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Función trigonométrica

En matemática, las funciones trigonométricas son las funciones determinadas con el objetivo de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos. Estas usualmente incluyen términos que describen la medición de ángulos y triángulos, tal como seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.

Trigonometría
Referencias
Constantes exactas ·Tablas
·Circunferencia goniométrica
Funciones, leyes y teoremas
Funciones e (inversas)
·Senos ·Cosenos ·Tangentes ·Cotangentes
·Teorema de Pitágoras·Identidades y fórmulas de trigonometría
Cálculo infinitesimal
Sustitución trigonométrica ·Integrales de funciones directas (e inversas) ·Derivadas
Temas relacionados
Temas ·Historia ·Usos·Trigonometría generalizada

Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras de muchas aplicaciones.

Conceptos generales

 
Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en relación a una circunferencia de radio unidad de centro O
 
Identidades trigonométricas fundamentales

Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo, asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

Función Abreviatura Equivalencias (en radianes)
Seno sen, sin  
Coseno cos  
Tangente tan, tg  
Cotangente ctg (cot)  
Secante sec  
Cosecante csc (cosec)  

Definiciones respecto de un triángulo rectángulo

 

Para definir las razones trigonométricas del ángulo:  , del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:

  • La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
  • El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo  .
  • El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo  .

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

 

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo   , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

 

3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

 

4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

 

5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

 

6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

 

Razones trigonométricas de ángulos notables

La siguiente tabla resume los valores algebraicos más simples y/o comunes de las funciones trigonométricas. [1]​ El símbolo representa el punto del infinito en la línea real proyectada extendida; la cual no tiene signo, porque, cuando aparece en la tabla, la función trigonométrica correspondiente tiende a +∞ en un lado y a −∞ en el otro lado, cuando el argumento tiende al valor en la tabla.

Tabla de ángulos notables
Radianes Grado Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante
0        
π/12 15°            
π/10 18°            
π/8 22.5°            
π/6 30°            
π/5 36°            
π/4 45°            
3π/10 54°            
π/3 60°            
3π/8 67.5°            
2π/5 72°            
5π/12 75°            
π/2 90°        

Definición en el conjunto de números reales

No es posible utilizar la definición dada anteriormente, un coseno de   para valores de   menores o iguales a 0 o valores mayores o iguales a π/2, pues no se podría construir un triángulo rectángulo tal que uno de sus ángulos mida   radianes. Para definir los valores de estas funciones para valores comprendidos entre 0 y 2π, se utilizará entonces una circunferencia unitaria, centrada en el origen de coordenadas del plano cartesiano. Se definirán las funciones trigonométricas coseno y seno como la abscisa (x) y la ordenada (y), respectivamente, de un punto P de coordenadas (x, y), perteneciente a la circunferencia, siendo   el ángulo, medido en radianes, entre el semieje positivo x y el segmento que une el origen con P.

 

Puede observarse que estas funciones toman valores entre -1 y 1. Nótese que para valores entre 0 y π/2, los valores obtenidos para el seno y el coseno con esta definición, coinciden con los obtenidos utilizando la noción de razón trigonométrica. Si el valor de x está fuera del intervalo [0,2π], puede descomponerse como x=2kπ+x' siendo k un número entero y x' un valor entre 0 y 2π. Se asignará a x los mismos valores de seno y coseno que los asignados a x', ya que puede interpretarse a x como un ángulo coterminal con x', y por lo tanto, las coordenadas del punto P serán las mismas en ambos casos.

Representación gráfica

 
Representación gráfica en un sistema de coordenadas cartesianas.

Funciones trigonométricas de ángulo doble

Sabiendo las funciones trigonométricas de la suma de dos ángulos, se pueden determinar las funciones trigonométricas de ángulo doble al plantear que  

 
 
 
 

Para la fórmula del coseno del ángulo doble se pueden presentar otras dos formas alternativas con el uso de las identidades pitagóricas: Convirtiendo   a términos de  , o convirtiendo   a términos de  :

 
 

Para la tangente del ángulo doble se procede de la misma manera:

 
 

Para productos de dos funciones sinusoidales complementarias, se tiene que:

 
 

Y para el caso alternativo:

 
 

Definiciones analíticas

La definición analítica más frecuente dentro del análisis real se hace a partir de ecuaciones diferenciales. Usando la geometría y las propiedades de los límites, se puede demostrar que la derivada del seno es el coseno y la derivada del coseno es el seno con signo negativo. (Aquí, como se hace generalmente en cálculo, todos los ángulos son medidos en radianes).

