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Fórmula de Herón

En geometría plana elemental la fórmula de Herón, cuya invención se atribuye al matemático griego Herón de Alejandría,[1]​ da el área de un triángulo conociendo las longitudes de sus tres lados a, b y c:

Triángulo de lados a, b, c.

donde S es el semiperímetro del triángulo:

.

Cualquier polígono simple puede ser separado en rectángulo que a lo más tienen un lado común o un vértice común, mediante diagonales que parten de un único vértice apropiado. Esta subdivisión y la aplicación de la norma herodiana para el área triangular, facilita el cálculo del área de la región plana encerrada por el polígono simple, con solo medir longitudes, allí radica su importancia.

La fórmula también puede expresarse de estas otras formas:

La fórmula de Herón se distingue de otras fórmulas para hallar el área de un triángulo, como la de la mitad de la base por la altura o la de la mitad del módulo de un producto cruz de dos lados, por no requerir ninguna elección arbitraria de un lado como base o un vértice como origen.

Historia

El hallazgo de la fórmula se ha atribuido a Herón de Alejandría, y se puede encontrar una prueba en su libro, Métrica, escrito en el año 60 dC. Se ha presumido que el físico matemático griego, Arquímedes, haya conocido la fórmula, dos siglos antes; y que lo puesto en Métrica es una colección de los conocimientos matemáticos disponibles en el mundo antiguo, es posible que la norma areal preceda a la referencia que figura en el tratado heroniano.[2]

Sépase, una regla de área triangular equivalente a la de Herón:

 , donde  

fue conseguida por matemáticos chinos, independientemente de los griegos. Fue publicada en Shushu Jiuzhang ("Tratado matemático en nueve secciones"), escrito por Qin Jiushao y publicado en el año 1247.

Demostración

Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio Herón en su libro Métrica), podría ser la siguiente:

Demostración

Sea un triángulo de lados a, b, c, cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son   Entonces, por el teorema del coseno:

 .

De la identidad pitagórica

 

se obtiene:

 .

La altura de un triángulo de base a tiene una longitud  

 

Como  , se llega finalmente a:

 

Se utilizó la factorización de dos cuadrados en dos etapas diferentes.

Prueba usando el teorema de Pitágoras

 
Triángulo con altitud h cortando con base c

La prueba original de Herón hace uso de los cuadriláteros cíclicos, mientras que otros argumentos apelan a la trigonometría como el anterior, o para el incentro y un excentro del triángulo . El siguiente argumento reduce la fórmula de Herón directamente al teorema de Pitágoras utilizando únicamente medios elementales.

En la forma 4A 2 = 4s(s − a)(s − b)(s − c), La parte izquierda de la fórmula de Herón se reduce a (ch)2, o bien

  que es lo mismo que  

usando b 2 − d 2 = h 2 por el teorema de Pitágoras; en cuanto a la parte derecha de la fórmula, puede expresarse como

 

vía la identidad (p + q) 2 − (p − q) 2 = 4pq. Por tanto, basta mostrar

 

y

 

En lo que se refiere a la primera forma, expandiéndola se obtiene lo siguiente:

 

y que se reduce a   al sustituir 2s = (a + b + c) y simplificando.

Respecto la segunda expresión, s(s − a) − (s − b)(s − c), expandiéndola y sustituyendo el valor de s=(a+b+c)/2 se reduce hasta

 

Sustituyendo b 2 por d 2 + h 2 y a 2 por (c − d) 2 + h 2, por teorema de Pitágoras, entonces simplificando se obtiene cd según se requería.

Prueba por la Ley de los cosenos

Se parte del hecho de que para todo triángulo su área es igual a  

elevando al cuadrado  
pasando a coseno, por 4 y entre da  
acomodando el producto  
factorizando diferencia de cuadrados   (*)
pero por la ley de cosenos   que reemplazado en el paso anterior (*)
 
agrupando apropiadamente  
desarrollando diferencia de cuadrados y dividiendo cada uno de los factores entre dos,  
en cada factor teniendo presente que a+b+c = 2s. resulta  
como el último producto es el área al cuadrado, resulta:  [3]

Estabilidad numérica

La fórmula de Herón dada más arriba es numéricamente inestable para triángulos de ángulos muy pequeños (como ocurre frecuentemente en astronomía). Una alternativa numéricamente más estable[4][5]​ implica reordenar las longitudes de los lados de modo que abc, y luego realizar el computo de acuerdo con la siguiente forma reordenada, de la fórmula de Herón:

 

En la fórmula precedente los paréntesis son absolutamente necesarios para evitar la inestabilidad numérica en la evaluación.

