Función zeta de Ihara

La función zeta de Ihara tiene similitudes con la función zeta de Selberg, y es utilizada para relacionar el espectro de la matriz de adyacencia de un gráfico ${\displaystyle G}$ a su característica de Euler.

Definición

La función zeta de Ihara fue inicialmente definida por una fórmula análoga al producto de Euler para la función zeta de Riemann:

${\displaystyle \zeta _{G}(u)^{-1}=\prod _{\mathrm {primos\ p} }(1-u^{d_{p}})}$ 

Este producto se realiza sobre todos los pasos primos p del gráfico G, y ${\displaystyle d_{p}}$  es la longitud del paso primo p.

Posteriormente fue demostrado que esta función zeta es en realidad siempre la recíproca de un polinomio, y que una fórmula para esta función zeta es

${\displaystyle \zeta _{G}(u)={\frac {1}{\det(I-Tu)}}}$ 

donde T es el operador de borde de adyacencia de Hashimoto.

Aplicaciones

La función zeta de Ihara desempeña un rol importante en el estudio de los grupos libres, teoría gráfica espectral, y sistemas dinámicos, especialmente dinámica simbólica.

Referencias

• Ihara, Yasutaka (1966). «On discrete subgroups of the two by two projective linear group over ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ -adic fields». J. Math. Soc. Japan 18: 219-235. Zbl 0158.27702. 
• Sunada, Toshikazu (1986). «L-functions in geometry and some applications». Curvature and Topology of Riemannian Manifolds. Lecture Notes in Mathematics 1201. pp. 266-284. ISBN 978-3-540-16770-9. Zbl 0605.58046. doi:10.1007/BFb0075662. 
• Bass, H. (1992). «The Ihara-Selberg zeta function of a tree lattice». International. J. Math. 3 (6): 717-797. Zbl 0767.11025. doi:10.1142/S0129167X92000357. 
• Stark, Harold M. (1999). «Multipath zeta functions of graphs». En Hejhal, Dennis A.; Friedman, Joel; Gutzwiller, Martin C. et al., eds. Emerging Applications of Number Theory. IMA Vol. Math. Appl. 109. Springer. pp. 601-615. ISBN 0-387-98824-6. Zbl 0988.11040.  Se sugiere usar |número-editores= (ayuda)
• Terras, Audrey (1999). «A survey of discrete trace formulas». En Hejhal, Dennis A.; Friedman, Joel; Gutzwiller, Martin C. et al., eds. Emerging Applications of Number Theory. IMA Vol. Math. Appl. 109. Springer. pp. 643-681. ISBN 0-387-98824-6. Zbl 0982.11031.  Se sugiere usar |número-editores= (ayuda)
• Terras, Audrey (2010). Zeta Functions of Graphs: A Stroll through the Garden. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 128. Cambridge University Press. ISBN 0-521-11367-9. Zbl 1206.05003. 

•   Datos: Q5994637