 

El teorema de Picard-Lindelöf de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales lleva a que existen las funciones anteriores que se llaman respectivamente seno y coseno, es decir:

 

Esta definición analítica de las funciones trigonométricas permite una definición no-geométrica del número π, a saber, dicho número es el mínimo número real positivo que es un cero de la función seno.

Series de potencias

A partir de la definición anterior pueden establecerse que las funciones seno y coseno son funciones analíticas cuya serie de Maclaurin viene dada por:

 
 

Estas identidades son a veces usadas como las definiciones de las funciones seno y coseno. Con frecuencia se utilizan como el punto de partida para el tratamiento riguroso de las funciones trigonométricas y sus aplicaciones (por ejemplo en las Series de Fourier), debido a que la teoría de las series infinitas puede ser desarrollada a partir de la base del sistema de números reales, independientemente de cualquier consideración geométrica. La diferenciabilidad y continuidad de estas funciones es entonces establecida a partir de las definiciones de series por sí misma.

Relación con la exponencial compleja

Existe una relación importante entre la exponenciación de números complejos y las funciones trigonométricas según la fórmula de Euler:

 

Esta relación puede probarse usando el desarrollo en serie de Taylor para la función exponencial y el obtenido en la sección anterior para las funciones seno y coseno. Separando ahora en parte real e imaginaria en la expresión anterior se encuentran las definiciones de seno y coseno en términos de exponenciales complejas:

 

A partir de ecuaciones diferenciales

Las funciones seno y coseno satisfacen la igualdad:

 

Es decir, la segunda derivada de cada función es la propia función con signo inverso. Dentro del espacio funcional de dos dimensiones V, que consiste en todas las soluciones de esta ecuación, las variables dependientes, juntas, pueden formar la base de V. Este método para definir las funciones seno y coseno es esencialmente equivalente a utilizar la fórmula de Euler. Además esta ecuación diferencial puede utilizarse no solo para definir al seno y al coseno, con ella también se pueden probar las identidades trigonométricas de las funciones seno y coseno.

Además, la observación de que el seno y el coseno satisfacen y′′ = −y implica que son funciones propias del operador de la segunda derivada.

La función tangente es la única solución de la ecuación diferencial no lineal

 

satisfaciendo la condición inicial y(0) = 0. Existe una interesante prueba visual de que la función tangente satisface esta ecuación diferencial.

Funciones trigonométricas inversas

Las tres funciones trigonométricas inversas comúnmente usadas son:

  • Arcoseno es la función inversa del seno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo seno es dicho valor.

La función arcoseno real es una función  , es decir, no está definida para cualquier número real. Esta función puede expresarse mediante la siguiente serie de Taylor:

 

  • Arcocoseno es la función inversa del coseno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo coseno es dicho valor.

Es una función similar a la anterior, de hecho puede definirse como:

 

  • Arcotangente es la función inversa de la tangente de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuya tangente es dicho valor.

A diferencia de las anteriores la función arcotangente está definida para todos los reales. Su expresión en forma de serie es:

 

Representación gráfica

Generalizaciones

  • Las funciones hiperbólicas son el análogo de las funciones trigonométricas para una hipérbola equilátera. Además el seno y coseno de un número imaginario puro puede expresarse en términos de funciones hiperbólicas.
  • Las funciones elípticas son una generalización biperiódica de las funciones trigonométricas que en el plano complejo solo son periódicas sobre el eje real. En particular las funciones trigonométricas son el límite de las funciones elípticas de Jacobi cuando el parámetro del que dependen tiende a cero.

Historia

El estudio de las funciones trigonométricas se remonta a la época de Babilonia, y gran parte de los fundamentos de trigonometría fueron desarrollados por los matemáticos de la Antigua Grecia, de la India y estudiosos musulmanes.