Generalizaciones

 
Desigualdad triangular,  .

La fórmula de Herón es un caso particular de la fórmula de Brahmagupta para el cálculo del área de cuadriláteros inscritos en una circunferencia; y ambas son casos particulares de la fórmula de Bretschneider para calcular área de un cuadrilátero.

Expresando parte de la fórmula de Herón (sólo los términos internos a la raíz) de forma matricial dentro de un determinante (determinante de Cayley-Menger) en términos de cuadrados de distancias de los tres vértices dados (más precisamente, el valor absoluto del determinante), obtenemos:

ilustra su similitud con la fórmula de Tartaglia para el volumen de un simple de tres.

 

Donde a, b y c son las longitudes de los lados del triángulo y A será el área del mismo. Hay que asegurarse de que los datos a, b y c que se proveen al determinante cumplan con la desigualdad triangular (véase figura), de lo contrario no se trataría de un triángulo y en ese caso el determinante daría resultados positivos o cero pero erróneos. Por otra parte con datos que si cumplan con la desigualdad triangular el determinante da siempre resultados negativos (no necesariamente erróneos pero inapropiados dentro de una raíz) por lo cual es necesario tomar el valor absoluto del determinante que está dentro de la raíz, de lo contrario obtendríamos resultados complejos.

Así como un triángulo está determinado por las longitudes de sus tres lados, un tetraedro lo está por las longitudes de sus seis lados. Tartaglia halló la fórmula del volumen del tetraedro en función de las longitudes de sus lados. Los determinantes de Cayley-Menger generalizan esta fórmula a dimensiones por encima de tres.

David P. Robbins descubrió otra generalización de la fórmula de Herón de pentágonos y hexágonos inscritos en un círculo.[6]

Fórmula tipo Herón para el volumen de un tetraedro

Si U, V, W, u, v, w son las longitudes de las aristas del tetraedro (las primeras tres forman un triángulo, u opuesto a U, y así sucesivamente), entonces[7]

 

donde

 

Fórmula de Herón para el volumen de dimensión n

Un conjunto de n vectores linealmente independientes determinan un volumen de dimensión n. Si A es la matriz cuyas filas son estos vectores, el volumen de la figura n-dimensional que determinan es

 

siendo   la traspuesta de  .

Esta fórmula coincide con las generalizaciones anteriores y con el determinante de Cayley-Menger. Y permite calcular el volumen que determinan estos n vectores a partir de sus aristas. Es decir, si se trata de un tetraedro, con la medida de sus aristas tendremos el volumen. Basta tener en cuenta que si a y b son los módulos de dos vectores u, v, y c es el módulo de la arista en la misma cara, entonces el producto escalar de u y v es:

 .


Notas y referencias

  1. «Fórmula de Herón permite calcular el área de cualquier triángulo». Consultado el 30 de junio de 2012. 
  2. Weisstein, Eric W. «Heron's Formula». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
  3. "Álgebra y Trigonometría" de Fleming ISBN 0-1-13-023441-9
  4. P. Sterbenz (1973). Floating-Point Computation, Prentice-Hall. 
  5. W. Kahan (24 de marzo de 2000). «Miscalculating Area and Angles of a Needle-like Triangle». 
  6. D. P. Robbins, "Areas of Polygons Inscribed in a Circle", Discr. Comput. Geom. 12, 223-236, 1994.
  7. W. Kahan, "What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?", [1], pp. 16-17.

