraviese los polos norte y sur, responde a las ecuaciones paramétricas:

(4) 

Que satisface las ecuaciones (3) trivialmente.

Véase también

Referencias

  1. Ferréol, Robert (2011). «SURFACE D'ENNEPER». http://www.mathcurve.com/ (en francés). Consultado el 11 de abril de 2020. 

Bibliografía

  • do Carmo, Manfredo Perdigao (1993). Birkhäuser, ed. Riemannian Geometry. ISBN 0-8176-3490-8. 
  • Katsumi Nomizu (1996). Wiley-Interscience, ed. Foundations of Differential Geometry, Vol. 1. ISBN 0-471-15733-3. 
  • O'Neill, Barret (1983). Academic Press,London, ed. Semi-Riemannian Geometry. ISBN 0-12-526740-1.  Para el caso semiriemanniano.
  • Arellano, Arturo (1993). Geometry Differential. 
  •   Datos: Q213488
  •   Multimedia: Geodesic (mathematics)

geodésica, este, artículo, trata, sobre, término, geodésica, geometría, para, término, teoría, grafos, véase, problema, camino, más, corto, geometría, línea, geodésica, define, como, línea, mínima, longitud, puntos, superficie, dada, está, contenida, esta, sup. Este articulo trata sobre el termino geodesica en geometria Para el termino en teoria de grafos vease problema del camino mas corto En geometria la linea geodesica se define como la linea de minima longitud que une dos puntos en una superficie dada y esta contenida en esta superficie El plano osculador de la geodesica es perpendicular en cualquier punto al plano tangente a la superficie Las geodesicas de una superficie son las lineas mas rectas posibles con menor curvatura fijado un punto y una direccion dada sobre dicha superficie Dos lineas geodesicas en rojo sobre una superficie curva esas geodesicas coinciden con las trayectorias de dos particulas en el campo gravitatorio esferico de una masa central de acuerdo con la teoria general de la relatividad Triangulo geodesico sobre una esfera La linea geodesica seria cualquiera de los arcos que forman los triangulos Mas generalmente se puede hablar de geodesicas en espacios curvados de dimension superior llamados variedades riemannianas en donde si el espacio contiene una metrica natural entonces las geodesicas son localmente la distancia mas corta entre dos puntos en el espacio Un ejemplo fisico de variedad semirriemanniana es el que aparece en la teoria de la relatividad general que establece que las particulas materiales se mueven a lo largo de geodesicas temporales del espacio tiempo curvo El termino geodesico proviene de la palabra geodesia la ciencia de medir el tamano y forma del planeta Tierra en el sentido original fue la ruta mas corta entre dos puntos sobre la superficie de la Tierra especificamente el segmento de un circulo maximo Indice 1 Ecuacion de las geodesicas 1 1 Ecuacion en el caso general 2 Ejemplos 3 Vease tambien 4 Referencias 5 BibliografiaEcuacion de las geodesicas EditarEn una superficie curva o variedad riemanniana la longitud LC a lo largo de una curva contenida en ella se evalua gracias a las componentes gij del tensor metrico g del siguiente modo L C C i j g i j x i t x j t d t displaystyle L C int C sqrt sum i j g ij x i t x j t dt Donde xi t es la expresion parametrica de los puntos de la curva parametrizada mediante el parametro t Todas las lineas geodesicas son extremales de la integral anterior Para encontrar la ecuacion de las geodesicas consideraremos que dichas geodesicas estan parametrizadas mediante la longitud de arco s En ese caso usando los simbolos de Christoffel asociados a la conexion sin torsion la curva geodesica de minima longitud que pasa por un punto x0 y tiene el vector tangente v constante satisface la siguiente ecuacion 1 d 2 x m d s 2 s n G s n m d x s d s d x n d s 0 x 0 x 0 d x d s x 0 v displaystyle begin cases cfrac d 2 x mu ds 2 sum sigma nu Gamma sigma nu mu cfrac dx sigma ds cfrac dx nu ds 0 x 0 x 0 quad cfrac dx ds Big x 0 mathbf v end cases Es posible probar que la ecuacion anterior puede obtenerse tambien por metodos variacionales de minima accion De hecho las geodesicas son una solucion particular de las Ecuaciones de Euler Lagrange para un lagrangiano basado en la forma cuadratica asociada al tensor metrico que interviene en el calculo de longitudes Ecuacion en el caso general Editar Si consideramos una curva con parametrizacion totalmente general mediante un parametro t que no tenga por que coincidir con el parametro longitud de arco s entonces la ecuacion de la curva no cumplira generalmente la ecuacion 1 Sin embargo la curva recorrida seguira siendo geodesica si y solo si existe una funcion ϕ t displaystyle phi t y se cumple la siguiente ecuacion 2 d 2 x m d t 2 s n G s n m d x s d t d x n d t d x ϕ t d s ϕ t ϕ 2 t displaystyle frac d 2 tilde x mu dt 2 sum sigma nu Gamma sigma nu mu frac d tilde x sigma dt frac d tilde x nu dt left frac dx phi t ds frac ddot phi t dot phi 2 t right Donde ϕ t s displaystyle phi t s es una funcion cuya derivada no se anula nunca que relaciona el parametro t con el parametro s cumpliendose x ϕ t x t displaystyle x phi t tilde x t Ejemplos Editar Reproducir contenido multimedia La trisectriz de Tschirnhaus Catalan es geodesica en la superficie de Enneper 1 En un espacio euclideo dotado de la distancia euclidea usual cualquier linea recta es una geodesica En una esfera cualquier circulo maximo obtenido como interseccion de la superficie esferica con un plano que pase por su centro es tambien una geodesica En particular el ecuador y los meridianos de una esfera son lineas geodesicas Usando coordenadas r 8 ϕ displaystyle scriptstyle r theta phi esfericas para una esfera de radio R las ecuaciones de las geodesicas son simplemente 3 8 sin 8 cos 8 ϕ 2 0 ϕ 2 cos 8 sin 8 8 ϕ 0 displaystyle ddot theta sin theta cos theta dot phi 2 0 qquad ddot phi frac 2 cos theta sin theta dot theta dot phi 0 En particular un meridiano que atraviese los polos norte y sur responde a las ecuaciones parametricas 4 8 s s R ϕ s ϕ 0 cte displaystyle theta s frac s R qquad phi s phi 0 mbox cte Que satisface las ecuaciones 3 trivialmente Vease tambien EditarCupula geodesica Variedad de Riemann CurvaturaReferencias Editar Ferreol Robert 2011 SURFACE D ENNEPER http www mathcurve com en frances Consultado el 11 de abril de 2020 Bibliografia Editardo Carmo Manfredo Perdigao 1993 Birkhauser ed Riemannian Geometry ISBN 0 8176 3490 8 Katsumi Nomizu 1996 Wiley Interscience ed Foundations of Differential Geometry Vol 1 ISBN 0 471 15733 3 O Neill Barret 1983 Academic Press London ed Semi Riemannian Geometry ISBN 0 12 526740 1 Para el caso semiriemanniano Arellano Arturo 1993 Geometry Differential Datos Q213488 Multimedia Geodesic mathematics Obtenido de https es wikipedia org w index php title Geodesica amp oldid 139110571, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

español

, española, descargar, gratis, descargar gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, imagen, música, canción, película, libro, juego, juegos