El primer uso de la función seno (sin(·)) aparece en el Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VI a. C. Las funciones trigonométricas fueron estudiadas por Hiparco de Nicea (180-125 a. C.), Aryabhata (476-550), Varahamihira, Brahmagupta, al-Khwarizmi, Abu'l-Wafa, Omar Khayyam, Bhaskara II, Nasir al-Din Tusi, Regiomontanus (1464), Ghiyath al-Kashi y Ulugh Beg (Siglo XIV), Madhava (ca. 1400), Rheticus, y el alumno de éste, Valentin Otho. La obra de Leonhard Euler Introductio in analysin infinitorum (1748) fue la que estableció el tratamiento analítico de las funciones trigonométricas en Europa, definiéndolas como series infinitas presentadas en las llamadas "Fórmulas de Euler".

La noción de que debería existir alguna correspondencia estándar entre la longitud de los lados de un triángulo siguió a la idea de que triángulos similares mantienen la misma proporción entre sus lados. Esto es, que para cualquier triángulo semejante, la relación entre la hipotenusa y otro de sus lados es constante. Si la hipotenusa es el doble de larga, así serán los catetos. Justamente estas proporciones son las que expresan las funciones trigonométricas.

Véase también


Referencias

  1. Abramowitz, Milton and Irene A. Stegun, p. 74

Bibliografía

  • Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.

