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Velocidad angular

La velocidad angular es una medida de la velocidad de rotación. Se define como el ángulo girado por una unidad de tiempo y se designa mediante la letra griega ω. Su unidad en el Sistema Internacional es el radián por segundo (rad/s).

Aunque se la define para el movimiento de rotación del sólido rígido, también se la emplea en la cinemática de la partícula o punto material, especialmente cuando esta se mueve sobre una trayectoria cerrada (circular, elíptica, etc).

Velocidad angular en un movimiento plano circular

 
Movimiento de rotación. Trayectoria circular de un punto del sólido alrededor del eje de rotación.

Para un objeto que gira alrededor de un eje, en cada punto a lo largo del trayecto, el objeto tiene la misma velocidad angular. La velocidad tangencial de cualquier punto es proporcional a su distancia del eje de rotación. Las unidades de velocidad angular son los radianes/segundo, de modo que su valor instantáneo queda definido por la derivada:

 

En un movimiento circular uniforme, dado que una revolución completa representa 2π radianes, tenemos:

 

donde T es el período (tiempo en dar una vuelta completa) y f es la frecuencia (número de revoluciones o vueltas por unidad de tiempo). De modo que

 

Velocidad angular en un movimiento plano general

En el caso de un movimiento plano no circular general hay que definir la velocidad angular siempre respecto de un punto. Por ejemplo, al estudiar la órbita de la tierra respecto del sol, el punto más apropiado será el foco de la elipse donde se encuentra el sol.

La velocidad angular será la tasa de variación del angulo subtendido del vector de posición r respecto del punto dado, y su valor numérico dependerá del punto escogido.

Dado que el movimiento radial desde el punto dado no contribuye a aumentar el angulo subtendido, solo la componente tangencial lo hará. Por tanto podemos decir

 

Multiplicando arriba y abajo por el radio vector:

 

Lo que apunta a que puede escribirse en función del producto vectorial r x v

Vector velocidad angular

 

Se define el vector velocidad angular ω, como un vector axial paralelo al eje de rotación, cuyo módulo es el valor de la velocidad angular anteriormente definida, o sea

(1) 

, cuya dirección es la del eje de giro y cuyo sentido coincide con el del avance de un tornillo que girase en el sentido en que lo hace el sólido (regla de la mano derecha). Si designamos por e al vector que indica la dirección del eje, y cuya dirección sea la definida por la regla anterior, tenemos

(2) 

donde hemos considerado al elemento de ángulo dθ como un vector dθ, de módulo dθ, cuya dirección está definida por la regla del tornillo. Llamando et y en a los vectores tangencial y normal, respectivamente, a la trayectoria del punto genérico P, la velocidad de ese punto puede expresarse en la forma

(3) 

de modo que podemos afirmar:

La velocidad v de un punto genérico P del sólido rígido en rotación es igual al momento del vector velocidad angular ω con respecto a dicho punto P.

Así pues, conocida la velocidad angular ω queda determinada la distribución de velocidades en todos los puntos del sólido rígido en rotación. La expresión [8] puede escribirse en la forma

(4) 

donde   es el vector de posición del punto genérico P con respecto a un punto cualquiera del eje de rotación.

Las definiciones anteriores exigen que el vector velocidad angular ω tenga carácter deslizante sobre el eje de rotación.

Es importante destacar que el "vector" velocidad angular no es un vector polar, sino un pseudovector o vector axial. Por esta razón, en teoría de la relatividad, donde el espacio-tiempo tiene cuatro dimensiones, no puede ser representado por ningún tetravector, razón por la cual en teoría de la relatividad la velocidad angular se representa por un 2-tensor antisimétrico, que tiene que satisfacer las leyes de transformación adecuadas bajo las transformaciones de Lorentz. En la siguiente sección se dan algunos detalles adicionales, sobre por qué la velocidad angular se puede representar por un tensor antisimétrico.

Velocidad angular de un triedro

Esto vale tanto para un sistema de referencia rotatorio como para un sólido rígido

Tensor velocidad angular

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación. Cualquier vector tridimensional que gira alrededor de un eje con velocidad angular   (de acuerdo a las definiciones anteriores) satisface:

 

Puede introducirse ahora el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular anterior   como

 

Este tensor antisimétrico   actúa como si   fuera un operador:

 

Dada una matriz de rotación  , se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular W como se muestra a continuación, se cumple que:

 

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz   cuyas tres columnas son tres vectores unitarios mutuamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

(*) 

Y por tanto la velocidad angular se puede definir simplemente como:

 

Otra forma de obtener directamente la velocidad angular de una rotación es derivando la relación:

 

De donde se obtiene que la matriz antisimétrica definida como:

 

Coincide con la definición dada antes para el tensor velocidad angular. Puede demostrarse que cualquier grupo uniparamétrico de matrices de rotación puede obtenerse como la curva integral de la siguiente ecuación diferencial (*) cuya solución se puede expresar como exponencial de una matriz como:

 

La definición de la velocidad angular como tensor permite generalizar el concepto de velocidad angular a un espacio euclídeo de dimensión   para n > 3.

