Fórmulas de la mitad del lado

En trigonometría esférica, las fórmulas de la mitad del lado relacionan los ángulos y las longitudes de los lados de un triángulo esférico, que son los triángulos formados por tres circunferencias máximas en la superficie de una esfera, y por lo tanto, tienen lados curvos y no obedecen a las fórmulas de los triángulos planos.^[1]​

Triángulo esférico

Fórmulas

En una esfera unitaria, las fórmulas del centro del lado son^[2]​

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \left({\frac {a}{2}}\right)&=R\cos(S-A)\\[8pt]\tan \left({\frac {b}{2}}\right)&=R\cos(S-B)\\[8pt]\tan \left({\frac {c}{2}}\right)&=R\cos(S-C)\end{aligned}}}$ 

donde

• a, b, c son las longitudes de los lados respectivamente opuestos a los ángulos A, B, C,
• ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}(A+B+C)}$  es la semisuma de los ángulos, y
• ${\displaystyle R={\sqrt {\frac {-\cos S}{\cos(S-A)\cos(S-B)\cos(S-C)}}}.}$ 

Las tres fórmulas son realmente la misma fórmula, con los nombres de las variables permutados.

Para generalizar a una esfera de radio arbitrario r, las longitudes a, b, c deben reemplazarse por

• ${\displaystyle a\rightarrow a/r}$ 
• ${\displaystyle b\rightarrow b/r}$ 
• ${\displaystyle c\rightarrow c/r}$ 

de modo que a, b, c tienen escalas de longitud, en lugar de escalas angulares.

Véase también

• Ley esférica de los cosenos
• Fórmula del semiverseno

Referencias

1. Bronshtein, I. N.; Semendyayev, K. A.; Musiol, Gerhard; Mühlig, Heiner (2007), Handbook of Mathematics, Springer, p. 165, ISBN 9783540721222 .[1]
2. Nelson, David (2008), The Penguin Dictionary of Mathematics (4th edición), Penguin UK, p. 529, ISBN 9780141920870 ..

•   Datos: Q4491941