Enlaces externos

  •   Datos: Q93344
  •   Multimedia: Trigonometric functions

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En matematica las funciones trigonometricas son las funciones determinadas con el objetivo de extender la definicion de las razones trigonometricas a todos los numeros reales y complejos Estas usualmente incluyen terminos que describen la medicion de angulos y triangulos tal como seno coseno tangente cotangente secante y cosecante TrigonometriaReferenciasConstantes exactas Tablas Circunferencia goniometricaFunciones leyes y teoremasFunciones e inversas Senos Cosenos Tangentes Cotangentes Teorema de Pitagoras Identidades y formulas de trigonometriaCalculo infinitesimalSustitucion trigonometrica Integrales de funciones directas e inversas DerivadasTemas relacionadosTemas Historia Usos Trigonometria generalizada editar datos en Wikidata Las funciones trigonometricas son de gran importancia en fisica astronomia cartografia nautica telecomunicaciones la representacion de fenomenos periodicos y otras de muchas aplicaciones Indice 1 Conceptos generales 1 1 Definiciones respecto de un triangulo rectangulo 1 2 Razones trigonometricas de angulos notables 1 3 Definicion en el conjunto de numeros reales 1 4 Representacion grafica 2 Funciones trigonometricas de angulo doble 3 Definiciones analiticas 3 1 Series de potencias 3 2 Relacion con la exponencial compleja 3 3 A partir de ecuaciones diferenciales 4 Funciones trigonometricas inversas 4 1 Representacion grafica 5 Generalizaciones 6 Historia 7 Vease tambien 8 Referencias 8 1 Bibliografia 8 2 Enlaces externosConceptos generales Editar Todas las funciones trigonometricas de un angulo 8 pueden ser construidas geometricamente en relacion a una circunferencia de radio unidad de centro O Identidades trigonometricas fundamentales Las funciones trigonometricas se definen comunmente como el cociente entre dos lados de un triangulo rectangulo asociado a sus angulos Las funciones trigonometricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razon trigonometrica en un triangulo rectangulo trazado en una circunferencia unitaria de radio unidad Definiciones mas modernas las describen como series infinitas o como la solucion de ciertas ecuaciones diferenciales permitiendo su extension a valores positivos y negativos e incluso a numeros complejos Existen seis funciones trigonometricas basicas Las ultimas cuatro se definen en relacion de las dos primeras funciones aunque se pueden definir geometricamente o por medio de sus relaciones Algunas funciones fueron comunes antiguamente y aparecen en las primeras tablas pero no se utilizan actualmente por ejemplo el verseno 1 cos 8 y la exsecante sec 8 1 Funcion Abreviatura Equivalencias en radianes Seno sen sin sen 8 1 csc 8 cos p 2 8 cos 8 cot 8 displaystyle operatorname sen theta equiv frac 1 csc theta equiv cos left frac pi 2 theta right equiv frac cos theta cot theta Coseno cos cos 8 1 sec 8 sen p 2 8 sen 8 tan 8 displaystyle cos theta equiv frac 1 sec theta equiv operatorname sen left frac pi 2 theta right equiv frac operatorname sen theta tan theta Tangente tan tg tan 8 1 cot 8 cot p 2 8 sen 8 cos 8 displaystyle tan theta equiv frac 1 cot theta equiv cot left frac pi 2 theta right equiv frac operatorname sen theta cos theta Cotangente ctg cot cot 8 1 tan 8 tan p 2 8 cos 8 sen 8 displaystyle cot theta equiv frac 1 tan theta equiv tan left frac pi 2 theta right equiv frac cos theta operatorname sen theta Secante sec sec 8 1 cos 8 csc p 2 8 tan 8 sen 8 displaystyle sec theta equiv frac 1 cos theta equiv csc left frac pi 2 theta right equiv frac tan theta operatorname sen theta Cosecante csc cosec csc 8 1 sen 8 sec p 2 8 cot 8 cos 8 displaystyle csc theta equiv frac 1 operatorname sen theta equiv sec left frac pi 2 theta right equiv frac cot theta cos theta Definiciones respecto de un triangulo rectangulo Editar Para definir las razones trigonometricas del angulo a displaystyle alpha del vertice A se parte de un triangulo rectangulo arbitrario que contiene a este angulo El nombre de los lados de este triangulo rectangulo que se usara en los sucesivo sera La hipotenusa h es el lado opuesto al angulo recto o lado de mayor longitud del triangulo rectangulo El cateto opuesto a es el lado opuesto al anguloa displaystyle alpha El