Véase también

Referencias

Bibliografía

  • Ortega, Manuel R. (1986 2016). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-RFC CACM869929DG5. 
  • Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en inglés). Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32057-9. 
  • Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers (en inglés) (6ª edición). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7. 
  • Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3. 
  • https://cibertareas.info/velocidad-angular-fisica-1.html
  •   Datos: Q161635
  •   Multimedia: Angular velocity

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Pulsacion redirige aqui Para otras acepciones vease Pulso desambiguacion La velocidad angular es una medida de la velocidad de rotacion Se define como el angulo girado por una unidad de tiempo y se designa mediante la letra griega w Su unidad en el Sistema Internacional es el radian por segundo rad s Aunque se la define para el movimiento de rotacion del solido rigido tambien se la emplea en la cinematica de la particula o punto material especialmente cuando esta se mueve sobre una trayectoria cerrada circular eliptica etc Indice 1 Velocidad angular en un movimiento plano circular 2 Velocidad angular en un movimiento plano general 3 Vector velocidad angular 4 Velocidad angular de un triedro 4 1 Tensor velocidad angular 5 Vease tambien 6 Referencias 6 1 BibliografiaVelocidad angular en un movimiento plano circular Editar Movimiento de rotacion Trayectoria circular de un punto del solido alrededor del eje de rotacion Para un objeto que gira alrededor de un eje en cada punto a lo largo del trayecto el objeto tiene la misma velocidad angular La velocidad tangencial de cualquier punto es proporcional a su distancia del eje de rotacion Las unidades de velocidad angular son los radianes segundo de modo que su valor instantaneo queda definido por la derivada w lim D t 0 D 8 D t d 8 d t displaystyle omega lim Delta t to 0 frac Delta mathbf theta Delta t frac d theta dt En un movimiento circular uniforme dado que una revolucion completa representa 2p radianes tenemos w 2 p T 2 p f displaystyle omega frac 2 pi T 2 pi f donde T es el periodo tiempo en dar una vuelta completa y f es la frecuencia numero de revoluciones o vueltas por unidad de tiempo De modo que w 2 p T v r v w r displaystyle omega frac 2 pi T frac v r qquad Rightarrow qquad v omega r Velocidad angular en un movimiento plano general EditarEn el caso de un movimiento plano no circular general hay que definir la velocidad angular siempre respecto de un punto Por ejemplo al estudiar la orbita de la tierra respecto del sol el punto mas apropiado sera el foco de la elipse donde se encuentra el sol La velocidad angular sera la tasa de variacion del angulo subtendido del vector de posicion r respecto del punto dado y su valor numerico dependera del punto escogido Dado que el movimiento radial desde el punto dado no contribuye a aumentar el angulo subtendido solo la componente tangencial lo hara Por tanto podemos decir w v s i n 8 r displaystyle omega frac v sin theta r Multiplicando arriba y abajo por el radio vector w v r s i n 8 r 2 displaystyle omega frac v r sin theta r 2 Lo que apunta a que puede escribirse en funcion del producto vectorial r x vVector velocidad angular Editar Se define el vector velocidad angular w como un vector axial paralelo al eje de rotacion cuyo modulo es el valor de la velocidad angular anteriormente definida o sea 1 w d 8 d t displaystyle omega d theta over dt cuya direccion es la del eje de giro y cuyo sentido coincide con el del avance de un tornillo que girase en el sentido en que lo hace el solido regla de la mano derecha Si designamos por e al vector que indica la direccion del eje y cuya direccion sea la definida por la regla anterior tenemos 2 w d 8 d t e w e d 8 d t displaystyle mathbf omega d theta over dt mathbf e Rightarrow omega mathbf e d mathbf theta over dt donde hemos considerado al elemento de angulo d8 como un vector d8 de modulo d8 cuya direccion esta definida por la regla del tornillo Llamando et y en a los vectores tangencial y normal respectivamente a la trayectoria del punto generico P la velocidad de ese punto puede expresarse en la forma 3 v v e t r w e n e r e n w e PO w displaystyle mathbf v v mathbf e t r omega mathbf e n times mathbf e r mathbf e n times omega mathbf e overrightarrow text PO times mathbf omega de modo que podemos afirmar La velocidad v de un punto generico P del solido rigido en rotacion es igual al momento del vector velocidad angular w con respecto a dicho punto P dd Asi pues conocida la velocidad angular w queda determinada la distribucion de velocidades en todos los puntos