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Función divisor

En matemáticas, y específicamente en teoría de números, una función divisor es una función aritmética relacionada con los divisores de un entero. Cuando nos referimos a la función divisor, este cuenta el número de divisores de un entero. Este aparece en un considerable número de identidades, incluyendo relaciones con la Función zeta de Riemann y las series de Eisenstein de formas modulares. Las funciones divisor fueron estudiadas por Ramanujan, quien dio un número importante de congruencias e identidades.

Función divisor σ0(n) representada hasta n=250.
Función sigma σ1(n) representada hasta n=250. Otro tipo de función en la que se usan los divisores de un número.

Una función relacionada es función suma de divisores, la cual, como su nombre lo dice, es la suma sobre las funciones divisor.

Definición

La suma de funciones divisor positivas σx(n) está definida como la suma de las  -ésimas potencias de los divisores positivos de n:

 

Las notaciones d(n) y τ(n) (la función tau) son usadas para denotar σ0(n), que es el número de divisores de n. Cuando x es 1, la función es llamada «función sigma o función suma de divisores», y la variable subscrita es omitida, luego σ(n) es equivalente a σ1(n). La suma alícuota de n es la suma de los divisores propios (esto es, los divisores excluidos de n mismo), de igual manera σ1(n) - n; la secuencia alícuota de n está formada por repetidas aplicaciones de la función suma alícuota.

Tabla de valores hasta el 15

n Divisores σ0(n) σ1(n) Suma alícuota
1 1 1 1 0
2 1,2 2 3 1
3 1,3 2 4 1
4 1,2,4 3 7 3
5 1,5 2 6 1
6 1,2,3,6 4 12 6
7 1,7 2 8 1
8 1,2,4,8 4 15 7
9 1,3,9 3 13 4
10 1,2,5,10 4 18 8
11 1,11 2 12 1
12 1,2,3,4,6,12 6 28 16
13 1,13 2 14 1
14 1,2,7,14 4 24 10
15 1,3,5,15 4 24 9

Propiedades

Para un número primo p,

 
 
 

porque por definición, los divisores de un número primo son 1 y el mismo primo. Claramente, 1 < d(n) < n y σ(n) > n para todo n > 2.

La función divisor es multiplicativa, pero no completamente multiplicativa. La consecuencia de esto es que, si nosotros escribimos:

 

donde r = ω(n) es el número de distintos factores primos de n, pi es el i-ésimo factor primo, y ai es la máxima potencia de pi por el cual n es divisible, entonces nosotros tenemos

 

la cual es equivalente a una fórmula más útil:

 

Una ecuación para calcular τ(n) es

 

Por ejemplo, si n es 24, este tiene dos factores primos (p1 es 2; p2 es 3); notando que 24 es el producto de 23×31, a1 es 3 y a2 es 1. Luego nosotros podemos calcular τ(24) de esta manera:

 


Los ocho divisores contados por la fórmula son 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, y 24.

Ahora notamos que s(n) = σ(n) - n. Este s(n) denota la suma de los divisores propios de n, los divisores de n , a excepción de n. Esta función es utilizada para reconocer los número perfectos los cuales son los n para el cual s(n) = n. Si s(n) > n, entonces n es un número abundante y si s(n) < n entonces n es número defectivo.

Como un ejemplo, para dos primos distintos p y q, sea n = pq.

entonces

 
 

En 1984, Roger Heath-Brown probó que

d(n) = d(n + 1)

ocurre un número infinito de veces.

Series de expansión

La función divisor puede ser escrita como una serie trigonométrica finita

 

sin hacer referencia explícita a los divisores de  .[1]

Relaciones de series

Dos Series de Dirichlet involucaran la función divisor:

 

y

 

Una serie de Lambert involucra la función divisor:

 

para arbitrarios números complejos |q| ≤ 1 y a. Esta sumación aparece en las series de Fourier de la series de Eisenstein y los invariantes de las funciones elípticas de Weierstrass.

Aproximaciones del crecimiento

En notación de o-pequeña, la función divisor satisface la desigualdad:

 

En notación de O-grande, Dirichlet mostró que el orden promedio de la función divisor satisface la siguiente desigualdad:

 

donde   es constante de Euler-Mascheroni. Mejorar el comportamiento asintótico   en esta fórmula es conocido como el problema de los divisores de Dirichlet.

El comportamiento de la función sigma es irregular. La tasa de crecimiento de la función puede ser expresada como:

 

donde lim sup es el límite superior. Este resultado es conocido como el teorema de Grönwall, publicado en 1913.