cateto adyacente b es el lado adyacente al angulo a displaystyle alpha Todos los triangulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano por lo que la suma de sus angulos internos es igual a p radianes o 180 En consecuencia en cualquier triangulo rectangulo los angulos no rectos se encuentran entre 0 y p 2 radianes Las definiciones que se dan a continuacion definen estrictamente las funciones trigonometricas para angulos dentro de ese rango 1 El seno de un angulo es la relacion entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa sen a opuesto hipotenusa a h displaystyle operatorname sen alpha frac color ForestGreen textrm opuesto color Red textrm hipotenusa frac a h El valor de esta relacion no depende del tamano del triangulo rectangulo que elijamos siempre que tenga el mismo angulo a displaystyle alpha en cuyo caso se trata de triangulos semejantes 2 El coseno de un angulo es la relacion entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa cos a adyacente hipotenusa b h displaystyle cos alpha frac color Blue textrm adyacente color Red textrm hipotenusa frac b h 3 La tangente de un angulo es la relacion entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente tan a opuesto adyacente a b displaystyle tan alpha frac color ForestGreen textrm opuesto color Blue textrm adyacente frac a b 4 La cotangente de un angulo es la relacion entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto cot a adyacente opuesto b a displaystyle cot alpha frac color Blue textrm adyacente color ForestGreen textrm opuesto frac b a 5 La secante de un angulo es la relacion entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente sec a hipotenusa adyacente h b displaystyle sec alpha frac color Red textrm hipotenusa color Blue textrm adyacente frac h b 6 La cosecante de un angulo es la relacion entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto csc a hipotenusa opuesto h a displaystyle csc alpha frac color Red textrm hipotenusa color ForestGreen textrm opuesto frac h a Razones trigonometricas de angulos notables Editar La siguiente tabla resume los valores algebraicos mas simples y o comunes de las funciones trigonometricas 1 El simbolo representa el punto del infinito en la linea real proyectada extendida la cual no tiene signo porque cuando aparece en la tabla la funcion trigonometrica correspondiente tiende a en un lado y a en el otro lado cuando el argumento tiende al valor en la tabla Tabla de angulos notables Radianes Grado Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante0 0 1 displaystyle 1 displaystyle infty 1 displaystyle 1 displaystyle infty p 12 15 6 2 4 displaystyle frac sqrt 6 sqrt 2 4 6 2 4 displaystyle frac sqrt 6 sqrt 2 4 2 3 displaystyle 2 sqrt 3 2 3 displaystyle 2 sqrt 3 6 2 displaystyle sqrt 6 sqrt 2 6 2 displaystyle sqrt 6 sqrt 2 p 10 18 5 1 4 displaystyle frac sqrt 5 1 4 10 2 5 4 displaystyle frac sqrt 10 2 sqrt 5 4 25 10 5 5 displaystyle frac sqrt 25 10 sqrt 5 5 5 2 5 displaystyle sqrt 5 2 sqrt 5 50 10 5 5 displaystyle frac sqrt 50 10 sqrt 5 5 1 5 displaystyle 1 sqrt 5 p 8 22 5 2 2 2 displaystyle frac sqrt 2 sqrt 2 2 2 2 2 displaystyle frac sqrt 2 sqrt 2 2 2 1 displaystyle sqrt 2 1 2 1 displaystyle sqrt 2 1 4 2 2 displaystyle sqrt 4 2 sqrt 2 4 2 2 displaystyle sqrt 4 2 sqrt 2 p 6 30 1 2 displaystyle frac 1 2 3 2 displaystyle frac sqrt 3 2 3 3 displaystyle frac sqrt 3 3 3 displaystyle sqrt 3 2 3 3 displaystyle frac 2 sqrt 3 3 2 displaystyle 2 p 5 36 10 2 5 4 displaystyle frac sqrt 10 2 sqrt 5 4 1 5 4 displaystyle frac 1 sqrt 5 4 5 2 5 displaystyle sqrt 5 2 sqrt 5 25 10 5 5 displaystyle frac sqrt 25 10 sqrt 5 5 5 1 displaystyle sqrt 5 1 50 10 5 5 displaystyle frac sqrt 50 10 sqrt 5 5 p 4 45 2 2 displaystyle frac sqrt 2 2 2 2 displaystyle frac sqrt 2 2 1 displaystyle 1 1 displaystyle 1 2 displaystyle sqrt 2 2 displaystyle sqrt 2 3p 10 54 1 5 4 displaystyle frac 1 sqrt 5 4 10 2 5 4 displaystyle frac sqrt 10 2 sqrt 5 4 25 10 5 5 displaystyle frac sqrt 25 10 sqrt 5 5 5 2 5 displaystyle sqrt 5 2 sqrt 5 50 10 5 5 displaystyle frac sqrt 50 10 sqrt 5 5 5 1 displaystyle sqrt 5 1 p 3 60 3 2 displaystyle frac sqrt 3 2 1 2 displaystyle frac 1 2 3 displaystyle sqrt 3 3 3 displaystyle frac sqrt 3 3 2 displaystyle 2 2 3 3 displaystyle frac 2 sqrt 3 3 3p 8 67 5 2 2 2 displaystyle frac sqrt 2 sqrt 2 2 2 2 2 