Enlaces externos


  •   Datos: Q182714
  •   Multimedia: Heron's formula

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En geometria plana elemental la formula de Heron cuya invencion se atribuye al matematico griego Heron de Alejandria 1 da el area de un triangulo conociendo las longitudes de sus tres lados a b y c Triangulo de lados a b c A r e a s s a s b s c displaystyle acute A rea sqrt s left s a right left s b right left s c right donde S es el semiperimetro del triangulo s a b c 2 displaystyle s frac a b c 2 Cualquier poligono simple puede ser separado en rectangulo que a lo mas tienen un lado comun o un vertice comun mediante diagonales que parten de un unico vertice apropiado Esta subdivision y la aplicacion de la norma herodiana para el area triangular facilita el calculo del area de la region plana encerrada por el poligono simple con solo medir longitudes alli radica su importancia La formula tambien puede expresarse de estas otras formas A r e a a b c a b c a b c a b c 16 displaystyle acute A rea sqrt a b c a b c a b c a b c over 16 A r e a 2 a 2 b 2 a 2 c 2 b 2 c 2 a 4 b 4 c 4 16 displaystyle acute A rea sqrt 2 a 2 b 2 a 2 c 2 b 2 c 2 a 4 b 4 c 4 over 16 A r e a a b c a b c b c a c a b 4 displaystyle acute A rea sqrt a b c a b c b c a c a b over 4 A r e a 1 4 a 2 b 2 c 2 2 2 a 4 b 4 c 4 displaystyle acute A rea frac 1 4 sqrt a 2 b 2 c 2 2 2 a 4 b 4 c 4 La formula de Heron se distingue de otras formulas para hallar el area de un triangulo como la de la mitad de la base por la altura o la de la mitad del modulo de un producto cruz de dos lados por no requerir ninguna eleccion arbitraria de un lado como base o un vertice como origen Indice 1 Historia 2 Demostracion 3 Prueba usando el teorema de Pitagoras 4 Prueba por la Ley de los cosenos 5 Estabilidad numerica 6 Generalizaciones 6 1 Formula tipo Heron para el volumen de un tetraedro 6 2 Formula de Heron para el volumen de dimension n 7 Notas y referencias 8 Enlaces externosHistoria EditarEl hallazgo de la formula se ha atribuido a Heron de Alejandria y se puede encontrar una prueba en su libro Metrica escrito en el ano 60 dC Se ha presumido que el fisico matematico griego Arquimedes haya conocido la formula dos siglos antes y que lo puesto en Metrica es una coleccion de los conocimientos matematicos disponibles en el mundo antiguo es posible que la norma areal preceda a la referencia que figura en el tratado heroniano 2 Sepase una regla de area triangular equivalente a la de Heron A r e a 1 2 a 2 c 2 a 2 c 2 b 2 2 2 displaystyle acute A rea frac 1 2 sqrt a 2 c 2 left frac a 2 c 2 b 2 2 right 2 donde a b c displaystyle a geq b geq c fue conseguida por matematicos chinos independientemente de los griegos Fue publicada en Shushu Jiuzhang Tratado matematico en nueve secciones escrito por Qin Jiushao y publicado en el ano 1247 Demostracion EditarUna demostracion moderna que emplea algebra y trigonometria bastante distinta a la que dio Heron en su libro Metrica podria ser la siguiente DemostracionSea un triangulo de lados a b c cuyos angulos opuestos a cada uno de esos lados son A B C displaystyle widehat A widehat B widehat C Entonces por el teorema del coseno cos C a 2 b 2 c 2 2 a b displaystyle cos widehat C frac a 2 b 2 c 2 2ab De la identidad pitagorica sen 2 C cos 2 C 1 displaystyle operatorname sen 2 widehat C cos 2 widehat C 1 se obtiene sen C 1 cos 2 C 4 a 2 b 2 a 2 b 2 c 2 2 2 a b displaystyle operatorname sen widehat C sqrt 1 cos 2 widehat C frac sqrt 4a 2 b 2 a 2 b 2 c 2 2 2ab La altura de un triangulo de base a tiene una longitud b sen C displaystyle b cdot operatorname sen widehat C A r e a 1 2 base altura 1 2 a b sen C 1 4 4 a 2 b 2 a 2 b 2 c 2 2 1 4 2 a b a 2 b 2 c 2 2 a b a 2 b 2 c 2 1 4 c 2 a b 2 a b 2 c 2 1 4 c a b c a b a b c a b c displaystyle begin aligned acute A rea amp frac 1 2 mbox base mbox altura amp frac 1 2 ab operatorname sen widehat C amp frac 1 4 sqrt 4a 2 b 2 a 2 b 2 c 2 2 amp frac 1 4 sqrt 2ab a 2 b 2 c 2 2ab a 2 b 2 c 2 amp frac 1 4 sqrt c 2 a b 2 a b 2 c 2 amp frac 1 4 sqrt c a b c a b a b c a b c end aligned Como 2 s a