En 1984 Guy Robin probó que

 

se cumple si y solo si la Hipótesis de Riemann se cumple (este es el Teorema de Robbins). El valor más grande conocido que no cumple la desigualdad es n=5040. Si la hipótesis de Riemann es cierta, no debe haber excepciones más grandes. Si la hipótesis de Riemann es falsa existe un número infinito de valores de n que no cumplen la desigualdad.

Un comportamiento asintótico relacionado fue dado por Jeffrey Lagarias en 2002, quien probó que la hipótesis de Riemann es equivalente a la expresión

 

para todo número natural n, donde   es el n-esimo número armónico.

Véase también

Referencias

  1. de:Teilersumme#Teilersumme als endliche Reihe

Bibliografía

  • Eric Bach and Jeffrey Shallit, Algorithmic Number Theory, volume 1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5, mire las páginas 234 en sección 8.8.
  • Robin, G. "Grandes Valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann." J. Math. Pures Appl. 63, 187-213, 1984. Publicación original del teorema de Robin.
  •   Datos: Q915474
  •   Multimedia: Divisor function

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En matematicas y especificamente en teoria de numeros una funcion divisor es una funcion aritmetica relacionada con los divisores de un entero Cuando nos referimos a la funcion divisor este cuenta el numero de divisores de un entero Este aparece en un considerable numero de identidades incluyendo relaciones con la Funcion zeta de Riemann y las series de Eisenstein de formas modulares Las funciones divisor fueron estudiadas por Ramanujan quien dio un numero importante de congruencias e identidades Funcion divisor s0 n representada hasta n 250 Funcion sigma s1 n representada hasta n 250 Otro tipo de funcion en la que se usan los divisores de un numero Una funcion relacionada es funcion suma de divisores la cual como su nombre lo dice es la suma sobre las funciones divisor Indice 1 Definicion 2 Tabla de valores hasta el 15 3 Propiedades 4 Series de expansion 5 Relaciones de series 6 Aproximaciones del crecimiento 7 Vease tambien 8 Referencias 9 BibliografiaDefinicion EditarLa suma de funciones divisor positivas sx n esta definida como la suma de las x displaystyle x esimas potencias de los divisores positivos de n s x n d n d x displaystyle sigma x n sum d n d x Las notaciones d n y t n la funcion tau son usadas para denotar s0 n que es el numero de divisores de n Cuando x es 1 la funcion es llamada funcion sigma o funcion suma de divisores y la variable subscrita es omitida luego s n es equivalente a s1 n La suma alicuota de n es la suma de los divisores propios esto es los divisores excluidos de n mismo de igual manera s1 n n la secuencia alicuota de n esta formada por repetidas aplicaciones de la funcion suma alicuota Tabla de valores hasta el 15 Editarn Divisores s0 n s1 n Suma alicuota1 1 1 1 02 1 2 2 3 13 1 3 2 4 14 1 2 4 3 7 35 1 5 2 6 16 1 2 3 6 4 12 67 1 7 2 8 18 1 2 4 8 4 15 79 1 3 9 3 13 410 1 2 5 10 4 18 811 1 11 2 12 112 1 2 3 4 6 12 6 28 1613 1 13 2 14 114 1 2 7 14 4 24 1015 1 3 5 15 4 24 9Propiedades EditarPara un numero primo p d p 2 displaystyle d p 2 d p n n 1 displaystyle d p n n 1 s p p 1 displaystyle sigma p p 1 porque por definicion los divisores de un numero primo son 1 y el mismo primo Claramente 1 lt d n lt n y s n gt n para todo n gt 2 La funcion divisor es multiplicativa pero no completamente multiplicativa La consecuencia de esto es que si nosotros escribimos n i 1 r p i a i displaystyle n prod i 1 r p i a i donde r w n es el numero de distintos factores primos de n pi es el i esimo factor primo y ai es la maxima potencia de pi por el cual n es divisible entonces nosotros tenemos s x n i 1 r p i a i 1 x 1 p i x 1 displaystyle sigma x n prod i 1 r frac p i a i 1 x 1 p i x 1 la cual es equivalente a una formula mas util s x n i 1 r j 0 a i p i j x i 1 r 1 p i x p i 2 x p i a i x displaystyle sigma x n prod i 1 r sum j 0 a i p i jx prod i 1 r 1 p i x p i 2x p i a i x Una ecuacion para calcular t n es t n i 1 r a i 1 displaystyle tau n prod i 1 r a i 1 Por ejemplo si n es 24 este tiene dos factores primos p1 es 2 p2 es 3 notando que 24 es el producto