displaystyle frac sqrt 2 sqrt 2 2 2 1 displaystyle sqrt 2 1 2 1 displaystyle sqrt 2 1 4 2 2 displaystyle sqrt 4 2 sqrt 2 4 2 2 displaystyle sqrt 4 2 sqrt 2 2p 5 72 10 2 5 4 displaystyle frac sqrt 10 2 sqrt 5 4 5 1 4 displaystyle frac sqrt 5 1 4 5 2 5 displaystyle sqrt 5 2 sqrt 5 25 10 5 5 displaystyle frac sqrt 25 10 sqrt 5 5 1 5 displaystyle 1 sqrt 5 50 10 5 5 displaystyle frac sqrt 50 10 sqrt 5 5 5p 12 75 6 2 4 displaystyle frac sqrt 6 sqrt 2 4 6 2 4 displaystyle frac sqrt 6 sqrt 2 4 2 3 displaystyle 2 sqrt 3 2 3 displaystyle 2 sqrt 3 6 2 displaystyle sqrt 6 sqrt 2 6 2 displaystyle sqrt 6 sqrt 2 p 2 90 1 displaystyle 1 displaystyle infty displaystyle infty 1 displaystyle 1 Definicion en el conjunto de numeros reales Editar Articulo principal Funcion real No es posible utilizar la definicion dada anteriormente un coseno de a displaystyle alpha para valores de a displaystyle alpha menores o iguales a 0 o valores mayores o iguales a p 2 pues no se podria construir un triangulo rectangulo tal que uno de sus angulos mida a displaystyle alpha radianes Para definir los valores de estas funciones para valores comprendidos entre 0 y 2p se utilizara entonces una circunferencia unitaria centrada en el origen de coordenadas del plano cartesiano Se definiran las funciones trigonometricas coseno y seno como la abscisa x y la ordenada y respectivamente de un punto P de coordenadas x y perteneciente a la circunferencia siendo a displaystyle alpha el angulo medido en radianes entre el semieje positivo x y el segmento que une el origen con P Puede observarse que estas funciones toman valores entre 1 y 1 Notese que para valores entre 0 y p 2 los valores obtenidos para el seno y el coseno con esta definicion coinciden con los obtenidos utilizando la nocion de razon trigonometrica Si el valor de x esta fuera del intervalo 0 2p puede descomponerse como x 2kp x siendo k un numero entero y x un valor entre 0 y 2p Se asignara a x los mismos valores de seno y coseno que los asignados a x ya que puede interpretarse a x como un angulo coterminal con x y por lo tanto las coordenadas del punto P seran las mismas en ambos casos Representacion grafica Editar Representacion grafica en un sistema de coordenadas cartesianas Funciones trigonometricas de angulo doble EditarSabiendo las funciones trigonometricas de la suma de dos angulos se pueden determinar las funciones trigonometricas de angulo doble al plantear que a b displaystyle alpha beta sen a b sen a cos b sen b cos a displaystyle operatorname sen alpha beta operatorname sen alpha cos beta operatorname sen beta cos alpha sen 2 a sen a cos a sen a cos a 2 sen a cos a displaystyle operatorname sen 2 alpha operatorname sen alpha cos alpha operatorname sen alpha cos alpha 2 operatorname sen alpha cos alpha cos a b cos a cos b sen a sen b displaystyle cos alpha beta cos alpha cos beta operatorname sen alpha operatorname sen beta cos 2 a cos 2 a sen 2 a displaystyle cos 2 alpha cos 2 alpha operatorname sen 2 alpha Para la formula del coseno del angulo doble se pueden presentar otras dos formas alternativas con el uso de las identidades pitagoricas Convirtiendo cos a displaystyle cos alpha a terminos de sen a displaystyle operatorname sen alpha o convirtiendo sen a displaystyle operatorname sen alpha a terminos de cos a displaystyle cos alpha cos 2 a 2 cos 2 a 1 displaystyle cos 2 alpha 2 cos 2 alpha 1 cos 2 a 1 2 sen 2 a displaystyle cos 2 alpha 1 2 operatorname sen 2 alpha Para la tangente del angulo doble se procede de la misma manera tan a b tan a tan b 1 tan a tan b displaystyle tan alpha beta frac tan alpha tan beta 1 tan alpha tan beta tan 2 a 2 tan a 1 tan 2 a displaystyle tan 2 alpha frac 2 tan alpha 1 tan 2 alpha Para productos de dos funciones sinusoidales complementarias se tiene que sen A cos B sen A B 2 cos A B 2 sen A B 2 cos A B 2 displaystyle operatorname sen A cos B operatorname sen left frac A B 2 right cos left frac A B 2 right operatorname sen left frac A B 2 right cos left frac A B 2 right sen A cos B 1 2 sen A B sen A B displaystyle operatorname sen A cos B frac 1 2 left operatorname sen A B operatorname sen A B right Y para el caso alternativo cos A sen B sen A B 2 cos A B 2 sen A B 2 cos A B 2 displaystyle cos A operatorname sen B operatorname sen left frac A B 2 right cos left frac A B 2 