b c displaystyle 2s a b c se llega finalmente a A r e a s s a s b s c displaystyle acute A rea sqrt s left s a right left s b right left s c right Se utilizo la factorizacion de dos cuadrados en dos etapas diferentes Prueba usando el teorema de Pitagoras Editar Triangulo con altitud h cortando con base c La prueba original de Heron hace uso de los cuadrilateros ciclicos mientras que otros argumentos apelan a la trigonometria como el anterior o para el incentro y un excentro del triangulo 2 El siguiente argumento reduce la formula de Heron directamente al teorema de Pitagoras utilizando unicamente medios elementales En la forma 4A 2 4s s a s b s c La parte izquierda de la formula de Heron se reduce a ch 2 o bien c b 2 c d 2 displaystyle cb 2 cd 2 que es lo mismo que c 2 b 2 d 2 displaystyle c 2 b 2 d 2 usando b 2 d 2 h 2 por el teorema de Pitagoras en cuanto a la parte derecha de la formula puede expresarse como s s a s b s c 2 s s a s b s c 2 displaystyle displaystyle s s a s b s c 2 s s a s b s c 2 via la identidad p q 2 p q 2 4pq Por tanto basta mostrar c b s s a s b s c displaystyle cb s s a s b s c y c d s s a s b s c displaystyle cd s s a s b s c En lo que se refiere a la primera forma expandiendola se obtiene lo siguiente 2 s 2 s a b c c b displaystyle 2s 2 s a b c cb y que se reduce a c b displaystyle cb al sustituir 2s a b c y simplificando Respecto la segunda expresion s s a s b s c expandiendola y sustituyendo el valor de s a b c 2 se reduce hasta b 2 c 2 a 2 2 displaystyle b 2 c 2 a 2 2 Sustituyendo b 2 por d 2 h 2 y a 2 por c d 2 h 2 por teorema de Pitagoras entonces simplificando se obtienecd segun se requeria Prueba por la Ley de los cosenos EditarSe parte del hecho de que para todo triangulo su area es igual a A D 1 2 b c s e n A displaystyle A Delta frac 1 2 bcsenA elevando al cuadrado A D 2 1 4 b c 2 s e n 2 A displaystyle A Delta 2 frac 1 4 bc 2 sen 2 A pasando a coseno por 4 y entre da A D 2 1 16 4 b c 2 1 c o s 2 A displaystyle A Delta 2 frac 1 16 times 4 times bc 2 1 cos 2 A acomodando el producto A D 2 1 16 4 b c 2 4 b c 2 c o s 2 A displaystyle A Delta 2 frac 1 16 4 bc 2 4 bc 2 cos 2 A factorizando diferencia de cuadrados A D 2 1 16 2 b c 2 b c c o s A 2 b c 2 b c c o s A displaystyle A Delta 2 frac 1 16 2bc 2bccosA 2bc 2bccosA pero por la ley de cosenos 2 b c c o s A b 2 c 2 a 2 displaystyle 2bccosA b 2 c 2 a 2 que reemplazado en el paso anterior 1 16 2 b c b 2 c 2 a 2 2 b c b 2 c 2 a 2 displaystyle frac 1 16 2bc b 2 c 2 a 2 2bc b 2 c 2 a 2 agrupando apropiadamente 1 16 b c 2 a 2 a 2 b c 2 displaystyle frac 1 16 b c 2 a 2 a 2 b c 2 desarrollando diferencia de cuadrados y dividiendo cada uno de los factores entre dos 1 2 a b c 1 2 b c a 1 2 a b c 1 2 a b c displaystyle frac 1 2 a b c frac 1 2 b c a frac 1 2 a b c frac 1 2 a b c en cada factor teniendo presente que a b c 2s resulta s s a s b s c displaystyle s s a s b s c como el ultimo producto es el area al cuadrado resulta A D s s a s b s c displaystyle A Delta sqrt s s a s b s c 3 Estabilidad numerica EditarLa formula de Heron dada mas arriba es numericamente inestable para triangulos de angulos muy pequenos como ocurre frecuentemente en astronomia Una alternativa numericamente mas estable 4 5 implica reordenar las longitudes de los lados de modo que a b c y luego realizar el computo de acuerdo con la siguiente forma reordenada de la formula de Heron A r e a 1 4 a b c c a b c a b a b c displaystyle acute A rea frac 1 4 sqrt a b c c a b c a b a b c En la formula precedente los parentesis son absolutamente necesarios para evitar la inestabilidad numerica en la evaluacion Generalizaciones Editar Desigualdad triangular a b c R displaystyle a b c in mathbb R La formula de Heron es un caso particular de la formula de Brahmagupta para el calculo del area de cuadrilateros inscritos en una circunferencia y ambas son casos particulares de la formula de Bretschneider para calcular area de un cuadrilatero Expresando parte de la formula de Heron solo los terminos internos a la raiz de forma matricial dentro de un determinante determinante de Cayley Menger en