de 23 31 a1 es 3 y a2 es 1 Luego nosotros podemos calcular t 24 de esta manera t 24 i 1 2 a i 1 3 1 1 1 4 2 8 displaystyle begin aligned tau 24 amp prod i 1 2 a i 1 amp 3 1 1 1 4 times 2 8 end aligned Los ocho divisores contados por la formula son 1 2 4 8 3 6 12 y 24 Ahora notamos que s n s n n Este s n denota la suma de los divisores propios de n los divisores de n a excepcion de n Esta funcion es utilizada para reconocer los numero perfectos los cuales son los n para el cual s n n Si s n gt n entonces n es un numero abundante y si s n lt n entonces n es numero defectivo Como un ejemplo para dos primos distintos p y q sea n pq entonces f n p 1 q 1 n 1 p q displaystyle varphi n p 1 q 1 n 1 p q s n p 1 q 1 n 1 p q displaystyle sigma n p 1 q 1 n 1 p q En 1984 Roger Heath Brown probo que d n d n 1 ocurre un numero infinito de veces Series de expansion EditarLa funcion divisor puede ser escrita como una serie trigonometrica finita s x n m 1 n m x 1 n 1 m cos 2 p n n m displaystyle sigma x n sum mu 1 n mu x 1 sum nu 1 mu cos frac 2 pi nu n mu sin hacer referencia explicita a los divisores de n displaystyle n 1 Relaciones de series EditarDos Series de Dirichlet involucaran la funcion divisor n 1 s a n n s z s z s a displaystyle sum n 1 infty frac sigma a n n s zeta s zeta s a y n 1 s a n s b n n s z s z s a z s b z s a b z 2 s a b displaystyle sum n 1 infty frac sigma a n sigma b n n s frac zeta s zeta s a zeta s b zeta s a b zeta 2s a b Una serie de Lambert involucra la funcion divisor n 1 q n s a n n 1 n a q n 1 q n displaystyle sum n 1 infty q n sigma a n sum n 1 infty frac n a q n 1 q n para arbitrarios numeros complejos q 1 y a Esta sumacion aparece en las series de Fourier de la series de Eisenstein y los invariantes de las funciones elipticas de Weierstrass Aproximaciones del crecimiento EditarEn notacion de o pequena la funcion divisor satisface la desigualdad ϵ gt 0 d n o n ϵ displaystyle forall epsilon gt 0 d n o n epsilon En notacion de O grande Dirichlet mostro que el orden promedio de la funcion divisor satisface la siguiente desigualdad x 1 n x d n x log x 2 g 1 x O x displaystyle forall x geq 1 sum n leq x d n x log x 2 gamma 1 x O sqrt x donde g displaystyle gamma es constante de Euler Mascheroni Mejorar el comportamiento asintotico O x displaystyle O sqrt x en esta formula es conocido como el problema de los divisores de Dirichlet El comportamiento de la funcion sigma es irregular La tasa de crecimiento de la funcion puede ser expresada como lim sup n s n n log log n e g displaystyle limsup n rightarrow infty frac sigma n n log log n e gamma donde lim sup es el limite superior Este resultado es conocido como el teorema de Gronwall publicado en 1913 En 1984 Guy Robin probo que s n lt e g n log log n n gt 5040 displaystyle sigma n lt e gamma n log log n quad quad forall n gt 5040 se cumple si y solo si la Hipotesis de Riemann se cumple este es el Teorema de Robbins El valor mas grande conocido que no cumple la desigualdad es n 5040 Si la hipotesis de Riemann es cierta no debe haber excepciones mas grandes Si la hipotesis de Riemann es falsa existe un numero infinito de valores de n que no cumplen la desigualdad Un comportamiento asintotico relacionado fue dado por Jeffrey Lagarias en 2002 quien probo que la hipotesis de Riemann es equivalente a la expresion s n H n ln H n e H n displaystyle sigma n leq H n ln H n e H n para todo numero natural n donde H n displaystyle H n es el n esimo numero armonico Vease tambien EditarFuncion f de Euler Divisor unitarioReferencias Editar de Teilersumme Teilersumme als endliche ReiheBibliografia EditarEric Bach and Jeffrey Shallit Algorithmic Number Theory volume 1 1996 MIT Press ISBN 0 262 02405 5 mire las paginas 234 en seccion 8 8 Robin G Grandes Valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothese de Riemann J Math Pures Appl 63 187 213 1984 Publicacion original del teorema de Robin Datos Q915474 Multimedia Divisor functionObtenido de https es wikipedia org w index php title Funcion divisor amp oldid 135334157, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

español

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