right operatorname sen left frac A B 2 right cos left frac A B 2 right cos A sen B 1 2 sen A B sen A B displaystyle cos A operatorname sen B frac 1 2 left operatorname sen A B operatorname sen A B right Definiciones analiticas EditarLa definicion analitica mas frecuente dentro del analisis real se hace a partir de ecuaciones diferenciales Usando la geometria y las propiedades de los limites se puede demostrar que la derivada del seno es el coseno y la derivada del coseno es el seno con signo negativo Aqui como se hace generalmente en calculo todos los angulos son medidos en radianes S x C x S 0 0 C x S x C 0 1 displaystyle begin cases S x C x amp S 0 0 C x S x amp C 0 1 end cases El teorema de Picard Lindelof de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales lleva a que existen las funciones anteriores que se llaman respectivamente seno y coseno es decir cos x C x sen x S x displaystyle cos x C x qquad operatorname sen x S x Esta definicion analitica de las funciones trigonometricas permite una definicion no geometrica del numero p a saber dicho numero es el minimo numero real positivo que es un cero de la funcion seno Series de potencias Editar A partir de la definicion anterior pueden establecerse que las funciones seno y coseno son funciones analiticas cuya serie de Maclaurin viene dada por sen x k 0 1 k x 2 k 1 2 k 1 x 1 x 3 3 x 5 5 x 7 7 displaystyle operatorname sen x sum k 0 infty cfrac 1 k x 2k 1 2k 1 cfrac x 1 cfrac x 3 3 cfrac x 5 5 cfrac x 7 7 dots cos x k 0 1 k x 2 k 2 k 1 0 x 2 2 x 4 4 x 6 6 displaystyle cos x sum k 0 infty cfrac 1 k x 2k 2k cfrac 1 0 cfrac x 2 2 cfrac x 4 4 cfrac x 6 6 dots Estas identidades son a veces usadas como las definiciones de las funciones seno y coseno Con frecuencia se utilizan como el punto de partida para el tratamiento riguroso de las funciones trigonometricas y sus aplicaciones por ejemplo en las Series de Fourier debido a que la teoria de las series infinitas puede ser desarrollada a partir de la base del sistema de numeros reales independientemente de cualquier consideracion geometrica La diferenciabilidad y continuidad de estas funciones es entonces establecida a partir de las definiciones de series por si misma Relacion con la exponencial compleja Editar Existe una relacion importante entre la exponenciacion de numeros complejos y las funciones trigonometricas segun la formula de Euler e i x cos x i sen x displaystyle e ix cos x i operatorname sen x Esta relacion puede probarse usando el desarrollo en serie de Taylor para la funcion exponencial y el obtenido en la seccion anterior para las funciones seno y coseno Separando ahora en parte real e imaginaria en la expresion anterior se encuentran las definiciones de seno y coseno en terminos de exponenciales complejas cos x e i x e i x 2 sen x e i x e i x 2 i displaystyle cos x frac e ix e ix 2 qquad operatorname sen x frac e ix e ix 2i A partir de ecuaciones diferenciales Editar Las funciones seno y coseno satisfacen la igualdad y y displaystyle y y Es decir la segunda derivada de cada funcion es la propia funcion con signo inverso Dentro del espacio funcional de dos dimensiones V que consiste en todas las soluciones de esta ecuacion las variables dependientes juntas pueden formar la base de V Este metodo para definir las funciones seno y coseno es esencialmente equivalente a utilizar la formula de Euler Ademas esta ecuacion diferencial puede utilizarse no solo para definir al seno y al coseno con ella tambien se pueden probar las identidades trigonometricas de las funciones seno y coseno Ademas la observacion de que el seno y el coseno satisfacen y y implica que son funciones propias del operador de la segunda derivada La funcion tangente es la unica solucion de la ecuacion diferencial no lineal y 1 y 2 displaystyle y 1 y 2 satisfaciendo la condicion inicial y 0 0 Existe una interesante prueba visual de que la funcion tangente satisface esta ecuacion diferencial Funciones trigonometricas inversas EditarArticulo principal Funcion trigonometrica inversa Las tres funciones trigonometricas inversas comunmente usadas son Arcoseno es la funcion inversa del seno de un angulo El significado geometrico es el arco cuyo seno es dicho valor La funcion arcoseno real es una funcion 1 1 p 2 p 2 displaystyle left 1 1 right to left cfrac