terminos de cuadrados de distancias de los tres vertices dados mas precisamente el valor absoluto del determinante obtenemos ilustra su similitud con la formula de Tartaglia para el volumen de un simple de tres A r e a 1 4 d e t 0 a 2 b 2 1 a 2 0 c 2 1 b 2 c 2 0 1 1 1 1 0 displaystyle acute A rea frac 1 4 sqrt left det begin bmatrix 0 amp a 2 amp b 2 amp 1 a 2 amp 0 amp c 2 amp 1 b 2 amp c 2 amp 0 amp 1 1 amp 1 amp 1 amp 0 end bmatrix right Donde a b y c son las longitudes de los lados del triangulo y A sera el area del mismo Hay que asegurarse de que los datos a b y c que se proveen al determinante cumplan con la desigualdad triangular vease figura de lo contrario no se trataria de un triangulo y en ese caso el determinante daria resultados positivos o cero pero erroneos Por otra parte con datos que si cumplan con la desigualdad triangular el determinante da siempre resultados negativos no necesariamente erroneos pero inapropiados dentro de una raiz por lo cual es necesario tomar el valor absoluto del determinante que esta dentro de la raiz de lo contrario obtendriamos resultados complejos Asi como un triangulo esta determinado por las longitudes de sus tres lados un tetraedro lo esta por las longitudes de sus seis lados Tartaglia hallo la formula del volumen del tetraedro en funcion de las longitudes de sus lados Los determinantes de Cayley Menger generalizan esta formula a dimensiones por encima de tres David P Robbins descubrio otra generalizacion de la formula de Heron de pentagonos y hexagonos inscritos en un circulo 6 Formula tipo Heron para el volumen de un tetraedro Editar Si U V W u v w son las longitudes de las aristas del tetraedro las primeras tres forman un triangulo u opuesto a U y asi sucesivamente entonces 7 volumen a b c d a b c d a b c d a b c d 192 u v w displaystyle text volumen frac sqrt a b c d a b c d a b c d a b c d 192 u v w donde a x Y Z b y Z X c z X Y d x y z X w U v U v w x U v w v w U Y u V w V w u y V w u w u V Z v W u W u v z W u v u v W displaystyle begin aligned a amp sqrt xYZ b amp sqrt yZX c amp sqrt zXY d amp sqrt xyz X amp w U v U v w x amp U v w v w U Y amp u V w V w u y amp V w u w u V Z amp v W u W u v z amp W u v u v W end aligned Formula de Heron para el volumen de dimension n Editar Un conjunto de n vectores linealmente independientes determinan un volumen de dimension n Si A es la matriz cuyas filas son estos vectores el volumen de la figura n dimensional que determinan es V o l u m e n A 1 n d e t A A t displaystyle begin aligned Volumen A amp frac 1 n sqrt det A cdot A t end aligned siendo A t displaystyle A t la traspuesta de A displaystyle A Esta formula coincide con las generalizaciones anteriores y con el determinante de Cayley Menger Y permite calcular el volumen que determinan estos n vectores a partir de sus aristas Es decir si se trata de un tetraedro con la medida de sus aristas tendremos el volumen Basta tener en cuenta que si a y b son los modulos de dos vectores u v y c es el modulo de la arista en la misma cara entonces el producto escalar de u y v es a 2 b 2 c 2 2 displaystyle frac a 2 b 2 c 2 2 Notas y referencias Editar Formula de Heron permite calcular el area de cualquier triangulo Consultado el 30 de junio de 2012 Weisstein Eric W Heron s Formula En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Algebra y Trigonometria de Fleming ISBN 0 1 13 023441 9 P Sterbenz 1973 Floating Point Computation Prentice Hall W Kahan 24 de marzo de 2000 Miscalculating Area and Angles of a Needle like Triangle D P Robbins Areas of Polygons Inscribed in a Circle Discr Comput Geom 12 223 236 1994 W Kahan What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages 1 pp 16 17 Enlaces externos Editar Portal Matematica Contenido relacionado con Matematica Weisstein Eric W Formula de Heron En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Datos Q182714 Multimedia Heron s formulaObtenido de https es wikipedia org w index php title Formula de Heron amp oldid 135856445, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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