Sea el polinomio perteneciente a C[z], de grado k y coeficientes en el cuerpo ℂ de los números complejos, y sean sus k raíces (pertenecientes a C[1]), entonces se satisfacen exactamente las siguientes k distintas igualdades :
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Cada ecuación sumará todos los posibles productos que se formarán con j raíces y lo igualará el cociente (con su signo correspondiente) entre el coeficiente j-ésimo del polinomio y el coeficiente principal del polinomio.
Estas relaciones sirven sobre todo para obtener determinados polinomios conocidas sus raíces. Cabe destacar que si conocemos k raíces de un polinomio de grado k, podremos encontrar a partir de estas relaciones un único polinomio de grado k que posea estas raíces (a menos de una constante multiplicativa).
Demostracióneditar
Factorizamos el polinomio:
Y realizamos el producto del miembro de la derecha y comparamos los coeficientes de cada término , donde :
De aquí ya se obtienen de inmediato las fórmulas de Cardano-Vieta.
Referenciaseditar
Por ser ℂ algebraicamente cerrado y por el Teorema fundamental del álgebra
Datos:Q570779
Marcha 22, 2024
relaciones, cardano, vieta, polinomio, a2z2, a3z3, akzk, displaystyle, perteneciente, grado, coeficientes, cuerpo, números, complejos, sean, raíces, displaystyle, pertenecientes, entonces, satisfacen, exactamente, siguientes, distintas, igualdades, a0ak, displ. Sea el polinomio P z a0 a1z a2z2 a3z3 akzk displaystyle P z a 0 a 1 z a 2 z 2 a 3 z 3 a k z k perteneciente a C z de grado k y coeficientes en el cuerpo ℂ de los numeros complejos y sean sus k raices z1 z2 z3 zk displaystyle z 1 z 2 z 3 z k pertenecientes a C 1 entonces se satisfacen exactamente las siguientes k distintas igualdades z1 z2 z3 zk 1 k a0ak displaystyle z 1 z 2 z 3 z k 1 k a 0 over a k z1 z2 z3 zk 1 z2 z3 zk 1 k 1 a1ak displaystyle z 1 z 2 z 3 z k 1 z 2 z 3 z k 1 k 1 a 1 over a k z1 z2 z3 zj zk j 1 zk j 2 zk 1 j ak jak displaystyle z 1 z 2 z 3 z j z k j 1 z k j 2 z k 1 j a k j over a k z1 z2 z1 z3 zk 1 zk 1 2 ak 2ak ak 2ak displaystyle z 1 z 2 z 1 z 3 z k 1 z k 1 2 a k 2 over a k a k 2 over a k z1 z2 z3 zk 1 1 ak 1ak ak 1ak displaystyle z 1 z 2 z 3 z k 1 1 a k 1 over a k a k 1 over a k Cada ecuacion sumara todos los posibles productos que se formaran con j raices y lo igualara el cociente con su signo correspondiente entre el coeficiente j esimo del polinomio y el coeficiente principal del polinomio Estas relaciones sirven sobre todo para obtener determinados polinomios conocidas sus raices Cabe destacar que si conocemos k raices de un polinomio de grado k podremos encontrar a partir de estas relaciones un unico polinomio de grado k que posea estas raices a menos de una constante multiplicativa Demostracion editarFactorizamos el polinomio P z a0 a1z a2z2 a3z3 akzk ak z z1 z z2 z z3 z zk displaystyle P z a 0 a 1 z a 2 z 2 a 3 z 3 a k z k a k z z 1 z z 2 z z 3 cdots z z k nbsp Y realizamos el producto del miembro de la derecha y comparamos los coeficientes de cada termino zj displaystyle z j nbsp donde 0 j lt k displaystyle 0 leq j lt k nbsp ak 1 1 1 ak z1 z2 z3 zk displaystyle a k 1 1 1 a k z 1 z 2 z 3 z k nbsp ak 2 1 2 ak z1 z2 z1 z3 zk 1 zk displaystyle a k 2 1 2 a k z 1 z 2 z 1 z 3 z k 1 z k nbsp displaystyle ldots nbsp aj 1 k j ak z1 z2 z3 zj zk j 1 zk j 2 zk displaystyle a j 1 k j a k z 1 z 2 z 3 z j z k j 1 z k j 2 z k nbsp displaystyle ldots nbsp a1 1 k 1 ak z1 z2 z3 zk 1 z2 z3 zk displaystyle a 1 1 k 1 a k z 1 z 2 z 3 z k 1 z 2 z 3 z k nbsp a0 1 k ak z1 z2 z3 zk displaystyle a 0 1 k a k z 1 z 2 z 3 z k nbsp De aqui ya se obtienen de inmediato las formulas de Cardano Vieta Referencias editar Por ser ℂ algebraicamente cerrado y por el Teorema fundamental del algebra nbsp Datos Q570779 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Relaciones de Cardano Vieta amp oldid 126959298, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,