pi 2 cfrac pi 2 right es decir no esta definida para cualquier numero real Esta funcion puede expresarse mediante la siguiente serie de Taylor arcsen x p 2 x 1 x 1 2 x 3 3 1 3 2 4 x 5 5 1 3 5 2 4 6 x 7 7 1 lt x lt 1 p 2 x 1 displaystyle operatorname arcsen x begin cases cfrac pi 2 amp x 1 x cfrac 1 2 cfrac x 3 3 cfrac 1 cdot 3 2 cdot 4 cfrac x 5 5 cfrac 1 cdot 3 cdot 5 2 cdot 4 cdot 6 cfrac x 7 7 dots amp 1 lt x lt 1 cfrac pi 2 amp x 1 end cases Arcocoseno es la funcion inversa del coseno de un angulo El significado geometrico es el arco cuyo coseno es dicho valor Es una funcion similar a la anterior de hecho puede definirse como arccos x p 2 arcsen x displaystyle arccos x frac pi 2 operatorname arcsen x Arcotangente es la funcion inversa de la tangente de un angulo El significado geometrico es el arco cuya tangente es dicho valor A diferencia de las anteriores la funcion arcotangente esta definida para todos los reales Su expresion en forma de serie es arctan x x x 3 3 x 5 5 x 7 7 x lt 1 p 2 1 x 1 3 x 3 1 5 x 5 con x 1 con x 1 displaystyle arctan x begin cases x cfrac x 3 3 cfrac x 5 5 cfrac x 7 7 dots amp x lt 1 pm cfrac pi 2 cfrac 1 x cfrac 1 3x 3 cfrac 1 5x 5 dots amp text con x geq 1 text con x leq 1 end cases Representacion grafica EditarGeneralizaciones EditarLas funciones hiperbolicas son el analogo de las funciones trigonometricas para una hiperbola equilatera Ademas el seno y coseno de un numero imaginario puro puede expresarse en terminos de funciones hiperbolicas Las funciones elipticas son una generalizacion biperiodica de las funciones trigonometricas que en el plano complejo solo son periodicas sobre el eje real En particular las funciones trigonometricas son el limite de las funciones elipticas de Jacobi cuando el parametro del que dependen tiende a cero Historia EditarArticulo principal Historia de la trigonometria El estudio de las funciones trigonometricas se remonta a la epoca de Babilonia y gran parte de los fundamentos de trigonometria fueron desarrollados por los matematicos de la Antigua Grecia de la India y estudiosos musulmanes El primer uso de la funcion seno sin aparece en el Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VI a C Las funciones trigonometricas fueron estudiadas por Hiparco de Nicea 180 125 a C Aryabhata 476 550 Varahamihira Brahmagupta al Khwarizmi Abu l Wafa Omar Khayyam Bhaskara II Nasir al Din Tusi Regiomontanus 1464 Ghiyath al Kashi y Ulugh Beg Siglo XIV Madhava ca 1400 Rheticus y el alumno de este Valentin Otho La obra de Leonhard Euler Introductio in analysin infinitorum 1748 fue la que establecio el tratamiento analitico de las funciones trigonometricas en Europa definiendolas como series infinitas presentadas en las llamadas Formulas de Euler La nocion de que deberia existir alguna correspondencia estandar entre la longitud de los lados de un triangulo siguio a la idea de que triangulos similares mantienen la misma proporcion entre sus lados Esto es que para cualquier triangulo semejante la relacion entre la hipotenusa y otro de sus lados es constante Si la hipotenusa es el doble de larga asi seran los catetos Justamente estas proporciones son las que expresan las funciones trigonometricas Vease tambien EditarTrigonometria Identidad trigonometrica Seno coseno tangente verseno Hexagono trigonometrico Recurso mnemonico para ayudar a recordar relaciones e identidades trigonometricas Derivacion de funciones trigonometricasFuncion elemental Funcion algebraica Potenciacion Funcion polinomicaFuncion racionalRadicacionFuncion trascendente Funcion trigonometricaFuncion exponencialLogaritmoReferencias Editar Abramowitz Milton and Irene A Stegun p 74 Bibliografia Editar Spiegel M amp Abellanas L Formulas y tablas de matematica aplicada Ed McGraw Hill 1988 ISBN 84 7615 197 7 Enlaces externos Editar http matematicas redyc com wiki doku php id editores jorgitoteleco exponencial compleja enlace roto disponible en Internet Archive vease el historial la primera version y la ultima Herramienta didactica para explicar las funciones trigonometricas Datos Q93344 Multimedia Trigonometric functionsObtenido de https es wikipedia org w index php title Funcion trigonometrica amp oldid 136982830, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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