del solido rigido en rotacion La expresion 8 puede escribirse en la forma 4 v w OP w r displaystyle mathbf v mathbf omega times overrightarrow text OP mathbf omega times mathbf r donde r OP displaystyle mathbf r overrightarrow text OP es el vector de posicion del punto generico P con respecto a un punto cualquiera del eje de rotacion Las definiciones anteriores exigen que el vector velocidad angular w tenga caracter deslizante sobre el eje de rotacion Es importante destacar que el vector velocidad angular no es un vector polar sino un pseudovector o vector axial Por esta razon en teoria de la relatividad donde el espacio tiempo tiene cuatro dimensiones no puede ser representado por ningun tetravector razon por la cual en teoria de la relatividad la velocidad angular se representa por un 2 tensor antisimetrico que tiene que satisfacer las leyes de transformacion adecuadas bajo las transformaciones de Lorentz En la siguiente seccion se dan algunos detalles adicionales sobre por que la velocidad angular se puede representar por un tensor antisimetrico Velocidad angular de un triedro EditarEsto vale tanto para un sistema de referencia rotatorio como para un solido rigido Tensor velocidad angular Editar Vease tambien Matriz antisimetrica La forma matricial para representar la velocidad angular puede ser deducida a partir de matrices de rotacion Cualquier vector tridimensional que gira alrededor de un eje con velocidad angular w displaystyle vec omega de acuerdo a las definiciones anteriores satisface d r t d t w r displaystyle frac d mathbf r t dt boldsymbol omega times mathbf r Puede introducirse ahora el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular anterior w displaystyle boldsymbol omega como W t 0 w z t w y t w z t 0 w x t w y t w x t 0 displaystyle mathbf W t begin pmatrix 0 amp omega z t amp omega y t omega z t amp 0 amp omega x t omega y t amp omega x t amp 0 end pmatrix Este tensor antisimetrico W t displaystyle scriptstyle mathbf W t actua como si w displaystyle scriptstyle boldsymbol omega times fuera un operador w t r t W t r t displaystyle boldsymbol omega t times mathbf r t mathbf W t mathbf r t Dada una matriz de rotacion W t displaystyle scriptstyle mathbf W t se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular W como se muestra a continuacion se cumple que d r t d t W r displaystyle frac d mathbf r t dt mathbf W cdot mathbf r Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia si la matriz R t displaystyle scriptstyle mathbf R t cuyas tres columnas son tres vectores unitarios mutuamente perpendiculares podemos escribir la relacion d R t d t W R t displaystyle frac d mathbf R t dt mathbf W cdot mathbf R t Y por tanto la velocidad angular se puede definir simplemente como W d R t d t R T t displaystyle mathbf W frac d mathbf R t dt cdot mathbf R T t Otra forma de obtener directamente la velocidad angular de una rotacion es derivando la relacion R t R T t I d R t R T t R t R T t 0 displaystyle mathbf R t mathbf R T t mathbf mathrm Id quad Rightarrow dot mathbf R t mathbf R T t mathbf R t dot mathbf R T t mathbf 0 De donde se obtiene que la matriz antisimetrica definida como W t R t R T t R t R t T t displaystyle mathbf W t dot mathbf R t mathbf R T t mathbf R t dot mathbf R t T t Coincide con la definicion dada antes para el tensor velocidad angular Puede demostrarse que cualquier grupo uniparametrico de matrices de rotacion puede obtenerse como la curva integral de la siguiente ecuacion diferencial cuya solucion se puede expresar como exponencial de una matriz como R t R 0 exp 0 t W t d t displaystyle mathbf R t mathbf R 0 cdot exp left int 0 t mathbf W t dt right La definicion de la velocidad angular como tensor permite generalizar el concepto de velocidad angular a un espacio euclideo de dimension R n displaystyle scriptstyle mathbb R n para n gt 3 Vease tambien EditarCinematica del solido rigido Frecuencia Aceleracion angular Desplazamiento angularReferencias EditarBibliografia Editar Ortega Manuel R 1986 2016 Lecciones de Fisica 4 volumenes Monytex ISBN 84 404 4290 RFC CACM869929DG5 Resnick Robert amp Krane Kenneth S 2001 Physics en ingles Nueva York John Wiley amp Sons ISBN 0 471 32057 9 Serway Raymond A Jewett John W 2004 Physics for Scientists and Engineers en ingles 6ª edicion Brooks Cole ISBN 0 534 40842 7 Tipler Paul A 2000 Fisica para la ciencia y la tecnologia 2 volumenes Barcelona Ed Reverte ISBN 84 291 4382 3 https cibertareas info velocidad angular fisica 1 html Datos Q161635 Multimedia Angular velocityObtenido de https es wikipedia org w index php title Velocidad angular amp oldid 136063921, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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